ЭЛЕКТРОСТАТИКА

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ.



ЭЛЕКТРОСТАТИКА



Лекция 1

1.1. ЭЛЕКТРОСТАТИКА В ВАКУУМЕ
1.1.1. Электрический заряд
Электрическое, или электростатическое взаимодействие – это один из фундаментальных видов взаимодействия,…





ЗАКОН КУЛОНА

,
где - коэффициент пропорциональности . Силы, действующие на заряды, являются… Закон Кулона можно записать в векторной форме:






ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. НАПРЯЖЕННОСТЬ

Для характеристики электрического поля вводят понятие напряженности. Напряженностью в каждой точке электрического поля называется вектор , численно… Пробный заряд, который вносится в поле, предполагается точечным . Он не… Если на пробный точечный заряд поле действует силой , то напряженность


Лекция 2







ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Рассмотрим поле, созданное системой точечных зарядов . В механике рассматривался принцип независимости действия сил. Согласно этому принципу,… , (1.1.1)



Лекция 3







ГУСТОТА ЛИНИЙ НАПРЯЖЕННОСТИ. ПОТОК ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ

Электростатическое поле разобьем на малые области. В каждой такой области проведем площадку , перпендикулярную к линиям напряженности. Через… .
При выполнении этого условия величина напряженности оказывается связанной с густотой силовых линий. Общее число линий,…





ТЕОРЕМА ГАУССА

Вычислим поток вектора через бесконечно малую площадку . Будем считать, что поле создано точечным зарядом в вакууме, находящимся в точке… Из заряда проведем радиус-вектор к площадке . Тогда поток вектора через эту… Произведение равно проекции площадки на поверхность, перпендикулярную к . Это произведение положительно, если из видна…





ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ГАУССА К РАСЧЕТУ ПОЛЕЙ


Очевидно, на одинаковом расстоянии r от нити значения Е будут одинаковы,…


Поле бесконечной однородной заряженной плоскости. Поверхностная плотность заряда во всех точках плоскости одинакова . Напряженность поля перпендикулярна к плоскости. В симметричных относительно плоскости точках напряженность поля одинакова по величине и противоположна по направлению. Построим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями (рис.1.1.11). В силу симметрии .

Поток через боковую поверхность равен нулю, так как вектор перпендикулярен к этой поверхности, таким образом суммарный поток через поверхность цилиндра равен , и .
3.Рассмотрим электрическое поле, созданное двумя разноименно заряженными плоскостями с поверхностными плотностями заряда и . Очевидно, напряженности полей плоскостей направлены в одну сторону (от положительной плоскости к отрицательной, рис.1.1.12), и результирующая напряженность , где - напряженность поля одной заряженной плоскости. Окончательно получаем

4.Вычислим напряженность электрического поля, создаваемого заряженной сферой радиуса R. Заряд сферы q, его поверхностная плотность Для определения напряженности построим гауссову поверхность в виде сферы радиуса r, центр которой совпадает с центром заряженной сферы (рис.1.1.13).
При r≤R внутри гауссовой поверхности зарядов нет, так как весь заряд распределен по поверхности сферы. По теореме Гаусса или , следовательно, - напряженность электрического поля внутри заряженной сферы равна нулю.
При внутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд q сферы. В силу центральной симметрии поля напряженность на расстоянии r от центра сферы всюду одинакова, и или при этом , тогда , и С ростом r значения Е убывают пропорционально (рис.1.1.14). На поверхности сферы напряженность испытывает скачек
5.Рассмотрим электрическое поле, созданное объемно заряженным шаром радиуса R . Объемная плотность заряда шара ρ. Гауссову поверхность построим в виде сферы, центр которой совпадает с центром шара, а радиус равен r (рис.1.1.15).
При внутрь гауссовой поверхности попадает заряд , тогда по теореме Гаусса , и . На поверхности шара при r=R напряженность .
При внутрь гауссовой поверхности попадает весь заряд , и , отсюда На поверхности сферы т.е. и скачка напряженности не происходит. Зависимость представлена на рис1.1.16.



Лекция 4

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда на отрезок равна:
.
Работа по перемещению единичного положительного заряда численно равна






УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

Из теоремы Гаусса имеем:
.
Подставим выражение, связывающее напряженность и потенциал , имеем:


ЛЕКЦИЯ 5







ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКАХ







ПОЛЯРНЫЕ И НЕПОЛЯРНЫЕ МОЛЕКУЛЫ

Если расстояния превышают размеры молекулы, то действие всех электронов молекулы эквивалентно действию суммарного заряда, помещенного в некоторую… ,
где- радиус-вектор точки, в которой появляется -ый положительный заряд - суммарный положительный заряд молекулы.






ДИПОЛЬ В ОДНОРОДНОМ И НЕОДНОРОДНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ

,
где - электрический момент диполя. Переходя к векторной форме записи,… Момент стремится повернуть диполь так, чтобы его момент установился по направлению поля.






ПОЛЕ ВНУТРИ ДИЭЛЕКТРИКА. СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ

Заряды, находящиеся внутри диэлектрика, которые не входят в состав его молекул, а также заряды, расположенные за пределами диэлектрика, называются… Поле в диэлектрике является суперпозицией поля , создаваемого сторонними… .


ЛЕКЦИЯ 5

Источниками электрического поля служат не только сторонние, но и связанные заряды, т.е. , или . Раскрыв скобки и сгруппировав, получаем:
(1.2.12)
Вектор называют электрическим смещением или электростатической индукцией. Подставим значения из выражения (1.2.4),…





УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ

(1.2.15)
В направлении касательной к поверхности раздела никакого дополнительного поля… . (1.2.16)






ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ДИЭЛЕКТРИКАХ

1. Поле внутри плоской пластины. Пусть поле создано в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Напряженность этого поля ; электрическое смещение . Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как показано на рис. 1.2.9. Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его поверхностях появятся связанные заряды плотности . Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого
.
Вне диэлектрика . Напряженность поля . Оба поля направлены навстречу друг другу, следовательно, внутри диэлектрика:

,
вне диэлектрика .
Поляризация диэлектрика обусловлена полем . Оно перпендикулярно к поверхности пластины и , тогда , и , или - то есть диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика.
Умножим на , имеем - внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на , то есть совпадает с электрическим смещением внешнего поля . Вне пластины и .
Найдем : , , тогда , и .
2.Поле двух параллельных плоскостей, заряженных разноименно с поверхностными плотностями зарядов и . Пространство между пластинами заполнено двумя слоями диэлектриков, относительные диэлектрические проницаемости которых и , а толщины и соответственно (рис.1.2.10). Расстояние между пластинами равно , поэтому . Из симметрии в распределении свободных зарядов на плоскостях и в расположении слоев диэлектрических сред ясно, что всюду векторы и должны быть параллельны оси , то есть , . В каждом из слоев диэлектрика поле однородно. Поляризованы эти слои тоже однородно. Поэтому в них имеются только поверхностные поляризованные заряды. Плотности этих зарядов на плоских поверхностях каждого диэлектрика отличаются только знаком.
Напряженность поля связанных зарядов отлична от нуля только внутри самого слоя диэлектрика. Вне конденсатора (при и ) поля нет, , .
Найдем напряженность поля в пространстве между пластинами . Выберем цилиндрическую гауссову поверхность, показанную на рис.1.2.10 штриховой линией. Образующие цилиндра параллельны оси , а основания параллельны заряженным плоскостям. Площадь каждого основания .
Левое основание находится в области , где , а правое проходит через точку поля с координатой , в которой вычисляется поле. Поток смещения через поверхность цилиндра равен потоку только через правое основание:
.
Внутри гауссовой поверхности находится свободный заряд, размещенный на площадке левой плоскости и равный . Тогда по теореме Гаусса
,
отсюда .
В первом слое напряженность поля равна
при .
Во втором слое
при ,
график зависимости при представлен на рис. 1.2.11.
3. Поле равномерно заряженной сферы радиуса , окруженной концентрическими слоями двух разных диэлектрических сред. Наружный радиус первой среды с относительной диэлектрической проницаемостью
равен , а второй среды равен (рис. 1.2.12).

За пределами второй среды - вакуум. Поверхностная плотность свободных зарядов на сфере радиуса равна .
Центр заряженной сферы и концентрических слоев диэлектриков является центром симметрии поля. Поэтому в любой точке поля векторы и направлены радиально от центра , если , или к центру , если , то есть ; . Выберем в качестве гауссовой поверхности сферу радиуса с центром в точке О. Во всех точках этой поверхности , где - проекция вектора на радиус-вектор , проведенный из центра в рассматриваемую точку поля на поверхности . Из симметрии поля следует, что во всех точках поверхности значения одинаковы. Поэтому поток смещения через поверхность равен:

С другой стороны согласно теореме Гаусса, этот поток равен , причем , если . Таким образом, при и , то есть при .
Для проекции вектора на направление радиуса имеем: . Внутри сферы при ; в первой среде при , во второй среде при ; за пределами второй среды при . Таким образом, терпит разрыв дважды: на границе «первая и вторая среда» и «вторая среда - вакуум». Зависимость представлена на рис. 1.2.13.
4.Поле внутри шарового слоя. Окружим заряженную сферу концентрическим шаровым слоем из однородного диэлектрика (рис.1.2.14). На внутренней поверхности слоя появится связанный заряд , распределенный с плотностью , на наружной поверхности заряд , распределенный с плотностью . Знак заряда совпадает со знаком заряда сферы, знак ему противоположен. Внутри сферы при ; в первой среде при , во второй среде при ; за пределами второй среды при .
Напряженность поля внутри диэлектрика равна


и противоположна по направлению напряженности . Напряженность результирующего поля
-
убывает по закону . Поэтому , где - напряженность поля в диэлектрике в непосредственной близости к внутренней поверхности слоя, именно эта напряженность определяет величину :

(в каждой точке поверхности ). Тогда
,
и , тогда .
Так как поле внутри диэлектрика изменяется по закону , то , тогда , или . Следовательно, поля, создаваемые этими зарядами на расстояниях , взаимно уничтожают друг друга, так что вне шарового слоя , .
Таким образом, однородный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями, то вектор электрического смещения совпадает с вектором напряженности поля свободных зарядов, умноженным на , и напряженность поля внутри диэлектрика в раз меньше, чем напряженность поля свободных зарядов.


ЛЕКЦИЯ 7







ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ







РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДОВ НА ПРОВОДНИКЕ

На поверхности заряженного проводника вектор напряженности должен быть направлен по нормали к этой поверхности, иначе под действием составляющей… 1. Во всех точках внутри проводника , а во всех точках его поверхности , .
… 2. Весь объем проводника, находящегося в электростатическом поле, является эквипотенциальным, в любой точке внутри…

Лекция 8

1.4.1.ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА
Будем считать среду, в которой находятся электрические заряды и заряженные… Заряжая некоторый проводник, необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между…