Определение. Абелевая группа называется конечно-порожденной, если , такие что , где .
Упражнение. Доказать, что не конечно-порожденная.
Определение. Абелевая группа называется свободной, если в ней есть базис, т.е. такой набор элементов , что .
Теорема. Абелевая группа свободна тогда и только тогда, когда .
Доказательство.
. Пусть - базис , тогда если , то , . Возьмем отображение по правилу . - это изоморфизм, следовательно .
. Пусть . Предъявим базис в : , тогда .
Определение. Ранг свободной абелевой группы равен числу векторов в базисе.
Теорема. Ранг свободной абелевой группы определен однозначно.
Доказательство.
Мы докажем эту теорему немного необычным, но красивым способом.
Пусть имеем базис , рассмотрим группу . Пусть - гомоморфизм. Если , то . Таким образом однозначно задается значениями на базисных элементах: . Следовательно всего различных гомоморфизмов будет . Пусть в есть базис из элементов, тогда .
Теорема. Пусть - свободная абелевая группа ранга и - подгруппа в . Тогда - свободная абелевая группа ранга .
Примечание. В подобной теореме о размерности линейных пространств из совпадения размерностей. следовало совпадение подгруппы с самой группой, однако здесь это не верно. Пример: группа и подгруппа имеют ранг .
Доказательство. (по индукции)
, имеем, что и утверждение теоремы выполнены, т.к. любая бесконечная подгруппа является изоморфной , т.е. свободной абелевой ранга .
Пусть для теорема доказана. Докажем ее для . Пусть - базис в . Рассмотрим множество - линейная оболочка первых базисных элементов (является свободной абелевой группой с базисом . Рассмотрим отображение такое, что если , то . Тогда - это эпиморфизм и . - это подгруппа в .
Если , то и (по предположению индукции) - свободная абелевая группа ранга .
Если , то . - свободная подгруппа в с базисом , (по предположению индукции), следовательно - свободная подгруппа в . элемент , такой что . Покажем, что - базис в , .
Пусть , тогда , , тогда , следовательно, . Т.е. и . Существование представления мы доказали, осталось доказать его единственность, для этого достаточно доказать, что из следует, что все . Имеем и от нашего равенства остается . Следовательно, т.к. - базис в и все остальные коэффициенты равны нулю.