Узагальнена функція Гріна

Найпоширенішою задачею в теорії звичайних рівнянь є задача Коші. Додаткові умови цієї задачі за своєю суттю є початковими: в них фігурують значення невідомої функції та її похідних( якщо порядок рівняння перевищує одиницю) при фіксованому значенні незалежної змінної. Зрозуміло, що це не єдиний спосіб виділення того, чи іншого частинного розвязку з множини всіх функцій, які задовольняють диференціальне рівняння. Часто виникає потреба у знаходженні такого розвязку, для якого виконувалися б так звані крайові умови: значення шуканої функції та її похідних мають задовольняти певні співвідношення в кількох фіксованих точках проміжку, який пробігає незалежна змінна. Причому, задачу відшукання такого розвязку називають крайовою задачею. Такі крайові задачі мають прикладне значення і частіше виникають у практиці. Наприклад,задача про форму провислого каната із закріпленими кінцями зводиться до відшукання такого розвязку диференціального рівняння другого порядку, графік якого проходив би через дві наперед задані точки, або, щоб знайти Т-періодичний розвязок лінійного Т-періодичного рівняння , потрібно з усіх розвязків вибрати той, який задовольняє умову . Для розвязання крайових задач використовують так звану функцію Гріна, спробуємо зрозуміти, як вона будується у загальному випадку.

Розглянемо випадок,коли однорідна крайова задача

(1)

(2),

має хоча б один нетривіальний розвязок. При цьому, нехай функція неперервно диференційована на , а дійсні функції - неперервні на ,та - задані числа, причому,

Позначимо цей розвязок через .

Твердження 1.

Однорідна крайова задача (1),(2) має нетривіальний розвязок тоді і лише тоді, коли розвязки та лінійно залежні.

Доведення.

Нехай неоднорідна крайова задача має нетривіальний розвязок . Оскільки як , так і задовольняють першу крайову умову (2), а , то вронскіан цих розвязків дорівнює нулю, а отже, вони лінійно залежні. Так само можна довести лінійну залежність розвязків та . Звідси випливає, що та також лінійно залежні.

Навпаки,нехай зазначені розвязки лінійно залежні. Тоді для деякої сталої маємо . Тепер зрозуміло,що, наприклад, функція := є розвязком однорідної крайової задачі. Твердження доведено.

Звідси можна зробити висновок, що множина всіх розвязків задачі - це сімя функцій вигляду, , де - довільна стала. Тому, не обмежуючи загальності викладу, вважатимемо, що вибрано так, щоб справджувалась умова нормування

Необхідну умову існування розвязку неоднорідної крайової задачі встановлює таке твердження.

Твердження 2.

Якщо задача

(3)

(2)

Має розвязок , то функція ортогональна до нетривіального розвязку відповідної крайової задачі (1),(2), тобто

(4)

Доведення.

Застосуємо формулу Гріна до пари функцій та . Оскільки вони задовольняють крайові умови то згідно з властивістю симетричності оператора маємо:

Урахувавши, що і , дістанемо (4). Зауважимо, що при довільному функція теж є розвязком задачі (3),(2). Аби уникнути такої неоднозначності, умови (2) слід доповнити ще однією. Найприроднішою додатковою умовою є вимога ортогональності

(5)

Твердження 3.

Якщо задача (3),(2),(5) має розвязок ,то він єдиний.

Доведення.

Справді, різниця двох розвязків задачі (3),(2),(5) є розвязком вигляду відповідної однорідної задачі. З умови (5) та нормованості функції одразу випливає, що

Розвяжемо вироджену крайову задачу за допомогою методу варіації довільних сталих, вважаючи, що умова ортогональності (4) справджується. Виберемо лінійно незалежний з розвязок однорідного рівняння (1) так, щоб виконувалася рівність

Цим ми дещо спростимо формули, які буде одержано нижче. Шукаємо розвязок (3) методом варіації сталих у вигляді

(6)

отримаємо таку систему:

Розвяжемо її відносно та за правилом Крамера.

Маємо рівняння

, (7)

При цьому

Тому, аби розвязок задовольняв крайову умову в точці ,необхідно вимагати виконання рівності . Звідси і з урахуванням (4) . Остання рівність забезпечить справдження крайової умови в правому кінці проміжку .

Загальний розвязок першого з рівнянь (7) візьмемо у вигляді , де - довільна стала. Підставивши знайдені функції , в (6), дістанемо одно параметричну сімю функцій

, (8)

Кожна з яких є розвязком крайової задачі (3),(2). Умову ортогональності (5) завжди можна задовольнити, відповідним чином обравши довільну сталу с₁.

Підсумком наведених міркувань є така теорема:

Теорема1

Розвязок крайової задачі (3) (2) існує тоді і лише тоді, коли функція ортогональна до кожного розвязку відповідної однорідної крайової задачі.

Тепер покажемо, що розвязок(8) можна подати у вигляді інтегрального перетворення

,

Де функція задовольняє крайові умови й при кожному

є ортогональною до .

Насамперед, запровадивши функцію

за аналогією з не виродженим випадком, перепишемо (8) у вигляді

(9)

Оскільки ,,

, ,

То задовольняє умову лише в лівому кінці проміжку , адже розвязок не задовольняє жодної умови (2). Отже, функцію доведеться відповідним чином виправити. Для цього звернемо увагу на такий факт:якщо у формулі(9) зробити заміну -, де довільні функції, то вона й надалі визначатиме розвязок рівняння (3):адже ортогональна до . Неважко зрозуміти, що перетворена функція задовольнятиме обидві крайові умови, якщо функцію вибрати так, щоб при деякому виконувалися рівності

,,, (10)

Найзручнішим буде такий вибір:

Легко перевірити, що ця функція не лише задовольняє умови (10), а й є розвязком неоднорідного рівняння = . При цьому, якщо додатково вимагати, аби розвязок був ортогональним до на ,то .

Тепер залишилось покласти

І вибрати функцію так, щоб була ортогональною до . Для цього домножимо праву частину останньої нерівності на , одержаний добуток зінтегруємо за змінною і результат прирівняємо до нуля. З одержаного рівняння легко знайдемо

.

Остаточно маємо

(11)

З урахуванням властивостей цієї функції дамо таке означення.

Означення.

Функцію називатимемо узагальненою функцією Гріна крайової задачі (2)-(3), якщо вона задовольняє такі умови:

1. Функція неперервна в квадраті К=,має неперервні частинні похідні , у кожному з трикутників ,;

2. Для кожного фіксованого функція задовольняє рівняння Lx(t)= - при всіх ,, а також крайовій умові (2).

3. На діагоналі квадрата К похідна має розрив першого роду зі стрибком 1/p(s): -.

4. Для кожного фіксованого функція ортогональна до функції : .

5.

Сформулюємо алгоритм відшукання узагальненої функції Гріна.

· Знаходимо таку фундаментальну систему , лінійного однорідного рівняння (1), щоб розвязок задовольняв умови(2).

· Знаходимо будь-який розвязок g(t,s) неоднорідного рівняння Lx(t)= -.

· Узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

Функції обираємо так, щоб останній доданок задовольняв пунктам 1 і 3 означення узагальненої функції Гріна;функцію - так, щоб задовольняла крайові умови задачі;нарешті, вибором функції забезпечуємо виконання умови ортогональності 4.

Проаналізувавши вигляд правої частини формули (11), можна зробити висновок, що з потрібними властивостями існують.

Розглянемо приклад.

Розвяжемо крайову задачу

, << ;

Розвяжемо відповідне однорідне рівняння , застосувавши метод Ейлера. Тобто розвязок шукаємо у вигляді= . Знайшовши

=,=, підставивши ці значення в рівняння та скоротивши на маємо так зване характеристичне рівняння:,з якого знайдемо корені :

З цього маємо фундаментальну систему розвязків рівняння:

За теоремою про загальний розвязок однорідного рівняння, маємо:

де

Тому можемо сказати, що відповідна однорідна задача має однопараметричну сімю розвязків , де - довільна стала, для якої умова теореми 1 виконано, бо . Методом невизначених коефіцієнтів знайдемо частинний розвязок диференціального рівняння задачі: . Загальний розвязок цього рівняння має вигляд:

Для того, щоб задовольнити крайовій умові, достатньо покласти . Сталу виберемо так, щоб справджувалась умова ортогональності шуканого розвязку й функції :

Звідси =. Остаточно маємо:

Знайдемо функцію Гріна для цієї крайової задачі

За функцію візьмемо (коефіцієнт вибирається з умови нормованості ) Розвязком однорідного рівняння, який не задовольняє крайові умови, є, наприклад .

Далі рівняння

Має частинний розвязок вигляду , отже, узагальнену функцію Гріна шукаємо у вигляді

(коефіцієнт вбирають у себе функції і ).

Оскільки в нашому випадку , то умови неперервності і стрибка похідної функції при мають вигляд

,.

Звідси ,;

Наслідком крайової умови в точці є рівність . Тоді в точці маємо: .Отже, функція

задовольняє пунктам 1-3 означення узагальненої функції Гріна.

Нарешті, функцію визначимо з умови ортогональності

. Обчисливши відповідні інтеграли, знаходимо

Остаточно маємо