Дискретное преобразование Лапласа является функциональным преобразованием решётчатых функций f[n] и определяется соотношением
(5.11)
В этом выражении q = σ+iω – комплексное число, называемое параметром преобразования. Функцию f[n] называют оригиналом, а F(q)- изображением. Чтобы изображение F(q) было определено, необходима сходимость ряда (5.11). Доказано, что если ряд (5.11) сходится при Re(q)=σ0, то он сходится при любых q, удовлетворяющих условию Re(q) >σ0. Значение σс, для которого при σ ≥ σс ряд сходится, а при σ < σс расходится, называется абсциссой сходимости. Ряд сходится, если σс < ∞, в противном случае он расходится, и изображение для f[n] не существует.
Положив , приходим к так называемому z-преобразованию функции f[n], определяемому как
. (5.12)
В табл.2 приведены z-преобразования некоторых функций.
Табл.2
Оригинал f[n]
z-преобразование F(z)
1[n]
n
Изображения решётчатых функций являются функциями комплексного переменного eq, которое может быть записано в виде
(5.13)
Из этого следует, что eq – периодическая функция вдоль мнимой оси комплексного переменного с периодом 2π. Следовательно, изображения являются периодическими функциями вдоль мнимой оси.
Прямое преобразование Лапласа решает задачу нахождения изображения по оригиналу. Обратная задача, то есть нахождение оригинала по изображению, решается в соответствии с формулой
(5.14)
В литературе имеются таблицы соответствия между оригиналами и изображениями различных конкретных решётчатых функций.