Пусть нам задано евклидово пространство размерности . Пусть нам также задана метрика , где - скалярное произведение векторов и . Движение пространства - это биективное преобразование пространства , сохраняющее расстояние между векторами, т.е. .
Упражнение. Будет ли произвольное преобразование, сохраняющее длины, биекцией?
Теорема. Пусть - движение, тогда , где - ортогональное преобразование и - некоторый вектор. Также верно и обратное утверждение.
Доказательство этой теоремы было в курсе Линейной Алгебры.
Рассмотрим множество - все движения пространства .
Теорема. - группа относительно операции композиции преобразований.
Доказательство.
Пусть и , тогда - снова движение.
Единичное преобразование - это тождественное преобразование.
Обратное преобразование - это .
Рассмотрим множество - множество всех сдвигов. Из формулы последней теоремы видно, что - это подгруппа в . Рассмотрим также множество - множество всех ортогональных преобразований , это множество также будет подгруппой в .
По первой теореме произвольное преобразование имеет вид . В этой записи вектор определен однозначно, т.к. . Следовательно и ортогональное преобразование определено однозначно. Это преобразование называется дифференциалом преобразования и обозначается .
Из формулы второй теоремы имеем, что , т.е. дифференциал обладает свойством мультипликативности.
Теорема. Сопоставление движению его дифференциала является эпиморфизмом , причем ядро этого эпиморфизма равно .
Доказательство.
То, что это гомоморфизм групп следует из свойства мультипликативности дифференциала. Если , то , следовательно этот гомоморфизм сюръективен (т.е. это эпиморфизм). Ядро - это все движения, дифференциал которых равен тождественному преобразованию, т.е. все движения вида , т.е. множество сдвигов .
Следствие. и .
Предложение. .
Доказательство.
Пусть - сдвиг на вектор , сопоставим такому преобразованию этот вектор . Тогда, если - сдвиг на вектор , - сдвиг на вектор . Это сопоставление преобразованию вектора является биективным, следовательно .
Определение. Подгруппа в называется кристалло-графической, если
1) - дискретная подгруппа группы ранга ,
2) - конечная группа.
Опишем все кристалло-графические группы в двумерном случае.
Предложение. Если и , то .
Доказательство.
Пусть - сдвиг на , и - преобразование с дифференциалом . Тогда , следовательно (т.к. - нормальна).
Пусть - базис в (это также будет базис во всем линейном пространстве ). В группе лежат все целочисленные комбинации этих векторов, т.е. целочисленная решетка, порожденная этими векторами. Предыдущим упражнением мы доказали, что группа переводит эту решетку в себя. Матрица любого оператора целочисленная в базисе , т.е. - это целое число.
Группа называется пространственной группой.
Группа называется точечной группой.
Теорема. Пусть и - группа ортогональных операторов с определителем (т.е. содержит только собственные преобразования). Тогда - циклическая группа порядка .
Доказательство.
Пусть - ортогональный базис пространства и , тогда его матрица имеет вид . Кроме того, ее след - целое число. Следовательно , т.е. . Укажем все возможные варианты группы в зависимости о того, какие повороты в ней лежат:
повороты, лежащие в группе
элементы группы
порядок
1
2
3
4
6
В этой таблице не все матрицы целочисленные, однако существуют такие базисы (для каждого случая он свой), что в них эти матрицы будут целочисленными. Например, в базисе , где вектор повернут относительно на угол матрица поворота на угол будет иметь вид (тогда все матрицы в случае группы порядка 3), а если повернут относительно на угол , то матрица поворота на угол имеет вид (тогда все матрицы в случае группы порядка 6 будут целочисленные).
Теорема. Пусть и , т.е. в есть несобственное преобразование (преобразование с определителем ), тогда - одна из следующих групп:
1) ,
2) ,
3) циклическая группа порядка .
Доказательство.
Пусть и . Если и , тогда . - это отражение относительно некоторой оси, следовательно матрица в некотором базисе имеет вид , но в любом базисе имеем .
Имеем, что , где . - подгруппа индекса 2 в , следовательно и . Т.к. - это снова симметрия относительно некоторой оси, то и , т.к. . Следовательно группа - это группа диэдра.
В случае эта группа превращается в группу .
В случае это циклическая группа порядка 2.
Покажем теперь, как можно получить все эти варианты групп (пусть - базис):
1) если не перпендикулярны и имеют разные длины, то , где - центральная симметрия;
2) если перпендикулярны и имеют разные длины, то ;
3) если перпендикулярны и имеют одинаковые длины, то ;
4) если не перпендикулярны, имеют равные длины и не образуют правильный треугольник, то ;
5) если образуют правильные треугольник, то .
6) также допустимы подгруппы этих групп, таким образом, получаются все указанные нами группы.
Двумерный случай разобран полностью. Есть также теорема, утверждающая, что порядок конечной подгруппы в группе ортогональных матриц ограничен для каждого числом (в случае имеем ), т.е. таких групп конечное число для любого .
Приведем описание (без доказательства) трехмерного случая:
Пусть - конечная подгруппа в , тогда - это:
1) циклическая группа порядка ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) .