Алгебра Вейля

Рассмотрим  и рассмотрим операторы  и .
                Предложение. , , .
Доказательство.
                Первые два соотношения очевидны, докажем третье:
.
Определение. Алгеброй Вейля  называется подалгебра с единицей в алгебре всех линейных операторов на , порожденная операторами .
Каждый элемент  из  можно представить в как  или как .
                Предложение. Пусть  представлено в виде , тогда
1)
2)
Доказательство.
                В любой алгебре  положим , тогда , т.е. эта операция имеет такие же свойства как и дифференцирование, будем этим пользоваться. Посчитаем  - дифференцирование многочлена  по переменной :

.
Аналогично доказывает и второй пункт.
Лекция 13 (26.11.2001)
Вернемся к рассмотрению алгебры Вейля. Напомним, что мы рассматривали пространство  и линейные операторы , , которые обладали свойством  и , где . Алгебра Вейля – это , если , то , то  и .
Теорема.  проста.
Доказательство.
Пусть , . Пусть , , тогда .
Если , то , т.е. степень  уменьшилась. Продолжая эту операцию и дальше, мы вообще избавимся от . Далее таким же образом мы можем избавиться от всех , и, рассматривая , мы можем избавиться от всех . В итоге получим, что некая константа (не нулевая) принадлежит нашему идеалу. Следовательно, т.к. константа обратима, наш идеал совпадает со всей алгеброй. Т.е. алгебра проста.
Предложение. Многочлены  линейно независимы в  при разных .
Доказательство.
                Действительно, если , то будем действовать аналогично доказательству предыдущей теоремы, т.е.  и т.д. В итоге мы получим, что ненулевая константа должна равняться нулю, что невозможно.
                Следствие. Алгебра Вейля бесконечномерна.
                Рассмотрим поле . Над  мы знаем следующие тела:
1)  над ;
2) над ;
3) над  - поле кватернионов.
Сейчас мы докажем, что других тел нет (т.е. все тела изоморфны какому-то из этих).
                Лемма. Центр  равен , т.е. все матрицы с одинаковыми вещественными числами по диагонали.
Доказательство.
                Пусть  - элемент центра. Тогда  для любых  и . Т.е. получаем систему   на элементы . Решая ее, получаем утверждение леммы.
                Определение. Пусть  - ассоциативная алгебра с единицей над полем . Элемент  называется алгебраическим, если существует многочлен  такой, что . Минимальным многочленом алгебраического элемента  называется многочлен наименьшей степени со страшим коэффициентом  такой, что .
Упражнение. Пусть  - алгебраический элемент из  и  - все такие , что . Докажите, что  и , где  - минимальный многочлен элемента .
                Теорема. Пусть , тогда .
Доказательство.
                Возьмем , , где , следовательно, . Следовательно, , где . Если , то . Следовательно, , т.е. . Если , то , что невозможно. Следовательно , следовательно, все  и элементы  независимы.
                Теорема.  является полем тогда и только тогда, когда многочлен  неприводим.
Доказательство.
                . Пусть  приводим, т.е. , где . Тогда , и , т.е. есть делители нуля. Следовательно  не поле.
                . Пусть  неприводим и  - ненулевой элемент. Тогда  не делит , т.е. . Следовательно . Тогда , т.е. каждый ненулевой элемент обратим. Следовательно  поле.
                Определение. Пусть  - алгебра и . Множество  называется подалгеброй, порожденной элементом .
                Предложение. Пусть  - область (ассоциативная алгебра с единицей и без делителей нуля) и . Тогда минимальный многочлен  для  неприводим и . В частности  является полем.
Доказательство.
                Пусть , где . Тогда  при , но в нет делителей нуля. Получили противоречие, следовательно, неприводим.
Рассмотрим , такой что . Тогда  и . По теореме о гомоморфизме получаем, что  - поле.
                Предложение. Пусть  - конечномерное тело над  и . Тогда .
Доказательство.
                Пусть  - минимальный многочлен из  для . Если , , то , следовательно , противоречие. Следовательно  - неприводимый над . Тогда . (пусть  - комплексный корень  Тогда зададим , т.ч.  и воспользуемся т. о гомоморфизме).
                Теорема. Пусть  - поле, являющееся конечномерной алгеброй над . Тогда  или .
Доказательство.
                Пусть , тогда (по предыдущему предложению) . Пусть  и  - минимальный многочлен для  над , тогда  неприводим. Следовательно , где  и , т.е. . Следовательно .
                Теорема (Фробениуса). Пусть  - конечномерное некоммутативное тело над , тогда .
Доказательство.
                Т.к.  некоммутативно, то . Пусть . Тогда , следовательно . является левым векторным пространством над . Рассмотрим оператор , это линейный оператор, т.к.  и . Т.е. нам задано комплексное представление группы , . Рассмотрим множества:
, тогда .
Если , то , т.е.  Т.к. в  нет делителей нуля, то , т.е. . Аналогично . Следовательно .
Лемма 1. .
Доказательство.
               Пусть , тогда , следовательно . Но  - подалгебра , являющееся конечномерным расширением . А мы уже знаем, что в этом случае .
               Лемма 2. Пусть , , где . Тогда .
               Доказательство.
.
Лемма 3. Пусть , тогда  и .
Доказательство.
По предыдущей лемме . Следовательно . Но с другой стороны  (т.к. в  нет делителей нуля). Следовательно все эти неравенства обращаются в равенства и . Аналогично доказываем, что .
                По лемме 1 имеем  и . Возьмем , тогда . Минимальный многочлен для  над  имеет степень 2. Следовательно , где . Более того:  (т.к. ) и  (т.к. ). Следовательно, . Т.е. получаем, что , причем .
Если , то , т.е. , что невозможно.
Следовательно, , где . Следовательно . Пусть , тогда  и . Пусть , тогда ,  и .
В итоге мы получили, что . Т.е. мы получили группу кватернионов  (правила умножения совпадают). 
Лекция 14 (3.12.2001)
Определение. Пусть  - область над полем  и . Элемент  называется алгебраическим, если , такой что . Многочлен , наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, такой что , называется минимальным аннулирующим многочленом для .
Если  - минимальный многочлен для , то .
Предложение. Если  ненулевой над , тогда  - поле. Элемент  является корнем  в поле .
Доказательство.
Пусть , . Тогда
.
                Следствие. Пусть  - произвольный. Тогда существует поле , в котором многочлен  имеем корень.
Здесь  называется расширением поля , записывается это как .
                Определение. Пусть  и . Поле  называется полем разложения для , если:
                1) над  многочлен  разлагается на линейные множители;
                2) никакое промежуточное поле  () этим свойством не обладает.
Теорема. Пусть  и . Тогда:
                1) поле разложения  существует;
                2) если  и  - поле разложения для , то  и  изоморфны как -алгебры.
Доказательство.
                1) Существование (доказательство по индукции).
                Если , то .
                Пусть теперь  и для всех меньших степеней существование поля разложения уже доказано. Разложим  на неприводимые многочлены ,  - неприводим.  снова поле, и в нем многочлен  имеет корень . Тогда в этом поле , где ,  и . По предположению индукции, существует  - поле разложения для . Следовательно  будет полем разложения для .
                2) Единственность (тоже по индукции).
Если , то поле разложения единственно и равно .
Если . Пусть . Пусть  и  - корни  в полях  и  соответственно. Тогда . Без ограничения общности можно считать, что  и . Тогда  и  - поля разложения многочлена   над . По предположению индукции поля  и  совпадают.
Вспомним из первого семестра, что, если  - поле, то  либо 0, либо простое число. Если характеристика равно нулю, то поле содержит в себе поле рациональных чисел. Если характеристика равна , то поле содержит в себе поле вычетов по модулю .
Теорема. Пусть  - конченое поле и , тогда .
Доказательство.
Т.к. , то  является векторным пространством над  размерности . Пусть  - базис в  над . Следовательно, , где . Следовательно .
Предложение. Пусть  - поле характеристики . Тогда ,  .
Доказательство.
Докажем сначала для степени . По биному Ньютона
.
Биноминальный коэффициент  равен . Причем , а , следовательно, . Т.е. в поле  этот коэффициент равен нулю. Следовательно .
В общем случае () имеем:
.
                Теорема. Если  - поле из  элементов и , то .
Доказательство.
                Пусть . Тогда . Но  - группа по умножению порядка , следовательно, , следовательно, .
Если , то утверждение очевидно.
                Теорема. Пусть , где  - просто, тогда существует (и оно единственно) поле  и  элементов.
Доказательство.
                Рассмотрим поле  и многочлен . Пусть  - поле разложения для . Пусть  и  - корни , тогда , т.е.  - тоже корень . По доказанному выше предложению , т.е.  - тоже корень . Аналогично проверяем, что  и  тоже будут корнями .
Если , то , следовательно, и . Все корни  образуют подполе. Следовательно  совпадает с множеством всех корней многочлена . У многочлена  нет кратных корней, т.к.  и  - взаимопросты. Следовательно . Единственность поля следует из единственности поля разложения для многочлена. .
                Теорема. Пусть  - поле и  - конечная подгруппа в . Тогда  - циклическая.
Доказательство.
                , где  - силовская  - подгруппа. Нам достаточно доказать, что каждая  циклическая. , где  - простое число. Пусть элемент  имеет максимальный порядок (). Тогда  или . Рассмотрим многочлен . Любой элемент  имеет порядок , где . Следовательно,  и . Т.е. все элементы  являются корнями многочлена . Но и всего , следовательно,  и порядок элемента совпадает с порядком всей группы. Следовательно, группа  циклическая, порожденная элементом . Следовательно и вся группа  циклическая.
                Следствие.  - циклическая группа.
                Следствие. Пусть  - поле и . Тогда существует многочлен  степени  такой, что .
Доказательство.
                , где  - минимальный аннулирующий многочлен.
Теорема. Группа автоморфизмов , где  является циклической группой порядка .
Доказательство.
Пусть  - автоморфизм , тогда , , , т.е. , если . Тогда , где  - минимальный аннулирующий многочлен для , . Пусть , тогда . Для  имеется не более  значений. Следовательно, существует не более  автоморфизмов .
Укажем автоморфизм порядка . , тогда  и . Тогда , т.е.  - тождественный автоморфизм. Если порядок  равен , то   и тогда в поле  будет всего  элементов. Следовательно, порядок  равен  и .