При выводе уравнения гармонических колебаний считалось, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реальной колебательной системе всегда имеются силы сопротивления (например, это может быть сила трения в точке подвеса, сопротивление среды, в которой совершаются колебания). Действие этих сил приводит к тому, что энергия колеблющейся системы (или точки) будет непрерывно убывать. Эта убыль энергии будет равна работе против сил трения и сопротивления. Т.к. полная энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды , то наличие сил трения и сопротивления приведет и к непрерывному убыванию амплитуды колебаний. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать (и носят название затухающих).
Итак, затухание колебаний в любой колебательной системе (механической, электрической и т.п.) обусловлено потерями энергии в этой системе. Потери энергии колебаний в механических колебательных системах происходят из-за трения (внешнего и внутреннего) и излучения упругих волн в окружающую среду; в электрических – из-за наличия активного сопротивления проводников и т.п.
Рассмотрим свободные (или собственные) колебания. Это значит, что система, будучи выведена из положения равновесия в результате внешнего воздействия, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы F=-kx и силы сопротивления среды, значит она будет совершать затухающие колебания вдоль оси “x”.
Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда и скорость (v) системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна скорости:
,
где r – коэффициент сопротивления среды. Знак минус (“-”), т.к. и имеют противоположные направления.
Под действием сил F и f тело приобретает ускорение “a”, и для колеблющегося тела уравнение II-закона Ньютона имеет вид:
или .
Обозначим ; , тогда
(8.15)
– дифференциальное уравнение затухающих колебаний
Здесь w0 – та частота, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды (т.е. при r = 0). Эта частота называется собственной частотой колебаний системы. b – коэффициент затухания колебаний (зависит от свойств данной системы и среды).
Наличие сопротивления среды приводит к тому, что амплитуда колебаний со временем будет уменьшаться. Поэтому будем искать решение уравнения (8.15) в виде:
где a(t) – некоторая функция времени.
Продифференцируем это выражение по времени и найдем и :
После подстановки этих выражений в уравнение (8.15) и несложных преобразований придем к следующему соотношению:
.
Для того чтобы уравнение удовлетворялось при любых значения “t”, необходимо равенство нулю коэффициентов при “sin” и ”cos”. Т.е. приходим к двум следующим уравнениям:
(8.16)
(8.17)
Первое уравнение представим в виде:
или .
После интегрирования получим , где – постоянная интегрирования. После потенцирования найденного выражения получим . Видно, что , а . Подставим эти значения в (8.17), получим
.
Отсюда .
При w0 > b, величина w будет вещественной и тогда решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде
.
Таким образом, при не слишком большом затухании колебания описываются функцией
.
График этой функции показан на рисунке 8.9. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Движение такой системы можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой w и амплитудой, изменяющееся по закону Верхняя из пунктирных кривых дает график функции a(t), причем величина a0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение x0 зависит, кроме a0, также от начальной фазы a: .
Скорость затухания колебаний определяется величиной , которую называют коэффициентом затухания. Найдем время t, за которое амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз. По определению .
Следовательно, коэффициент затухания равен обратной величине того промежутка времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в “e” раз.
С учетом того, что , а период затухающих колебаний можно определить как
.
При незначительном сопротивлении среды период колебаний практически равен . С ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается.
Для характеристики колебательной системы (а именно: убывания амплитуды колебаний в зависимости от числа колебаний) вводится величина, называемая логарифмическим декрементом затухания (l).
Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период равно
– это отношение называется декрементом затухания, а его логарифм – логарифмическим декрементом затухания.
, т.е. . Т.к. , то . Отсюда следует, что логарифмический декремент затухания l зависит от свойств данной системы и среды.
Выразим и запишем закон убывания амплитуды в виде . За время t, за которое амплитуда колебаний уменьшится в “e” раз система совершит колебаний. Из условия получаем . Поэтому .
Следовательно, логарифмический декремент затухания равен обратнойвеличине числа колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда уменьшается в “e” раз (l – безразмерная величина).
Для характеристики колебательной системы также часто употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Как видно из определения, добротность пропорциональна числу колебаний N, совершаемых системой за время t, за которое амплитуда колебаний убывает в “e” раз.
Как известно, энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому энергия системы при затухающих колебаниях убывает со временем по закону
,
где E0 – значение энергии при t = 0.
Продифференцировав это выражение по “t”, получим скорость возрастания энергии
.
Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии: .
Если энергия мало изменяется за время равное периоду колебаний, то убыль энергии за период будет равна .
С учетом и получим , т.е. при слабом затухании колебаний добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний.
Из формулы для периода колебаний следует, что с ростом коэффициента затухания период колебаний увеличивается, а при b = w0 период колебаний обращается в бесконечность, т. е., движение перестает быть периодическим.
И последнее, математический анализ показывает, что при условии движение носит апериодический (непериодический) характер – выведенная из положения равновесия система возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний.