Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.
Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий элемент 3.
На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом:
А В
Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов.
Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются.
Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом:
А В
Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В.
Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.
Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают В Ì А).
Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества.
Например, множество А = {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств А1 = {1}, А2 = {2}, А3 = {3}, А4 = {1, 2}, А5 = {1, 3}, А6 = {2, 3} и два несобственных подмножества А7 = {1, 2, 3} и А8 = Æ.
Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2п различных подмножеств.
Если В Ì А и А Ì В, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В.
Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I).
Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике.
Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна.