Рассмотрим
и рассмотрим операторы
и
.
Предложение.
,
,
.
Доказательство.
Первые два соотношения очевидны, докажем третье:
.
Определение. Алгеброй Вейля
называется подалгебра с единицей в алгебре всех линейных операторов на
, порожденная операторами
.
Каждый элемент
из
можно представить в как
или как
.
Предложение. Пусть
представлено в виде
, тогда
1)
2)
Доказательство.
В любой алгебре
положим
, тогда
, т.е. эта операция имеет такие же свойства как и дифференцирование, будем этим пользоваться. Посчитаем
- дифференцирование многочлена
по переменной
:
.
Аналогично доказывает и второй пункт.
Лекция 13 (26.11.2001)
Вернемся к рассмотрению алгебры Вейля. Напомним, что мы рассматривали пространство
и линейные операторы
,
, которые обладали свойством
и
, где
. Алгебра Вейля – это
, если
, то
, то
и
.
Теорема.
проста.
Доказательство.
Пусть
,
. Пусть
,
, тогда
.
Если
, то
, т.е. степень
уменьшилась. Продолжая эту операцию и дальше, мы вообще избавимся от
. Далее таким же образом мы можем избавиться от всех
, и, рассматривая
, мы можем избавиться от всех
. В итоге получим, что некая константа (не нулевая) принадлежит нашему идеалу. Следовательно, т.к. константа обратима, наш идеал совпадает со всей алгеброй. Т.е. алгебра проста.
Предложение. Многочлены
линейно независимы в
при разных
.
Доказательство.
Действительно, если
, то будем действовать аналогично доказательству предыдущей теоремы, т.е.
и т.д. В итоге мы получим, что ненулевая константа должна равняться нулю, что невозможно.
Следствие. Алгебра Вейля бесконечномерна.
Рассмотрим поле
. Над
мы знаем следующие тела:
1)
над
;
2)
над
;
3)
над
- поле кватернионов.
Сейчас мы докажем, что других тел нет (т.е. все тела изоморфны какому-то из этих).
Лемма. Центр
равен
, т.е. все матрицы с одинаковыми вещественными числами по диагонали.
Доказательство.
Пусть
- элемент центра. Тогда
для любых
и
. Т.е. получаем систему
на элементы
. Решая ее, получаем утверждение леммы.
Определение. Пусть
- ассоциативная алгебра с единицей над полем
. Элемент
называется алгебраическим, если существует многочлен
такой, что
. Минимальным многочленом алгебраического элемента
называется многочлен наименьшей степени со страшим коэффициентом
такой, что
.
Упражнение. Пусть
- алгебраический элемент из
и
- все такие
, что
. Докажите, что
и
, где
- минимальный многочлен элемента
.
Теорема. Пусть
, тогда
.
Доказательство.
Возьмем
,
, где
, следовательно,
. Следовательно,
, где
. Если
, то
. Следовательно,
, т.е.
. Если
, то
, что невозможно. Следовательно
, следовательно, все
и элементы
независимы.
Теорема.
является полем тогда и только тогда, когда многочлен
неприводим.
Доказательство.
. Пусть
приводим, т.е.
, где
. Тогда
, и
, т.е. есть делители нуля. Следовательно
не поле.
. Пусть
неприводим и
- ненулевой элемент. Тогда
не делит
, т.е.
. Следовательно
. Тогда
, т.е. каждый ненулевой элемент обратим. Следовательно
поле.
Определение. Пусть
- алгебра и
. Множество
называется подалгеброй, порожденной элементом
.
Предложение. Пусть
- область (ассоциативная алгебра с единицей и без делителей нуля) и
. Тогда минимальный многочлен
для
неприводим и
. В частности
является полем.
Доказательство.
Пусть
, где
. Тогда
при
, но в
нет делителей нуля. Получили противоречие, следовательно,
неприводим.
Рассмотрим
, такой что
. Тогда
и
. По теореме о гомоморфизме получаем, что
- поле.
Предложение. Пусть
- конечномерное тело над
и
. Тогда
.
Доказательство.
Пусть
- минимальный многочлен из
для
. Если
,
, то
, следовательно
, противоречие. Следовательно
- неприводимый над
. Тогда
. (пусть
- комплексный корень
Тогда зададим
, т.ч.
и воспользуемся т. о гомоморфизме).
Теорема. Пусть
- поле, являющееся конечномерной алгеброй над
. Тогда
или
.
Доказательство.
Пусть
, тогда (по предыдущему предложению)
. Пусть
и
- минимальный многочлен для
над
, тогда
неприводим. Следовательно
, где
и
, т.е.
. Следовательно
.
Теорема (Фробениуса). Пусть
- конечномерное некоммутативное тело над
, тогда
.
Доказательство.
Т.к.
некоммутативно, то
. Пусть
. Тогда
, следовательно
.
является левым векторным пространством над
. Рассмотрим оператор
, это линейный оператор, т.к.
и
. Т.е. нам задано комплексное представление группы
,
. Рассмотрим множества:
, тогда
.
Если
, то
, т.е.
Т.к. в
нет делителей нуля, то
, т.е.
. Аналогично
. Следовательно
.
Лемма 1.
.
Доказательство.
Пусть
, тогда
, следовательно
. Но
- подалгебра
, являющееся конечномерным расширением
. А мы уже знаем, что в этом случае
.
Лемма 2. Пусть
,
, где
. Тогда
.
Доказательство.
.
Лемма 3. Пусть
, тогда
и
.
Доказательство.
По предыдущей лемме
. Следовательно
. Но с другой стороны
(т.к. в
нет делителей нуля). Следовательно все эти неравенства обращаются в равенства и
. Аналогично доказываем, что
.
По лемме 1 имеем
и
. Возьмем
, тогда
. Минимальный многочлен для
над
имеет степень 2. Следовательно
, где
. Более того:
(т.к.
) и
(т.к.
). Следовательно,
. Т.е. получаем, что
, причем
.
Если
, то
, т.е.
, что невозможно.
Следовательно,
, где
. Следовательно
. Пусть
, тогда
и
. Пусть
, тогда
,
и
.
В итоге мы получили, что
. Т.е. мы получили группу кватернионов
(правила умножения совпадают).
Лекция 14 (3.12.2001)
Определение. Пусть
- область над полем
и
. Элемент
называется алгебраическим, если
, такой что
. Многочлен
, наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, такой что
, называется минимальным аннулирующим многочленом для
.
Если
- минимальный многочлен для
, то
.
Предложение. Если
ненулевой над
, тогда
- поле. Элемент
является корнем
в поле
.
Доказательство.
Пусть
,
. Тогда
.
Следствие. Пусть
- произвольный. Тогда существует поле
, в котором многочлен
имеем корень.
Здесь
называется расширением поля
, записывается это как
.
Определение. Пусть
и
. Поле
называется полем разложения для
, если:
1) над
многочлен
разлагается на линейные множители;
2) никакое промежуточное поле
(
) этим свойством не обладает.
Теорема. Пусть
и
. Тогда:
1) поле разложения
существует;
2) если
и
- поле разложения для
, то
и
изоморфны как
-алгебры.
Доказательство.
1) Существование (доказательство по индукции).
Если
, то
.
Пусть теперь
и для всех меньших степеней существование поля разложения уже доказано. Разложим
на неприводимые многочлены
,
- неприводим.
снова поле, и в нем многочлен
имеет корень
. Тогда в этом поле
, где
,
и
. По предположению индукции, существует
- поле разложения для
. Следовательно
будет полем разложения для
.
2) Единственность (тоже по индукции).
Если
, то поле разложения единственно и равно
.
Если
. Пусть
. Пусть
и
- корни
в полях
и
соответственно. Тогда
. Без ограничения общности можно считать, что
и
. Тогда
и
- поля разложения многочлена
над
. По предположению индукции поля
и
совпадают.
Вспомним из первого семестра, что, если
- поле, то
либо 0, либо простое число. Если характеристика равно нулю, то поле содержит в себе поле рациональных чисел. Если характеристика равна
, то поле содержит в себе поле вычетов по модулю
.
Теорема. Пусть
- конченое поле и
, тогда
.
Доказательство.
Т.к.
, то
является векторным пространством над
размерности
. Пусть
- базис в
над
. Следовательно,
, где
. Следовательно
.
Предложение. Пусть
- поле характеристики
. Тогда
,
.
Доказательство.
Докажем сначала для степени
. По биному Ньютона
.
Биноминальный коэффициент
равен
. Причем
, а
, следовательно,
. Т.е. в поле
этот коэффициент равен нулю. Следовательно
.
В общем случае (
) имеем:
.
Теорема. Если
- поле из
элементов и
, то
.
Доказательство.
Пусть
. Тогда
. Но
- группа по умножению порядка
, следовательно,
, следовательно,
.
Если
, то утверждение очевидно.
Теорема. Пусть
, где
- просто, тогда существует (и оно единственно) поле
и
элементов.
Доказательство.
Рассмотрим поле
и многочлен
. Пусть
- поле разложения для
. Пусть
и
- корни
, тогда
, т.е.
- тоже корень
. По доказанному выше предложению
, т.е.
- тоже корень
. Аналогично проверяем, что
и
тоже будут корнями
.
Если
, то
, следовательно, и
. Все корни
образуют подполе. Следовательно
совпадает с множеством всех корней многочлена
. У многочлена
нет кратных корней, т.к.
и
- взаимопросты. Следовательно
. Единственность поля следует из единственности поля разложения для многочлена.
.
Теорема. Пусть
- поле и
- конечная подгруппа в
. Тогда
- циклическая.
Доказательство.
, где
- силовская
- подгруппа. Нам достаточно доказать, что каждая
циклическая.
, где
- простое число. Пусть элемент
имеет максимальный порядок (
). Тогда
или
. Рассмотрим многочлен
. Любой элемент
имеет порядок
, где
. Следовательно,
и
. Т.е. все элементы
являются корнями многочлена
. Но и всего
, следовательно,
и порядок элемента
совпадает с порядком всей группы. Следовательно, группа
циклическая, порожденная элементом
. Следовательно и вся группа
циклическая.
Следствие.
- циклическая группа.
Следствие. Пусть
- поле и
. Тогда существует многочлен
степени
такой, что
.
Доказательство.
, где
- минимальный аннулирующий многочлен.
Теорема. Группа автоморфизмов
, где
является циклической группой порядка
.
Доказательство.
Пусть
- автоморфизм
, тогда
,
,
, т.е.
, если
. Тогда
, где
- минимальный аннулирующий многочлен для
,
. Пусть
, тогда
. Для
имеется не более
значений. Следовательно, существует не более
автоморфизмов
.
Укажем автоморфизм порядка
.
, тогда
и
. Тогда
, т.е.
- тождественный автоморфизм. Если порядок
равен
, то
и тогда в поле
будет всего
элементов. Следовательно, порядок
равен
и
.