Рис. 11.1
На приведенных выше рисунках 11.1 изображена одномерная потенциальная яма, заполненная электронным газом; на рис. а) при T = 0, на рис. б) при T > 0. Слева от потенциальной ямы изображены графики зависимости среднего по времени числа электронов в одном квантовом состоянии - <n(E)> - от энергии электронов E. Энергия E отложена по вертикальной оси, проходящей вдоль левой границы ямы, сама функция <n(E)> отложена по горизонтальной оси, направленной влево.
При T = 0K электроны занимают все доступные им состояния с наинизшей энергией. В соответствии с принципом Паули в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона, поэтому все нижние квантовые состояния до энергии EF(0) заняты. Таким образом, график функции <n(E)> представляет из себя ступеньку:
<n(E)> = 1 при E < EF(0) и <n(E)> = 0 при E > EF(0).
При нагревании металла часть электронов, энергия которых была близка к энергии Ферми, переходят в состояния с большей энергией, частично освобождая квантовые состояния с энергией E < EF(0): ступенька графика <n(E)> размывается.
Аналитическую зависимость среднего числа ферминов в одном квантовомсостоянии от их энергии и температурыполучили итальянский физик Э. Ферми и английский физик П. Дирак.
Она имеет следующий вид:
и называется распределением Ферми-Дирака. Параметр EF, входящий в распределение Ферми-Дирака, называется уровнем Ферми. В статистической физике этот параметр называется химическим потенциалом, его обозначают буквой µ, таким образом µ ≡ EF.
Среднее число электронов в одном квантовом состоянии <n(E)> изменяется от нуля до единицы, в этих же пределах изменяется вероятность f(Ei) заполнения данных квантовых состояний.
Таким образом
С учетом того, что EF ≡µ, функцию распределения Ферми-Дирака можно записать в таком виде:
Значение уровня Ферми EF (или химического потенциала µ) определяют из условия нормировки функции f(Ei): полное число электронов, находящихся во всех квантовых состояниях должно быть равно числу N свободных электронов в рассматриваемом объеме V.
Среднее число электронов в одном квантовом состоянии дается функцией Ферми-Дирака f(Ei) (11.1а). Так как расстояния между соседними уровнями при макроскопических объемах образца малы, то можно считать, что энергия меняется непрерывным образом,т.е. f(Ei) → f(E).
Число квантовых состояний, приходящихся на интервал энергий dE получим, умножив плотность состояний g(E) (10.9) на dE. Число электронов dN, имеющих энергию в интервале от E до E+dE, получим, умножив f(E) на g(E)dE, т.е.
Наконец, проинтегрировав dN, получим N - полное число электронов в образце:
Это и есть условие нормировки функции распределения Ферми-Дирака.
Значение EF (или химический потенциал µ) можно найти, подставив в условие нормировки (11.2) f(E) из (11.1а) и g(E) из (10.9). Однако аналитическое выражение для получающегося интеграла отсутствует. При не очень высоких температурах, таких, что kT << EF, для уровня Ферми получается приближенное выражение:
Здесь EF(0) определяется формулой (10.9).
§2. Анализ функцииf(E)
Выпишем функцию распределения Ферми-Дирака в следующем виде:
Нетрудно убедиться, что при E = EF функция f(E) = 1/2.
Поведение функции f(E) (и электронного газа в металле) зависит от соотношения между температурой металла T и температурой Ферми (10.11).
При T << TF (т.е. kT << EF) электронный газ называют вырожденным и график функции f(E) незначительно отличается от ступени. В самом деле, показатель экспоненты (E - EF) / kT будет велик по модулю всюду, за исключением интервала энергий, в котором (E - EF) ≤ kT. При этом, если E < EF, то (E - EF) / kT будет величиной отрицательной и большой по модулю, значит экспонента будет близка к нулю, а f(E) ≈ 1. В случае, если E > EF, показатель экспоненты будет большой положительной величиной и f(E) ≈ 0.
Запишем результаты анализа в следующем виде:
Из оценок, сделанных в § 2 лекция 10, TF ≈ 60000K, значит вплоть до Tпл - температуры плавления металлов, электронный газ вырожден (самый тугоплавкий металл, вольфрам, имеет Tпл ≈ 3693K).
При T >> TF электронный газ называется невырожденным. В этом случае график функции f(E) идет полого спадая и уже совсем не похож на ступеньку.
На рисунке 11.2 приведены графики функции f(E) (11.4) для различных температур.
Рис. 11.2
При больших значениях энергии электронов, таких, что E - EF >> kT, единицей в знаменателе функции f(E) (11.4) можно пренебречь, тогда для "хвоста" функции f(E) справедлива следующая формула:
что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана (см. Ч. 3, (2.14)).
Итоги лекции N 11
1. Зависимость среднего числа фермионов в одном квантовом состоянии <n(Ei)> от их энергии и температуры называется распределением Ферми-Дирака (см. (11.1)):
здесь ЕF - уровень Ферми, параметр распределения, который определяют из условия нормировки. Другое название этого параметра - химический потенциал, который принято обозначать греческой буквой µ, т.е. EF ≡ µ.
2. При не очень высоких температурах, когда kT<<EF для уровня Ферми справедливо приближенное выражение (см. (11.3)):
здесь EF(0) - энергия Ферми.
3. Так как среднее число фермионов в одном квантовом состоянии изменяется от 0 до 1, т.е. в тех же пределах, что и вероятность f(Ei) заполнения данных квантовых состояний, то для f(Ei) справедлива формула (11.1а), аналогичная формуле (11.1):
4. Анализ функции f(E) при Т=0 К дает следующие результаты:
5. При больших значениях энергии электронов, таких, что Е-ЕF>>kT, для "хвоста" функции f(Е) справедлива формула (11.5):
что совпадает с распределением Максвелла-Больцмана.
ЛЕКЦИЯ N 12