Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y).
Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов.
Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам.
Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов (равномощные конечные множества называют равночисленными).
Рассмотрим примеры равномощных бесконечных множеств: N – множество натуральных чисел, А – множество четных натуральных чисел (А Ì N). Каждому натуральному числу поставим в соответствие число, которое больше его в 2 раза:
1 2 3 4 5…
2 4 6 8 10 …
Установленное соответствие взаимно однозначно, т.к. каждому натуральному числу соответствует единственное число из множества Y и наоборот: каждое число из множества Y соответствует единственному натуральному числу. Следовательно, множество натуральных чисел равномощно множеству четных натуральных чисел.
Определение. Бесконечное множество, равномощное множеству натуральных чисел, называется счетным.
Примеры счетных множеств: целых чисел, целых неотрицательных чисел, любое подмножество каждого из этих множеств.
Теорема (без доказательства). Множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.
Примеры несчетных множеств: множество всех действительных чисел, множество всех точек на прямой, множество всех точек плоскости.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение декартова произведения множеств.
2. Перечислите способы задания декартова произведения множеств.
3. В каком отношении находятся множества X × Y и Y × X?
4. Что называют соответствием между множествами Х и Y?
5. Какое множество называют областью отправления, областью прибытия, областью определения и множеством значений соответствия?
6. Перечислите способы задания соответствий.
7. Какое соответствие называют отображением множества Х в множество Y; отображением множества Х на множество Y?
8. Какое соответствие называют взаимно однозначным соответствием?
9. Какие множества называют равномощными? В каком случае равномощны конечные множества?
10. Какие множества называют счетными? Приведите примеры счетных и несчетных множеств.