Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая её вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возмущающей.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора
, где
– переменная внешняя сила, действующая вдоль оси ОХ;
т – масса маятника.
Пусть (простейший случай переменной силы).
Тогда , где
.
Опыт показывает, что по истечении некоторого времени после начала действия вынуждающей силы в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отстающие от этой силы на φ
.
Для определения значений А и φ запишем
и подставим в дифференциальное уравнение колебаний
Учитывая фазовые сдвиги между , представим это равенство с помощью векторной диаграммы для случая ω < ω0
Из диаграммы получаем или
.
Амплитуда колебаний А и отставание по фазе на φ от вынуждающей силы определяются свойствами самого осциллятора (ωо, β, т) и вынуждающей силы (Fт , ω), но не начальными условиями (так называемые установившиеся вынужденные колебания).
Энергия установившихся вынужденных колебаний
Колебания энергии будут тем меньше, чем ближе частота ω к ωо , и при ω = ωо энергия не зависит от времени t :
.
Резонанс
Ниже приведены графики А(ω) и φ(ω) при различных значениях коэффициента затухания.
Видно, что А(ω) имеет максимум при частоте ωР , которую легко найти из условия (достаточно найти экстремум подкоренного выражения). Эту частоту называют резонансной
,
а существование максимума амплитуды явлением резонанса.
Если β << ω0 (слабое затухание), то и . При этом
, где
– логарифмический декремент;
– добротность маятника;
– статическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы Fx = FM .
Кроме зависимостей А(ω) и φ(ω) к резонансным кривым относится и зависимость средней за период мощности вынуждающей силы от её частоты <Р(ω)>.
При ω = ω0 независимо от коэффициента затухания
<Р> = <Рmax> .
Важным параметром резонансной кривой <Р(ω)>, характеризующим «остроту» резонанса, является её ширина Δω на половине «высоты». При малом затухании «острота» резонанса, т.е. отношение , равно добротности осциллятора = Q.