Для описания вращательного движения потребуется ещё одна величина
, называемая моментом импульса.
Сначала определим момент импульса материальной точки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Момент импульса материальной точки вводится аналогично моменту силы. Момент импульса
относительно точки О называется векторная величина, определяемая выражением:
,
где
– радиус-вектор, проведенный из точки “O” в ту точку пространства, в которой находится материальная точка,
. Вводя плечо l = r·sina, модуль вектора
можно записать в виде
(рис. 4.11).
– это векторная величина (псевдовектор). Вектор
направлен по оси вращения в ту сторону, куда перемещается острие буравчика при вращении рукоятки буравчика по направлению вращения тела. Если рассматривать
как векторное произведение
и
, то направление вектора
будет перпендикулярно плоскости, где лежат вектора
и
. L – численно равен площади параллелограмма, построенного на r и mv (рис. 4.12).
Выясним, чем определяется изменением момента импульса со временем. Продифференцируем выражение
по времени “t”. Получим
;
Первое слагаемое равно «0», т.к. представляет векторное произведение векторов одинакового направления. В самом деле
и следовательно совпадает с вектором
по направлению. Во втором слагаемом вектор
– действующая на тело сила (по II-закону Ньютона). Следовательно,
, (4.1)
где
– момент приложенных к материальной точке сил, взятый относительно той же точки «О», относительно которой берется момент импульса
.
Отсюда следует формулировка закона сохранения момента импульса.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если результирующий момент действующих на материальную точку сил относительно какой-либо точки «О» равен нулю, то момент импульса материальной точки, взятый относительно той же точки «О» будет оставаться постоянным.
Если сравнивать выражение
с выражением II закона Ньютона
, то видно, что для вращательного движения используется вместо силы
момент силы
, а вместо импульса
момент импульса
.
Скалярное выражение для момента силы можно получить более просто. Нормальная составляющая силы не влияет на величину скорости и уравновешивается силой реакции связи рис. 4.13. Тангенциальная составляющая силы Ft изменяет v, тогда по II закону Ньютона
;
;
.
Следовательно,
.
Умножая обе части уравнения на r, получим
Вводя величину
, получаем, что
. (4.2)
Формула для момента силы
справедлива не только для материальной точки, но и для любого тела, если его рассматривать как совокупность материальных точек.
Рассмотрим систему из N материальных точек. Разобьем силы на внутренние и внешние. Результирующий момент внутренних сил, действующих на i-ую материальную точку, обозначим
, а результирующий момент внешних сил, действующих на ту же точку
. Тогда для i-ой материальной точки можно записать
,
где i=1, 2, 3,…, N
Сложим эти уравнения
.
Величина
называется моментом импульса системы материальных точек.
Первая сумма – сумма моментов внутренних сил равна «0».
ПОЯСНЕНИЕ: Рассмотрим две любые элементарные массы Dm1 и Dm2. Силы, с которыми они взаимодействуют, лежат на одной прямой (рис. 4.14). Их моменты относительно произвольной точки “O” равны по величине и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы материальных точек, в частности для твердого тела, всегда равна нулю. Это утверждение справедливо как для суммарного момента всех внутренних сил, взятого относительно любой точки, так и для суммарного момента этих сил, взятого относительно любой оси.
Вторая сумма – суммарный момент внешних сил равен
, т.е.
.
Тогда
(здесь
и
относятся к системе материальных точек).
Для замкнутой системы материальных точек
, вследствие чего суммарный момент импульса
не зависит от времени.
ЛЕКЦИЯ 6