ау²+bу¢+cу=R(x), где а, b, c – некоторые постоянные.
Его общее решение имеет вид: , где
- общее решение ЛОДУ II ау²+bу¢+cу=0;
- частное решение ЛНДУ II ау²+bу¢+cу=R(x), которое ищется, в зависимости от правой части по одному из правил.
Правило 1: если правая часть R(x)=Р(х)еkx, где Р(х) – какой-либо многочлен степени m, и если:
· k – не является корнем характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является однократным корнем характеристического уравнения (то есть один из неравных корней D>0) аk2+bk+c=0, то у*=хQ(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
· k – является двукратным корнем характеристического уравнения (то есть один из равных корней D=0) аk2+bk+c=0, то у*=х2Q(х)еkx, где Q(х) – некоторый многочлен той же степени m, определяемый по методу неопределённых коэффициентов.
Замечание 1: Если множитель Р(х) – есть постоянная величина (многочлен нулевой степени), то Q(x) – тоже постоянная величина (многочлен нулевой степени).
Замечание 2: Если множитель R(х) –многочлен, то есть k=0, то y* тоже многочлен.
Правило 2: если правая часть R(x)=еax(P1(x)cosbx+P2(x)sinbx) где P1(x) и P2(x) –многочлены соответственно степеней m1 и m2, и если:
· комплексные числа a±bi – не является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=еax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
· комплексные числа a±bi – является корнями характеристического уравнения аk2+bk+c=0, то у*=хеax(Q1(x)cosbx+Q2(x)sinbx), где Q1(x) и Q2(x) –многочлены, степени которых не превышают старшей из степеней m1 и m2.
.
Греческий алфавит
Aa
альфа
Nn
ню (ни)
Bb
бэта (бета)
Xx
кси
Gg
гамма
Oo
омикрон
Dd
дельта
Pp
пи
Ee
эпсилон (ипсилон)
Rr
ро
Zz
дзета
Ss
сигма
Hh
эта
Tt
тау
QqJ
тэта
Ffj
фи
Ii
йота
Cc
хи
Kk
каппа
Uu
юпсилон (ипсилон)
Ll
ламбда (лямбда)
Yy
пси
Mm
мю (ми)
Ww
омега
Опр: Пусть дана числовая последовательность а1, а2, а3, ..., аn, ... Выражение вида
называется числовым рядом или просто рядом. Числа а1, а2, а3, ..., аn ... называются членами ряда, член аn с произвольным номером — общим членом ряда. Суммы конечного числа членов ряда S1=а1, S2=а1+а2, S3=а1+а2+а3,…, Sn=а1+а2+а3+…+аn,
называются частичными суммами ряда.
Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм S1, S2, S3, ..., Sn, ...
Опр: Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда. Это записывается так:
Опр: Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится.
Геометрическая прогрессия: bn=b1·qn-1; ;
Частичная сумма Sn, при q¹1 имеет вид:
Если |q|<1, то , то ряд сходится;
Если |q|³1, то , то ряд расходится.