Первым, фундаментальным по значимости, является т.н. нормальный закон распределения непрерывной случайной величины X, для которой допустимым является любое действительное числовое значение. Доказано, что такой закон распределения имеет величина, значение которой обусловлено достаточно большим количеством факторов (причин).
Для вычисления вероятности того, что X лежит в заранее заданном диапазоне, получено выражение, которое называют интегралом вероятности:
P(a £ X £ b) =
Обратим внимание на то, что в это выражение входят две константы (параметра) m и s. Как и для любой (не обязательно дискретной) СВ, здесь также имеют смысл понятия моментов распределения и оказывается, что
M(X) = m , а D(x) = s2 . {2–10}
Для непрерывно распределенных величин не существует понятия вероятности конкретного значения. Вопрос – “какова вероятность достижения температурой воздуха значения 14 градусов?” – некорректен. Все зависит от прибора измерения, его чувствительности, ошибок измерения. Но вместе с тем функция под интегралом вероятности существует, она однозначно определена:
j(X) = ,
ее график (аналог гистограммы) имеет вид:
m – 3s m m+3s
а площадь под кривой на заданном интервале X определяет вероятность попадания в этот интервал.
Чаще всего закон нормального распределения используется для нормированной случайной величины
Z = (X – m) /s, {2–11} у которой M(Z)=0; D(Z)=1. {2–12}
Отметим ряд других особенностей этого распределения, полагая его нормированным.
· Доказано, что целый ряд “классических” распределений (как дискретных, так и непрерывных) стремятся к нормальному при непрерывном изменении их внутренних параметров.
· Симметрия нормального распределения позволяет достаточно просто оценивать вероятность “попадания” случайной нормированной величины в заданный диапазон. Очень часто в прикладной статистике приходится использовать понятие “маловероятного” значения. Для нормированной величины с нормальным распределением вероятность попадания в диапазон ± 3s составляет 0.9973 (правило “трех сигм”).
· Особую роль играет нормальное распределение при решении вопросов о “представительности” наблюдений. Оказывается, что работа с выборочными распределениями в большинстве случаев позволяет решить проблему оценки наших предварительных выводов, предположений, гипотез – с использованием разработанных и теоретически обоснованных приемов на базе нормального закона.