1. Доказать, что длина любого вектора неотрицательна, причем она равна 0, если и только если этот вектор нулевой.
2. Доказать все свойства сформулированные в теореме 1.1.
3. Доказать, что косинус угла между векторами и равен 1, если один из них равен другому, умноженному на некоторое положительное число.
4. Доказать, что косинус угла между векторами и равен -1, если один из них равен другому, умноженному на некоторое отрицательное число.
5. Даны два вектора и из пространства . Переставить координаты вектора так, чтобы косинус угла между векторами и был максимальным.
6. Доказать теорему 1.2.
7. Даны векторы и одинаковой размерности, -я координата вектора - это размер в млн.. ден. ед. кредита, выданного банком -ой фирме, -я координата вектора - годовая процентная ставка этого кредита. Определить общую сумму кредита; прибыль, которую банк должен получить по истечении года за кредиты, выданные фирмам; процент прибыли от общей суммы кредитов.
а)
б)
в)
8. Доказать, что система векторов, состоящая из единственного ненулевого вектора, линейно независима.
9. Доказать, что система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
10. Доказать, что лестничная система векторов линейно независима.
11. Доказать, что если число векторов в линейно независимой подсистеме А системы векторов В равно рангу В, то любой вектор из В представим в виде линейной комбинации векторов из А.
Ответ к задаче 7 в): 1232.35 млн.ден.ед., 163.39 млн. ден. ед., 13.26%.
(указание: искомая прибыль будет равна скалярному произведению векторов и , деленному на 100. Поэтому для решения этой задачи с помощью Mathcad необходимо выполнить следующие действия. Ввести координаты векторов и . Определить суммарную величину кредита: . Определить прибыль банка Процент прибыли от общей суммы кредита будет равен )