За малый промежуток времени Dt перемещение графически изображается в виде прямоугольника, высота которого равна некоторому значению средней скорости v (рис.2.8). Тогда для любого промежутка времени от 0 до t суммируют все эти элементарные площадки SDS, т.е. графически эта сумма представляет собой площадь фигуры ABCD (Svср.×Dt). Чаще всего площадь фигуры дает нам также путь, пройденный при неравномерном движении (математически это записывается как предел).
.
Если v(t) = const, то движение равномерное,
v(t) ¹ const – то движение неравномерное.
2.5. Ускорение. Ускорение при равнопеременном и неравнопеременном прямолинейном движении.
При неравномерном движении необходимо знать закономерность, по которой скорость изменяется со временем. Для этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем и называемая ускорением «».
Пусть материальная точка переместилась за малый промежуток времени Dt из точки А, где она имела скорость в точку В, где скорость (рис.2.9). Приращение скорости точки есть вектор , равный разности конечной и начальной скоростей: .
Отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, называется средним ускорением . Это понятие вводится для неравнопеременного движения.
Среднее ускорение направлено также как приращение скорости, т.е. под углом к траектории в сторону ее вогнутости.
В общем случае величина среднего ускорения может быть различной на различных участках траектории и зависеть от величины промежутка времени Dt, по которому проводится усреднение. В пределе при Dt ® 0 точка В будет стремиться к точке А и среднее ускорение по пути АВ превратится в мгновенное или истинное ускорение в точке А.
Поэтому . (2.2)
Итак, мгновенное ускорение движения в любой точке траектории есть вектор, направленный под углом к траектории в сторону ее вогнутости, а по величине равный пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю.
Из выше приведенных формул следует, что ускорение измеряется в м/с2; [а] = м/с2.
По модулю величина ускорения равна . Т.е. величина ускорения определяется первой производной скорости v по времени или второй производной пути по времени.
Если рассматривать движение тела в пространстве, то вектор ускорения можно представить через его проекции на оси X, Y, Z, аналогично как это делали для вектора .
;
Замечание: Следует помнить, что ускорение характеризует не только изменение модуля скорости, но и изменение направления вектора скорости. Например, равномерное движение по окружности является ускоренным из-за изменения направления вектора скорости с течением времени, хотя модуль скорости остается неизменным.
Рассмотрим частный случай ускоренного движения.
Прямолинейное движение с постоянным ускорением называется равноускоренным (a = const). В этом случае мгновенное ускорение будет равно среднему ускорению за любой промежуток времени. И тогда
; (2.3)
В зависимости от поведения скорости со временем различают равноускоренное и «равнозамедленное» движения. Кавычки поставлены, чтобы подчеркнуть, что в любом случае движение происходит с постоянным ускорением.
1. Если а > 0, то движение равноускоренное. Из (2.3) следует, что v=v0+a(t - t0) и при t0 = 0
v=v0+at
при a > 0 скорость v возрастает. Направления и совпадают.
2. Если a < 0, то движение равнозамедленное и скорость v уменьшается.
Зная зависимость v от t можно подсчитать путь, пройденный телом при равнопеременном движении (рис. 2.10).
Имеем v=v0 + at, домножим на dt.
dS = v·dt = v0·dt + a·t·dt.
Интегрируем слева от 0 до S, справа от 0 до t. Получаем, что
.
Тогда
. (2.4)
Данная формула верна, если за время движения знаки начальной скорости и ускорения совпадают. Наклон прямой v0+at на рисунке 2.10 зависит от величины «а», чем «а» больше, тем больше угол наклона. «S» численно рано площади заштрихованной фигуры.
ЛЕКЦИЯ 2