Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значениям аргумента соответствую различные значения функции).
Пусть Y – множество значений функции у = f (х), где х Î Х. Тогда для любого у0 Î Y найдется единственное значение х0 Î Х, такое, что у0 = f (х0). Этим определяется отображение Y на Х, т.е. функция х = φ(у), у Î Y. Такую функцию называют обратной для функции у = f (х), где х Î Х.
Чтобы найти выражение для обратной функции, надо выразить х через у и затем поменять их местами.
Замечание 1. Если отображение у = f (х) не является инъективным, то обратной функции не существует.
Замечание 2. Если функция у = f (х) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем она определена и возрастает (убывает) на Y.
Пример 1. Функция у = х2 (х ÎR)не имеет обратной, т.к., например, значениям х = 5 и х = – 5 соответствует одно и то же значение у = 25.
Пример 2. Функция у = 2х – 1 (х ÎR)возрастает на всей числовой прямой, значит у нее есть обратная функция. Чтобы ее найти, надо из формулы у = 2х – 1 выразить х. Получим х = .
Поменяем х и у местами. у = – искомая обратная функция.