Теорема. Любая целочисленная прямоугольная матрица элементарными преобразованиями строк и столбцов приводится к диагональному виду , где .
Доказательство. (по индукции по числу строк)
База индукции . Матрица имеет вид . Если она нулевая, то она уже имеет искомый вид. Если она не нулевая, то без ограничения общности можем считать, что - это наименьший по модулю ненулевой элемент (иначе переставим столбцы). Также мы можем считать, что (иначе умножим столбец на ), таким же образом сделаем все элементы положительными. Пусть , где . Вычитая из второго столбца , получим строку . Если 0, то наименьший модуль ненулевого элемента уменьшился, проделывая эту операцию несколько раз, получим, что модуль больше не может уменьшаться, т.к. он больше нуля. Следовательно, , и мы получим строку . Проделав это несколько раз, мы в итоге получим строку , поменяв местами столбцы, получим - диагональная матрица, причем .
Индуктивный переход. Пусть утверждение теоремы верно для строк, докажем его для строк. Мы имеем матрицу Обозначим через . Предположим, что привели к так, что дальше не уменьшается. Переставив строчки и столбцы и, если надо, умножив на , получим, что это минимум достигается на элементе , причем . Тогда мы получим, что , если .
Лемма. Все элементы первой строки и первого столбца делятся на .
Доказательство.
Возьмем произвольный элемент из первой строки , получим, что , где . Если , то вычтя из -го столбца первый, умноженный на , получим на месте число , следовательно уменьшилось, что невозможно. Значит и все элементы первой строки делятся на . Аналогично доказываем и про первый столбец.
Раз все элементы первой строки и первого столбца делятся на , то вычитая первую строку (умноженную на нужный коэффициент) из остальных, и вычитая первый столбец (умноженный на нужный коэффициент) из остальных, получим матрицу , причем . Дальше, по предположению индукции, мы можем привести к диагональному виду матрицу , состоящую из строк. В итоге получим искомое разложение.
Упражнение. Число равно набольшему общему делителю всех элементов матрицы.
Пример:
Приведем к диагональному виду матрицу , имеем, что НОДу всех элементов . Следовательно, можно получить (например, умножив первый столбец на и прибавив к нему второй): , ну а дальше будем действовать по алгоритму из доказательства теоремы:
.
Теорема. Пусть - свободная абелевая группа и - ее подгруппа, тогда в существует такой базис , что существуют , такие что - базис в .
Доказательство.
Пусть - базис в . Пусть - базис в , тогда
. Получим целочисленную матрицу , приведем ее к диагональному виду . При проведении элементарных преобразований, мы просто перешли к новому базису в и в , таким образом, мы нашли базис в , такой что будет базисом в .
Вспомним определение конечно-порожденной абелевой группы и докажем
Теорема. Пусть - конечно-порожденная абелевая группа, тогда является прямой суммой свободной абелевой группы и примарных циклических групп (циклических групп, порядок которых равен степени простого числа).
Доказательство.
Пусть , т.е. порождена элементами . - свободная абелевая группа с базисом . Построим гомоморфизм по правилу . Очевидно, что отображение сюръективно. Его ядро является подгруппой в . Пусть - базис в , такой что - базис в (здесь и ). В итоге имеем, что
, здесь положим при .
(по теореме о факторизации слагаемых).
Рассмотрим отдельное слагаемое , следовательно
. Вообще говоря группы могут быть и не примарными, но в этом случае они раскладывают дальше в прямую сумму примарных циклических групп.
Следствие. Конечная абелевая группа является прямой суммой примарных циклических групп.
Доказательство.
Любая конечная абелевая группа является конечно-порожденной. И т.к. свободная абелевая группа счетная, то ее нет в разложении, предложенном в теореме. Следовательно, остаются только примарные циклические группы.
Пример.
Возьмем группу порядка , тогда возможны следующие варианты:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Следовательно всего существует 6 не изоморфных абелевых групп порядка .
Определение. Группа не имеет кручения, если она не содержит неединичных элементов конечного порядка.
Теорема. Конечно-порожденная абелевая группа без кручения является свободной.
Доказательство.
По предыдущей теореме имеем, что , следовательно этих слагаемых нет и - свободная абелевая группа.