Для самого простого описания эффектов квантовой проводимости удобно рассмотреть одномерную мезоскопическую полупроводниковую структуру, типа квантовой проволоки. Если такая проволока является достаточно короткой (т. е. ее длина меньше среднего свободного пробега электрона в рассматриваемом веществе), то движение электронов будет происходить без рассеяния, и перенос будет носить баллистический характер. Предположим, что, как показано на рис. 6.11, такая квантовая проволока идеальными контактами (т. е. такими, в которых полностью отсутствуют процессы рассеяния) соединена с двумя резервуарами, характеризующимися уровнями Ферми ЕF1 и ЕF2, между которыми приложено слабое напряжение V для обеспечения протекания тока через проволоку. В результате между резервуарами возникает разность потенциалов еV, равная (ЕF1 - ЕF2).
Рис. 6.11. Схематическое представление одномерной мезоскопической системы, используемое для вывода формулы Ландауэра.
Величина протекающего при этом по проволоке тока I равна произведению концентрации электронов (которую можно определить по функции плотности состояний п1D(Е) в интервале энергий еV) на скорость электронов v(Е) и единичный заряд:
I = eп1D(Е)v(E)eV. (6.10)
Подставляя в это выражение формулу (4.21) для плотности состояний п1D(Е) (из формулы выбрасывается только коэффициент 2, поскольку в рассматриваемой системе электроны могут двигаться лишь в одном направлении), можно легко получить для тока выражение
, (6.11)
которое, что довольно интересно, оказывается не зависящим от скорости носителей. Проводимость G≡ (I/V) при этом равна
. (6.12)
Стоит отметить также, что (в отличие от классической проводимости, обратно пропорциональной длине проводника) проводимость квантовой проволоки вообще никак не зависит от ее длины. Отношение
(6.13)
называется квантовой единицей проводимости, а соответствующее обратное отношение
kW (6.14)
называется квантовым сопротивлением и может быть измерено экспериментально. Поскольку отношение 2е2/h используется в теории очень часто, его иногда называют также фундаментальной проводимостью.
Все приведенные формулы для квантовой проводимости и сопротивления были получены на основе чрезвычайно простой, одномерной мезоскопической модели, однако сам факт квантования классических физических параметров (типа проводимости и сопротивления) в физике мезоскопических систем имеет фундаментальное значение. Для рассмотрения более сложных систем мы постараемся обобщить полученные результаты. Один из вариантов такого обобщения, предложенный в следующем разделе, состоит в использовании наноструктур с большим числом соединений (а не двух, как в случае одномерной системы). Еще вариант обобщения результатов связан с учетом энергетических подзон в рассматриваемых низкоразмерных полупроводниках. Если концентрация электронов или их энергия достаточно велики, в перенос могут вовлекаться электроны подзон, лежащих выше первого уровня квантования.
Для квантовых проволок такие подзоны (каналы, по терминологии квантового переноса) возникают из поперечных состояний. Предполагая наличие нескольких каналов, можно представить, что электроны могут инжектироваться из контактов в любой канал (или моду) т, поступать в мезоскопическую структуру, а затем, после взаимодействия с рассеивающим центром, возникать в другом канале — п. Такие электроны будут вносить свой вклад в полную или общую проводимость системы, равный произведению кванта проводимости 2е2/h на квантово-мехническую вероятность перехода |tmn|2, соответствующую инжекции электронов в канал т и их переходу в другой канал п (отметим, что в такой формулировке вероятность перехода выражается через амплитуды или вероятности пропускания tmn волновых функций электрона). Полная проводимость в этом случае может быть получена суммированием процессов по всем каналам, т. е.
, (6.15)
где N — полное число каналов, участвующих в рассматриваемых процессах проводимости. Уравнение (6.15), называемое формулой Ландауэра, может рассматриваться как обобщение уравнения (6.12) для мезоскопической системы с двумя контактами и большим числом каналов.
При изучении процессов квантового переноса часто используются наноструктуры, состоящие из сужений внутри двумерной системы. В качестве примера можно привести показанную на рис. 6.12 структуру, в которой движение электронов в двумерной гетероструктуре управляется расщепленным затвором. Использование электрода с такой специальной формой позволяет при приложении напряжения вследствие формируемого распределения потенциала ограничить движение электронов в плоскости двумерной системы и заставить их двигаться в очень малой квазиодномерной области. Такие структуры называют квантовым точечным контактом (QРС) или даже электронным волноводом, по аналогии с привычными волноводами в радиофизике.
На рис. 6.12 представлены результаты первого эксперимента по обнаружению квантовой проводимости, проведенного Визом и другими в 1988 г. на квантовом точечном контакте (форма которого приведена на врезке), образованном в квантовой гетероструктуре АlGаАs/GаАs. Легко заметить, что с ростом приложенного напряжения экспериментально измеренная квантовая проводимость меняется скачками (квантуется) с шагом, равным упомянутой выше фундаментальной проводимости 2е2/h. Квантование явно следует из уравнения (6.15), в котором коэффициенты пропускания приближаются к единице вследствие очень низких скоростей процессов рассеяния, что заведомо справедливо для квантовых точечных контактов. При этом экспериментальное наблюдение горизонтальных участков вольт-амперной характеристики представляет собой часто сложную задачу, так как эта ломаная линия «сглаживается» в результате многих побочных процессов: влияния неупругого рассеяния, конечного сопротивления контактов, наличия примесных атомов, шероховатости поверхности и т. д.
Рис. 6.12. Зависимость квантовой проводимости от напряжения на управляющем электроде (форма которого приведена на врезке) при 0,6 К для квантовых точечных контактов, создаваемых в гетероструктуре АlGаАs/GаАs.
В результате указанных факторов неточность определения экспериментально измеряемых значений ступенек на кривой проводимости может достигать нескольких процентов, что и показано на рисунке. С другой стороны при наложении сильных магнитных полей, в силу столь же объективных причин, точность измерения высоты ступенек на кривой проводимости повышается на несколько порядков и возрастает до 106 раз! Именно по этой причине квантовый эффект Холла, находит множество применений в метрологии и технике точных измерений.