Необходимое и достаточное условие сходимости положительного ряда:Для того чтобы ряд
с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.
Признаки сравнения:
· (сходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами
и
и для всех n выполняется неравенство
. Тогда если ряд
сходится, то ряд
тоже сходится;
· (расходимости) - Пусть даны два ряда с неотрицательными членами
и
и для всех n выполняется неравенство
. Тогда если ряд
расходится, то ряд
тоже расходится.
Все теоремы сведём в таблицу:
Изучаемый ряд
Известный ряд
Вывод
£
− и он сходится
− сходится
³
− и он сходится
− может и сходиться, и расходиться
£
− и он расходится
−может и сходиться, и расходиться
³
− и он расходится
− расходится
Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами
и существует
.
· если q<1 – ряд сходится;
· если q>1 – ряд расходится;
· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами
и существует
.
· если q<1 – ряд сходится;
· если q>1 – ряд расходится;
· если q=1 – ряд может и сходиться и расходиться, то есть данный признак неприменим.
Интегральный признак: Пусть дан ряд
с положительными членами, являющимися значениями некоторой функции f(x), непрерывной и убывающей на полуинтервале [1; +¥). Тогда ряд
будет сходиться в том случае, если сходится несобственный интеграл:
и расходиться в случае его расходимости.
Обобщённый гармонический ряд:
:
· сходится при a>1;
· расходится при 0<a£1.
Ряд
Геометрическая прогрессия
Обобщённый гармонический ряд
Сходится
|q|<1
a>1
Расходится
|q|³1
0<a£1