Согласно теореме 1 поиск общего решения неоднородного дифференциального уравнения (1) сводится к двум процедурам:
1) построение фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения;
2) вычисление частного решения неоднородного уравнения (1).
Самым трудным является осуществление первой процедуры. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами (см. следующий раздел) ее можно всегда реализовать. Если же найдена фундаментальная система решений однородного уравнения то реализовать вторую процедуру не составляет особого труда.
Теорема 2. Пусть --- фундаментальная система решений однородного уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами Если правая часть соответствующего неоднородного уравнения (1) непрерывна на отрезке то его частное решение можно вычислить в виде
где функции (представляющие собой варьированные постоянные общего решения однородного уравнения ) находятся из системы
Доказательство. Проведем доказательство для уравнения второго порядка:
В этом случае система (6) имеет вид
Проверим, что функция
где и удовлетворяют уравнениям (8), является частным решением уравнения (7). Вычислим производные и функции (9) с учетом равенств (8):
Отсюда получаем, что
Группируя здесь коэффициенты отдельно перед каждой функций и получаем
Поскольку и – решения соответствующего однородного уравнения то и значит Таким образом, функция является частным решением неоднородного уравнения (7). Теорема доказана.
Пример 1. Проверить, что функции образуют фундаментальную систему решения уравнения и найти общее решение неоднородного уравнения
Решение.Поскольку и то функция удовлетворяет уравнению Точно так же убеждаемся, что функция также удовлетворяет уравнению Вычисляем вронскиан
Видим, что он не обращается в нуль на промежутке значит функции образуют фундаментальную систему решений уравнения
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения в форме При этом функции и должны удовлетворять системе
Поскольку нас интересует частное решение неоднородного уравнения то и можно взять в виде Подставляя их в функцию , получаем частное решение в виде
а значит, общее решение неоднородного уравнения запишется в форме