Элементы линейной алгебры

Глава 1. Элементы линейной алгебры

§ 1. Понятие матрицы. Основные определения

Определение 1. Прямоугольная таблица из m?n действительных чисел вида

называется матрицей типа m?n. Числа а_ij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами; первый индекс i - номер строки, второй индекс j -номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

Обозначают матрицы большими буквами латинского алфавита А, В, С, … и ограничивают справа и слева либо круглыми скобками , либо двойными вертикальными чертами , либо квадратными скобками .

Употребляются и более краткие обозначения матрицы: , , . Если необходимо указать только размеры матрицы А, то пишут или .

Определение 2. Матрица, у которой m n, называется прямоугольной.

Например,

.

Определение 3. Матрица, у которой m = n, называется квадратной матрицей n - го порядка.

Например, матрицы (а₁), и т. д. являются квадратными матрицами соответственно первого, второго и т. д. порядков.

Определение 4. Матрица размера 1 n называется матрицей - строкой. При записи матрицы - строки первый индекс не пишут:

.

Определение 5. Матрица размера m 1 называется матрицей - столбцом. При записи матрицы - столбца второй индекс не пишут:

.

В случае квадратной матрицы вводятся понятия главной и побочной (дополнительной) диагоналей.

Определение 6. Элементы а₁₁, а₂₂, …, а_пп (i = j), стоящие на диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол, т. е.

, образуют главную диагональ матрицы. Элементы а_1п, а_2п-1, …, а_п1, стоящие на диагонали, идущей из правого верхнего угла в левый нижний угол

, образуют побочную или дополнительную диагональ.

Определение 7. Если в матрице элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, а по другую отличны от нуля, то матрица называется треугольной. Например,

или

Определение 8. Если в квадратной матрице все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Например,

.

Определение 9. Если в диагональной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то она называется единичной и обозначается Е.

Например,

Определение 10. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.

Единичная матрица и нуль-матрица в линейной алгебре играют ту же роль, что 0 и 1 в арифметике.

Определение 11. Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность и соответствующие элементы этих матриц равны, т. е. А = В, если

А = (а_ij)_m?n, В = (b_ij)_m?n и a_ij = b_ij (;).

Определение 12. Пусть А = (а_ij)_m?n. Если заменить в матрице А строки соответственно столбцами, а столбцы строками, то полученная матрица А^Т = (а_ji)_n?m называется транспонированной к данной, а процесс ее получения транспонированием.

Пример 1.

Линейные действия над матрицами.

Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число.

Действия сложения и вычитания возможны только над матрицами одной и той же размерности.

Определение 13. Суммой (разностью) двух матриц А = (а_ij)_mn и В = (b_ij)_mn называется третья матрица С = (с_ij)_mn, каждый элемент которой равен сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

С = А В = (а_ij ± b_ij)_mn.

Свойства операции сложения матриц:

А + В = В + А.

А + 0 = А.

(А + В) + С = А + (В + С).

А + (- А) = 0.

(А + В)^Т = А^Т + В^Т.

Определение 14. Чтобы умножить матрицу на число б 0, нужно умножить на это число каждый элемент матрицы А, т. е.

б•А = (б•а_ij)_m?n.

Произведение матрицы на число обладает следующими свойствами:

б?А = А•б.

б•(в•А) = (б?в)?А.

(б + в) А = б?А + в?А.

б•(А + В) = б•А + б•В.

Умножение матриц.

Определение 15. Произведением матрицы А = (а_ij)_mn на матрицу В = (b_jk)_np называется такая матрица С = (с_ik)_mp, каждый элемент которой с_ik равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы k-того столбца матрицы В, т. е.

с_ik = a_i1•b_1k + a_i2•b_2k + … + a_ij•b_jk + … + a_in•b_nk.

Из определения следует, что матрица-произведение содержит строк столько, сколько их в матрице А, а столбцов - сколько в матрице В.

Умножение матрицы на матрицу не всегда выполнимо. Две матрицы можно перемножить только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Схематически это можно записать так

.

Произведение двух матриц А и В обозначаются символом А•В.

Пример 2.

По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: А•В В•А.

Действие умножения матриц обладает следующими свойствами:

1. А•В•С = (А•В)•С = А•(В•С).

2. (А + В)•С = А•С + В•С.

3. А•Е = Е•А = А.

4. (А•В)^Т = В^Т•А^Т.

Определение 16. Матрицы, для которых выполняется условие А•В = В•А, называются перестановочными (коммутативными).

§ 2. Определители второго и третьего порядков

Любая квадратная матрица А имеет свой определитель. Прямоугольная, неквадратная матрица определителя не имеет.

Определение 17. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим матрице

,

называется число, обозначаемое

и вычисляется по правилу

.

Определение 18. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим матрице

,

называется число, обозначаемое

и вычисляемое по правилу Саррюса

.

Для того чтобы запомнить формулу вычисления определителя третьего порядка проиллюстрируем правило Саррюса, которое символически можно записать так

или

Определение 19. Любое число будем называть определителем первого порядка.

Определение 20. Минором М_ij элемента а_ij (i-номер строки, j-номер столбца) данного определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i-строки и j-столбца.

Пример 3.

- минор элемента а₁₂ определителя второго порядка;

Пример 4.

- минор элемента а₂₃ определителя третьего порядка.

Определение 21. Алгебраическим дополнением элемента а_ij данного определителя называется число А_ij=(- 1)^i+j•M_ij, где M_ij - минор элемента а_ij.

Пример 5. А₁₂ = ? а₂₁ - алгебраическое дополнение элемента а₁₂ определителя второго порядка.

Пример 6.

- алгебраическое дополнение элемента а₂₃ определителя третьего порядка.

§ 3. Свойства определителей

Свойство 1. (о разложении определителя по элементам строки или столбца). Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:

Сравнивая с результатом применения правила Саррюса (определение 18) видим их полное совпадение.

Свойство 2. (об определителе транспонированной матрицы). При транспонировании матрицы ее определитель не меняется, т. е.

det A = det A^T.

Пример 7.

Свойство 3. (об умножении определителя на число). Общий множитель элементов какого-либо столбца или какой-либо строки можно вынести за знак определителя.

Например,

.

Другими словами, если определитель умножается на число, то умножаются на это число все элементы какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца.

Свойство 4. (об определителе с нулевой строкой или нулевым столбцом). Определитель, у которого все элементы какой-нибудь строки или какого-нибудь столбца равны нулю, равен нулю.

Свойство 5. (о взаимной перестановке двух столбцов (строк)). Если в определителе поменять местами две любые строки (столбца), то знак определителя изменится.

Свойство 6. (о нулевом определителе). Если в определителе элементы какой-либо строки (столбца) равны или пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), то он равен нулю.

Свойство 7. Если в определителе элементы какой-нибудь строки (столбца) представляют собой суммы двух слагаемых, то он может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей, например:

.

Свойство 8. (о тождественном преобразовании определителя). Если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Свойство 9. (о нулевом разложении определителя). Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю. Например,

а₁₁ •А₁₂ + а₂₁ •А₂₂ + а₃₁ •А₃₂ = 0.

Свойство 10. (об определителе произведения матриц). Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т. е. если А и В квадратные матрицы одного порядка, то |A•B| = |A|•|B|.

Аналогично можно ввести определители четвертого, пятого,…, n-порядков, их миноры и алгебраические дополнения и показать, что они обладают рассмотренными выше свойствами.

Сводная таблица основных методов решения определителей

§ 4. Элементарные преобразования матрицы

Определение 22. Элементарными преобразованиями строк матрицы А называются преобразования следующих трех типов:

перестановка двух строк;

умножение элементов какой-либо строки на одно и то же число, отличное от нуля;

прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на число, отличное от нуля;

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы.

Определение 23. Матрица вида

называется ступенчатой.

Определение 24. Матрица В называется эквивалентной матрице А, если она получена из матрицы А путем конечного числа элементарных преобразований матрицы А. При этом пишут А ~ В.

Теорема 1. Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице при помощи конечного числа элементарных преобразований строк.

Обратная матрица. Матричные уравнения.

Определение 25. Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется такая матрица А^-1, которая при умножении как слева так и справа на матрицу А, дает в произведении единичную матрицу Е

А•А- ¹ = А- ¹•А = Е.

Определение 26. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема 2. Для того чтобы матрица была обратимой необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Свойства обратной матрицы.

1. .

2. (A•B)- ¹ = B- ¹•A- ¹.

3. .

I способ получения обратной матрицы основан на элементарных преобразованиях над матрицами. Составляем матрицу (А | Е) и преобразуем ее к

(Е | А- ¹), т. е. (А | Е) > (Е | А- ¹).

Например,

II способ нахождения обратной матрицы.

(1)

где А_ij - алгебраическое дополнение элементов а_ij данной матрицы, |А| - определитель А, причем |А| 0.

Матричные уравнения простейшего вида с неизвестной матрицей Х записываются следующим образом

А•Х = В (2)

Х•А = В (3)

В этих уравнениях А, В, Х - матрицы таких размеров, что все используемые операции умножения возможны, и с обеих сторон от знаков равенства находятся матрицы одинаковых размеров.

Если в уравнениях (2) и (3) матрица А невырожденная, то их решения соответственно записываются следующим образом

Х = А- ¹•В.

Х = В•А- ¹.

§ 5. Системы линейных алгебраических уравнений

Основы теории определителей заложены в 1750 году швейцарским математиком Г. Крамером (1704-1752)

Определение 27. Системы уравнений, содержащие неизвестные только в первой степени называются линейными.

Рассмотрим систему уравнений, у которой число уравнений равно числу неизвестных

, (4)

где х₁, х₂, …, х_п - неизвестные, а₁₁, а₁₂, …, а_пп - коэффициенты (заданные числа), b₁, b₂, …, b_n - свободные члены (заданные числа).

Если в (4) все свободные члены равны нулю, то система, имеющая вид

, (5)

называется однородной.

Система (4), в которой хотя бы один из свободных членов не равен нулю, называется неоднородной.

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Введем обозначения:

, ,

, …,

? - главный определитель системы (4), ?₁, ?₂, ?₃, …, ?_п - дополнительные определители, которые получаются из ? путем замены столбцом свободных членов элементов соответственно первого, второго, …, п - го столбцов.

Тогда формулы Крамера запишутся в виде

(6)

Теорема 3. (о решении неоднородной системы). Возможны несколько случаев:

а) Если главный определитель системы (4) ? 0, то она имеет единственное решение.

б) Если ? = 0 и все дополнительные определители равны нулю, то система (4) имеет бесчисленное множество решений.

в) Если ? = 0 и хотя бы один из дополнительных определителей не равен нулю, то система (4) решений не имеет и называется несовместной.

Теорема 4. (о решении однородной системы). Возможны следующие случаи:

а) Если главный определитель однородной системы (5) не равен нулю, то эта система имеет единственное решение

х₁ = х₂ = … = х_п = 0

называемое тривиальным.

б) Если определитель однородной системы равен нулю, то эта система имеет бесчисленное множество нетривиальных решений.

Теоремы 4, 5 играют очень важную роль, как в различных разделах математики, так и во многих практических приложениях.

Матричная запись систем линейных уравнений и ее решение.

Система уравнений (4) может быть записана в матричном виде следующим образом: А•Х = В, где

Решение этой системы имеет вид

Х = А- ¹ •В (det A 0).

Итак, для того, чтобы решить систему линейных неоднородных уравнений с помощью обратной матрицы надо:

записать систему линейных неоднородных уравнений в виде матричного уравнения;

Найти обратную матрицу А- ¹;

Выполнить операцию умножения найденной обратной матрицы на матрицу состоящую из свободных элементов.

Ранг матрицы и его свойства.

Определение 28. Минором i - го порядка матрицы А называется определитель, составленный из элементов матрицы, расположенных на пересечении каких - либо i строк и i столбцов.

Определение 29. Рангом матрицы A называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Ранг матрицы обозначается r (A) или rang A.

Свойства ранга матрицы.

При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк.

Подсчет ранга матрицы очень громоздкий. Поэтому ранг матрицы находят с помощью элементарных преобразований строк матрицы.

Метод преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг данной матрицы.

Определение 30. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором этой матрицы.

Исследование систем линейных уравнений.

Определение 31. Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов. Такая матрица обозначается как .

Пусть дана система из m линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.

Теорема 5. (Кронекера - Капелли решения систем уравнений). Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

.

Теорема 6. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных этой системы, то система имеет единственное решение.

Теорема 7. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных этой системы, то система имеет бесчисленное множество решений.

Для исследования однородной системы линейных уравнений пользуются следующими теоремами:

Теорема 8. Однородная система уравнений всегда совместна.

Теорема 9. Если ранг матрицы равен числу неизвестных п, то x_i = 0 - единственное решение.

Теорема 10. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных системы п, то система имеет множество решений.

Правило решения произвольной системы линейных уравнений.

Найти ранг основной и расширенной матриц системы. Если , то система несовместна.

Если , то система совместна. Тогда надо найти какой - либо базисный минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить).

Определение 32. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, а остальные (n - r) неизвестные называются свободными.

Главные неизвестные оставляют слева, а свободные неизвестные переносят в правую часть уравнений.

По правилу Крамера найти выражения главных неизвестных через свободные неизвестные и получить общее решение системы.

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения главных неизвестных.

Таким образом, можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Сводная таблица для исследования систем линейных уравнений

Решение практических задач по теме: "Линейные действия над матрицами"

Пример 8. Найти линейную операцию А + В, если

, .

Решение. Чтобы выполнить линейную операцию сложения над матрицами необходимо сложить одноименные элементы этих матриц, т. е.

Пример 9. Найти линейную операцию А ? В, если

и

Решение. Чтобы выполнить линейную операцию вычитания над матрицами необходимо вычесть одноименные элементы этих матриц, т. е.

Пример 10. Найти линейную операцию 5А, если

.

Решение. Чтобы умножить матрицу на число необходимо помножить все элементы матрицы на это число, т. е.

Пример 11. Выполнить операцию умножения матриц, если

и .

Решение. Перемножим матрицы А и В как это сделано в примере 2, т. е. элементы каждой строки первой матрицы умножаем на соответствующие элементы столбца второй матрицы.

Решение практических задач по теме: "Определители второго и третьего порядков"

Пример 12. Вычислить определитель .

Решение.

или

Пример 13. Найти алгебраическое дополнение элемента а₂₁ определителя третьего порядка

Решение. Элемент а₂₁ образуется вычеркиванием второй строки и первого столбца. Оставшиеся элементы записываются в определитель второго порядка, т. е.

Решение практических задач по теме: "Свойства определителей"

Пример 14. Вычислить определитель, разложив его по элементам какой ? либо строки или столбца:

.

Решение. Разложим данный определитель по второму столбцу:

Пример 15. Вычислить определитель , используя свойство 3 и доказать его.

Решение. Так как элементы первого столбца помножены на 2, то, по свойству 3, получаем:

Пример 16. Доказать свойство 4 на примере определителя

.

Решение. В данном определителе третий столбец с нулевыми элементами, следовательно, он равен нулю. Применим формулу Саррюса и докажем что это действительно так.

Пример 17. Вычислить определитель и доказать свойство 5.

Решение. В данном определителе поменяем местами строки один и два и вычислим оба определителя по формуле Саррюса.

Получаем, что свойство 5 справедливо.

Пример 18. Вычислить определитель и доказать свойство 6.

Решение. В данном определителе элементы второй и третьей строк равны. Значит можно воспользоваться свойством 6, т. е. определитель равен нулю. Докажем это применив формулу Саррюса.

Пример 19. Вычислить определитель и доказать свойство 7.

Решение. Сначала вычислим данный определитель по формуле Саррюса.

В определителе представим один из столбцов, например второй, в виде суммы элементов и применим свойство 7, т. е. определитель распишем в виде суммы двух определителей и вычислим их по отдельности.

Следовательно, свойство 7 доказано.

Пример 20. Вычислить определитель и доказать свойство 8.

Решение. Вычислим определитель по формуле Саррюса.

Теперь к элементам второго столбца прибавим элементы первого столбца, помноженные на два, и вычислим полученный определитель.

Следовательно, свойство 8 доказано.

Решение практических задач по теме: "Обратная матрица. Матричные уравнения"

Пример 21. Найти обратную матрицу к матрице

Решение. Вычислим определитель данной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения данной матрицы:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

А теперь составим обратную матрицу, подставив найденные значения в формулу (1):

.

Пример 22. Решить матричное уравнение

Решение. Найдем обратную матрицу к матрице .

.

; ;

; ;

.

Теперь перемножим матрицу на обратную матрицу.

.

Проверка:

Решение практических задач по теме: "Системы линейных алгебраических уравнений"

Пример 23. Решить систему алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы:

Запишем систему линейных неоднородных уравнений в виде матричного уравнения.

.

Найдем обратную матрицу к матрице .

Вычислим определитель этой матрицы.

.

Найдем алгебраические дополнения:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Тогда

Умножим обратную матрицу на матрицу - столбец и получим искомую матрицу Х.

Проверка: верно.

Пример 24. Найти общее и какое-нибудь частное решение системы линейных уравнений

Решение. Найдем ранг расширенной матрицы:

.

- помножим первую строку на (- 1) и сложим поочередно со второй и с третьей строками, получим строки с тремя нулевыми элементами, результат запишем вместо второй и третьей строки соответственно.

- разделим вторую строку на (- 2) и сложим с нулевой строкой, которую мы не пишем, результат запишем вместо второй строки.

- помножим вторую строку в полученной матрице на (- 2) и сложим с третьей строкой, получим строку с нулевыми элементами, которую можно вычеркнуть.

- найдем базисный минор, не равный нулю, второго порядка, т. е. . Значит, ранги расширенной и нерасширенной матриц равны 2.

Так как ранги расширенной матрицы и матрицы системы равны между собой, но меньше числа неизвестных, то система будет иметь бесчисленное множество решений.

Возьмем два первых уравнения

Пусть z и t - главные переменные. Тогда

По формулам Крамера найдем значения главного и дополнительных определителей:

Тогда -

- общее решение системы.

Частное решение: придадим любые значения свободным переменным х и у, например, х = 1, у = 1, тогда z = 1, t = 1.

Ответ: x = y = z = t = 1.

Примеры для самостоятельного решения.

1. Вычислить определители второго порядка.

2. Решить уравнения:

3. Вычислить определители третьего порядка:

4. Вычислить определители, разложив их по элементам какой - либо строки или столбца:

5. Вычислить определители по правилу Саррюса или по правилу треугольников:

6. Вычислить определители, использовав теорему о линейной комбинации строк (столбцов):

7. Решить уравнение и неравенство:

8. Вычислить определители (используя свойства определителей) разложением по строке или столбцу:

9. Найти линейные комбинации матриц.

а) Если , то А - 3•Е =. Ответ: .

б) Если и , то 2•В - 5•А =.

Ответ: .

в) Если и , то 4•А - 5•В =.

Ответ: .

10. Найти произведение матриц: А•В и В•А (если это возможно):

а) и . б) и .

Ответ: ; . Ответ: (- 1); .

11. Найти (А•В)•С и А•(В•С):

а) , , .

Ответ: .

б) , , .

Ответ: .

12. Найти транспонированные матрицы:

а) . б) . в) .

13. Найти обратные матрицы двумя способами:

а) . б) . в) .

Ответы: ; ; .

14. Решить матричные уравнения:

а) . Ответ: .

б) . Ответ: .

в) . Ответ: не существует.

15. Привести матрицы к ступенчатому виду:

а) . б) . в) .

16. Найти ранги матриц:

а) . Ответ: r = 3. б) . Ответ: r = 3.

в) . Ответ: r = 3.

17. Решить системы по формулам Крамера:

а) . Ответ: (2; - 3).

б) . Ответ: .

в) . Ответ: (- 2; 2; 1).

18. Решить системы с помощью обратной матрицы:

а) . б) .

19. Исследовать системы линейных уравнений:

а) . Ответ: х = 1, у = 2.

б) . Ответ: не совместна.

в) . Ответ: х = 0, у = 0, z = 0.

г) . Ответ: не совместна.

д) . Ответ: х = 0, у = 0, z = 0.

е) .

Ответ: х = 1 + 2 t₁ + t₂ - 3 t₃, у = t₁, z = 1, u = t₂, v = t₃.