Пусть кривая описывается уравнением z = z(x), а прямая – уравнением
y = kx + b (рис. 2).
Определение 1. Касательной к графику называют прямую линию
y = kx + b, которая наилучшим образом описывает исходную функцию z = z(x) в окрестности точки х0. «Наилучшим образом» означает, что в окрестности точки х0 выполняется z(x) – (kx + b) = α, где α = α(х – х0) есть бесконечно малая функция при х→х0.
Рис. 2
Выведем уравнение касательной к кривой.
В соответствии с определением производной
.
По определению предела , где β = β(х – х0) – б.м.ф. при х→х0. Отсюда .
Обозначим . Тогда в окрестности точки х0 уравнение кривой z = z(x) можно представить как z = kx + b + α.
Следовательно, y = kx + b есть по определению уравнение касательной к кривой z = z(x) в точке х0.
Определение 2. Нормалью называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания.