ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение имеет вид: , где
- общее решение ЛОДУ−II ау²+bу¢+cу=0;
- частное решение ЛНДУ−II ау²+bу¢+cу=R(x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.
Правило 1: если правая часть R(x)=Р(х)еkx, где Р(х) – какой-либо многочлен степени m, и если:
· k – не является корнем характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) аk2+bk+c=0, то у*=хQ(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) аk2+bk+c=0, то у*=х2Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).
Замечание 2: Если множитель R(х) –многочлен, то есть k=0, то y* тоже многочлен.
Правило 2: если правая часть R(x)=еax(P1(x)cosbx+P2(x)sinbx) где P1(x) и P2(x) –многочлены соответственно степеней m1 и m2, и если:
· комплексные числа a±bi – не является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=еax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
· комплексные числа a±bi – является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=хеax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
Виды многочленов:
Многочлен n-ой степени
А0хn+А1хn-1+…+Аn-2х2+Аn-1х+Аn
или
Ахn+Вхn-1+…+Uх2+Vх+W
Примеры
Многочлен четвёртой степени
Ах4+Вх3+Сх2+Dх+E
х4-2х3+3х2+8,
где А=1; В=-2; С=3; D=0; E=8;
Многочлен третьей степени
Ах3+Вх2+Сх+D
2х3-х2+4х,
где А=2; В=-1; С=4; D=0;
Многочлен второй степени
Ах2+Вх+С
-х2+4х-3,
где А=-1; В=4; С=-3;
Многочлен первой степени
Ах+В
х+8,
где А=1; В=8;
Многочлен нулевой степени
А
1,
где А=1.