Соображения симметрии играют большую роль в жизни и, естественно, в ее описании, тем более в совершенном математическом описании, которым пользуется теоретическая физика. История создания математического описания симметрии, ее видов связана с высшими разделами алгебры, одним из которых является теория групп. Важнейший результат в теоретической физике связан с именем выдающейся женщины-математика Амалии Эмми Нетер (Noether) (1882-1935).
В 1918 г. Нетер доказала фундаментальную теорему, носящую теперь ее имя. Эта замечательная теорема утверждает, что существование любой конкретной симметрии - в пространстве-времени, степенях свободы элементарных частиц и физических полей - приводит к соответствующему закону сохранения, причем из этой же теоремы следует и конкретная структура сохраняющейся величины. Из теоремы Нетер следуют:
- из инвариантности относительно сдвига во времени (сдвиговая симметрия, выражающая физическое свойство равноправия всех моментов времени, однородность времени) - закон сохранения энергии;
- из инвариантности относительно пространственных сдвигов (свойство равноправия всех точек пространства, однородность пространства) - закон сохранения импульса или количества движения;
- из инвариантности относительно пространственного вращения (осевая симметрия, свойство равноправия всех направлений в пространстве, изотропность пространства) - закон сохранения момента импульса или момента количества движения.
Симметрия и законы сохранения - не следствие одно из другого, а равноправные и взаимосвязанные проявления фундаментальных свойств материи. Симметрия обладает признаком всеобщности, она пронизывает все сущее, поэтому и связанные с ней законы сохранения фундаментальны. В физике к настоящему времени установлены связи множества законов сохранения (электрический заряд, обобщенный закон движения центра масс релятивистской системы и другие) с соответствующими симметриями.
Теорема Нетер дает наиболее простой и универсальный метод получения законов сохранения в классической и квантовой механике, теории поля и т.д. Особенно важное значение имеет теорема Нетер в квантовой теории поля, где законы сохранения, вытекающие из существования определенной группы симметрии, являются часто основным источником информации о свойствах изучаемых объектов.
Свойства симметрии относятся к числу самых основных, коренных свойств физических систем. Большая часть теории элементарных частиц построена на анализе именно этих свойств. Понятия частицы и античастицы, идеи, связанные с проблемами четности, обратимости времени, и многое другое - в основе всего этого лежат представления о симметрии, о математической формулировке конкретных симметрий. В этом смысле современная физика идет по пути, проложенному геометрией. Только в физике симметрии "работают", пожалуй, еще интенсивнее.
В современной физике обнаруживается определенная иерархия симметрий. Одни из них выполняются при любых взаимодействиях и в любых условиях, другие же - только при определенных условиях. Эта иерархия особенно отчетливо проявляется во внутренних симметриях. Например, существует зеркальная симметрия природы - отражение пространства в зеркале не меняет физических законов. В квантовой механике этой симметрии соответствует закон сохранения четности - особого квантового числа, присущего каждой частице. Замена всех частиц на античастицы (операция зарядового сопряжения) не изменяет характера процессов природы. Зеркальная симметрия и зарядовое сопряжение сохраняются только при сильных и электромагнитных взаимодействиях. При слабых взаимодействиях указанные симметрии нарушаются.