Пусть за малый промежуток времени Dt тело повернулось на угол Dj (рис. 2.17). Точка, находящаяся на расстоянии R от оси, проходит при этом путь DS = R×Dj. По определению линейная скорость точки будет равна
.
Итак, v = w·R и чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем с большей линейной скоростью она движется.
Найдем теперь линейное ускорение точек вращающегося тела. Нормальное ускорение равно
. Итак,
Модуль тангенциального ускорения .
Отсюда
.
Итак,
(2.7)
Таким образом, как нормальное, так и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением R (R – расстояние от точки до оси вращения).
Полученное ранее уравнение v=wR устанавливает связь между модулями векторов и . Пользуясь специальным математическим аппаратом («векторное исчисление») можно установить связь между самими векторами.
Известно: векторным произведением двух векторов и называется вектор (обозначение: ), обладающий следующими свойствами:
1. Модуль вектора равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла a между ними (рис. 2.18).
2. Вектор перпендикулярен к плоскости, в которой лежат вектора и , причем направление его связано с направлениями и по правилу правого винта: если смотреть вслед вектору , то совершаемый по кратчайшему пути поворот от первого сомножителя ко второму осуществляется по часовой стрелке.
Пусть тело вращается вокруг оси Z с угловой скоростью w (рис. 2.19). Легко видеть, что векторное произведение на радиус–вектор точки, скорость которой мы хотим найти, представляет собой вектор, совпадающий по направлению с вектором и имеющий модуль, равный w×r×sina=w×R, т.е. v.
Таким образом, векторное произведение
.
Иногда применяют другие обозначения векторного произведения
или
Учитывая, что , получим
Первое слагаемое в последнем выражении равно нулю, т.к. sina = 0. Следовательно, .
Итак,
, (2.8)
где - перпендикулярная к оси вращения составляющая радиус-вектора , проведенного из точки, взятой на оси.
Модулю векторного произведения можно дать простую геометрическую интерпретацию: выражение AB·sina численно равно площади параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2.20), вектор в этом случае ^ плоскости чертежа и направлен за чертеж.
Рис. 2.20
ЛЕКЦИЯ 3