При постановке и исследовании задач линейного программирования (ЛП) будем основываться на материалах учебного пособия [10].
Значительная часть задач принятия решения – это задачи распределения ресурсовмежду объектами.
Пусть имеется т видов ресурсов, каждый i-й ресурс в количестве bi (i=1...m). Эти ресурсы нужно использовать для п видов продукции. Для выпуска единицы j-го вида продукции необходимо ai j единиц i-го вида ресурса. Требуется определить, сколько какого вида продукции следует произвести, чтобы такой выпуск был наилучшим для принятого критерия оптимальности.
В реальных задачах суммарное количество основных xj (j = 1...n) и дополнительных yi (i = 1...m) переменных всегда больше, чем число зависимостей ь, поэтому система (1) имеет бесчисленное множество решений. Из этого бесчисленного множества следует выбрать одно – оптимальное, соответствующее критерию – цели решения задачи.
Цель задачи распределения ресурсов устанавливается какой-либо одной из двух взаимоисключающих постановок:
1) при заданных ресурсах максимизировать получаемый результат;
2) при заданном результате минимизировать потребные ресурсы.
Первая постановкааналитически запишется:
(1)
где xj – количество выпускаемой продукции j-го вида – искомая переменная (j =1...n); п – количество наименований продукции; cj – величина, показывающая, какой вклад в результат даёт единица продукции j-го вида; bi – заданное количество ресурса i-го вида (i = 1...m); т – количество наименований ресурсов; ai j – норма расхода ресурса, т.е. какое количество ресурса i-го вида потребляется на производство единицы j-го вида продукции.
Решение задачи (1) даёт нахождение таких значений xj, которые обеспечивают при заданных ресурсах получение максимального результата.
Вторая постановка задачи будет иметь вид:
(2)
где С – минимально допустимое значение потребного результата.
Задачи (1) и (2), в которые переменные xj входят в первой степени, т.е. в виде линейных зависимостей, называют задачами ЛП.
Каждая задача ЛП содержит ЦФ(1.1), (2.1), ограничения(1.2), (2.2), граничные условия(1.3),(2.3). Ограничения могут включать зависимости как для ресурсов (bj ), так и для экономических показателей (С).
Для решения задач ЛП используют графический и аналитический методы (пп.2.6, 2.7).