Рассмотрим следующую ситуацию, получившую в экономической литературе название “дилемма заключенных”:
Два человека арестованы по подозрению в совершении совместного преступления и помещены в отдельные камеры. Прокурор пытается получить признание от каждого из них. Каждому подозреваемому сообщается, что в случае, если он совершит признание, в то время, как другой заключенный будет продолжать отрицать вину, он получит лишь минимальный срок, в то время как другой будет осужден на длительный срок. Если же он не признается, в то время, как признание совершит другой, именно его ждет заключение с длительным сроком. Если признание совершат оба, то оно будет учтено судом, и срок наказания каждого будет средним. В случае отрицания наказание также будет небольшим. Каждый заключенный старается минимизировать время, проведенное в тюрьме.
Матрица выигрышей имеет вид:
Заключенный 2
“Не сознаваться”
“Сознаваться”
Заключенный 1
“Не сознаваться”
4, 4
0, 5
“Сознаваться”
5, 0
1, 1
Далее в тексте под кооперативной стратегией понимается стратегия “не сознаваться”, в то время как “сознаваться” является поведением некооперативным.
Если взаимодействие однократно, т.е. заключенные, отбыв срок, больше никогда не встретятся друг с другом, равновесным исходом будет отказ от кооперации со стороны каждого из игроков. Действительно, стратегия “сознаваться” будет для каждого из заключенных доминирующей, что приведет к нестабильности кооперативного исхода. Если оба игрока договорятся отрицать свою вину, у каждого из них будет стимул нарушить обещание. Это и приведет в результате к ситуации, в которой оба игрока будут вести себя некооперативно.
n-периодная дилемма заключенных
Предположим, что такое взаимодействие между заключенными повторяется n раз (они n раз подряд совершают разбойные нападения) и в каждом периоде описывается вышеприведенной матрицей:
Теорема: В данной игре существует единственное совершенное равновесие.
Неформальное доказательство:
Рассмотрим финальный период игры. Поскольку для каждого игрока “не сознаваться” доминирует над “сознаваться”, в n-ом периоде они оба выберут стратегии “не сознаваться”.
Рассмотрим теперь (n-1)-ый период игры. Оба игрока знают, что вне зависимости от их текущего выбора, результатом n-ого периода станет отсутствие кооперации.
Соответственно, никто не может быть наказанным за отсутствие признания в предпоследнем периоде игры, поскольку самое сильное наказание, которое может применить оппонент, - это выбор им стратегии “не сознаваться”. Оппонент же выберет данную стратегию в последнем периоде игры вне зависимости от предыстории игры. Таким образом, оба игрока выберут стратегии (“не сознаваться”, “не сознаваться”) в предпоследнем периоде.
Те же аргументы могут быть использованы для доказательства, что стратегии “не сознаваться” выбираются игроками в каждом периоде игры.
Бесконечно повторяющаяся дилемма заключенных
Пусть такое взаимодействие повторяется бесконечное число раз, причем перед началом каждого периода t игры, игрокам становится известен исход t-1 периода и соответствующие выигрыши за период.
Простое суммирование выигрышей игроков в каждом из бесконечного числа периодов не является подходящим средством оценки общего выигрыша игрока в игре. Так, получать 4 в каждом периоде выгоднее, чем получать 1, однако и в том, и в другом случае сумма по всем периодам будет бесконечной. Для оценки общего выигрыша в игре используется дисконтирующий фактор.
Определение 1: Дисконтирующий фактор d = есть сегодняшняя стоимость единицы дохода, который будет получен в следующем периоде, где r - процентная ставка за период.
Определение 2: Для данного дисконтирующего фактора d , приведенная стоимость бесконечной последовательности выигрышей p 1, p 2, p 3, p 4,… есть
p 1 + d p 2 + d 2p 3 + . . . =
Замечание:
Дисконтирующему фактору может быть дана другая, не менее важная интерпретация:
В реальных взаимодействиях агенты практически никогда не могут с определенностью предполагать, как долго эти отношения продлятся. Они уверены, однако, что отношения не продлятся вечно, однако назвать время последнего периода взаимодействия они не могут. Если же предположить, что вероятность того, что каждый следующий этап игры является последним, равна d , то выигрыш каждого следующего периода при подсчете общего ожидаемого выигрыша от игры будет умножаться на эту вероятность – дисконтирующий множитель.
Рассмотрим бесконечно повторяющуюся дилемму заключенных, в которой дисконтирующий фактор для каждого игрока равен d и выигрыш каждого игрока в игре есть приведенная стоимость выигрышей в каждом периоде игры.
Пусть в каждом из периодов игра описывается той же матрицей:
Заключенный 2
“Не сознаваться”
“Сознаваться”
Заключенный 1
“Не сознаваться”
- 2, -2
-10, -1
“Сознаваться”
-1, -10
-5, -5
Предположим, игрок начинает игру, выбирая кооперативную стратегию и далее придерживается той же стратегии, только если оба игрока выбирали кооперацию во всех предыдущих периодах игры.
Формально, стратегия игрока i имеет вид:
“Кооперация” в первом периоде. В каждом t-ом периоде, если результатом предыдущего периода стали (“кооперация”, “кооперация”), также “кооперация”, иначе “отсутствие кооперации”.
Данная стратегия представляет собой пример т.н. “стратегии спускового крючка” (“trigger strategy”), так как игрок выбирает кооперативную стратегию до тех пор, пока его оппонент не нарушит кооперативных обязательств. В этом случае он во всех последующих периодах выбирает некооперативную стратегию.
Если оба игрока придерживаются trigger-стратегии, результатом каждого периода бесконечно повторяющейся игры является кооперация игроков (C, C).
Покажем, что при значениях d , близких к единице, данные стратегии составляют равновесные (в смысле равновесия по Нэшу) стратегии.
Действительно, если игрок i придерживается кооперативной стратегии на всем протяжении игры, его приведенный выигрыш равен:
4 + 4d + 4d 2 + … =
В случае, если он отклоняется от кооперативной стратегии, выигрыш составит:
5 + 1d + 1d 2 + … = 5 +
Таким образом, кооперация является оптимальной стратегией тогда, когда
или
d ³ 1/4
Т.е. кооперация возникает при всех значениях d , больших определенного значения. С экономической точки зрения, это значит, что кооперация между индивидами возникает в тех случаях, когда участники взаимодействия высоко оценивают будущие выигрыши (например, в силу стабильности ситуации), или когда высока вероятность продолжения отношений.