Любой атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающей его электронной оболочки. Размеры ядра менее 10-12 см, размеры же самого атома, определяемые электронной оболочкой, порядка 10-8 см, т. е. в десятки тысяч раз больше размеров ядра. При этом практически вся масса атома сосредоточена в ядре.
Если все это так, то атом должен быть в высокой степени прозрачным для пронизывающих его частиц. Экспериментальное доказательство изложенной модели атома было дано Резерфордом (1911) с помощью рассеяния α- частиц (ядер атомов Не) тонкой металлической фольгой.
Было обнаружено, что подавляющее число α- частиц рассеивалось на небольшие углы (не больше ~ 3°). Вместе с тем наблюдались также отдельные α- частицы, рассеянные на большие утлы. Относительно последних Резерфорд сделал вывод, что такие частицы появляются в результате единичного акта их взаимодействия с ядром атома.
Исходя из предположений, что взаимодействие указанных α-частиц с ядром является кулоновским, а заряд и масса ядра локализованы в очень малой области атома, Резерфорд разработал количественную теорию рассеяния α-частиц и вывел формулу для распределения рассеянных α-частиц в зависимости от угла отклонения θ. В своих рассуждениях Резерфорд принимал во внимание рассеяние α-частиц только на ядрах, поскольку заметного отклонения α-частиц электронами не может быть из-за того, что масса электронов на четыре порядка меньше массы α-частиц.
Когда α-частица пролетает вблизи ядра, ее траектория представляет собой гиперболу, причем угол отклонения α-частицы — угол θ — равен углу между асимптотами гиперболы (рис.1).
Для угла θ было получено выражение
, (4.1)
где q и q0 — заряды налетающей частицы и ядра, b — прицелъный параметр, т. е. расстояние от ядра до первоначального направления движения налетающей частицы, когда она находится вдали от ядра (см. рис. 4.1), — кинетическая энергия частицы вдали от ядра.
Из формулы (4.1) видно, что чем меньше прицельный параметр b, тем больше угол отклонения θ. Непосредственная проверка формулы (4.1) экспериментально невозможна, поскольку мы не можем измерить прицельный параметр b налетающей частицы. Однако, следуя Резерфорду, мы можем положить формулу (4.1) в основу для следующих расчетов.
Рассмотрим тонкий слой рассеивающего вещества, настолько тонкий (фольга), чтобы каждая налетающая частица пучка претерпевала лишь однократное отклонение. Для отклонения в интервале углов (θ, θ+dθ) прицельный параметр должен быть заключен в интервале (b, ,b+db). При этом значения dθ и db будут связаны определенным соотношением. Чтобы найти его, перепишем сначала (4.1) в виде
(4.2)
а затем возьмем дифференциал от этого выражения
(4.3)
Знак минус в этом выражении обусловлен тем, что знаки db и dθ взаимно противоположны. В дальнейшем существенным будет лишь модуль величин db и dθ, поэтому знак минус в (4.3) мы не будем учитывать.
Пусть площадь поперечного сечения узкого пучка налетающих частиц равна S. Тогда число ядер рассеивающего тонкого слоя будет равно nS, где n — число ядер (атомов) в расчете на единицу поверхности. При этом относительное число частиц, имеющих прицельный параметр b в интервале (b,b+db) и, значит, рассеянных в интервале углов (θ,θ+dθ), будет равно (рис.4. 2)
(4.4)
где dS — суммарная площадь колец в сечении S пучка, dN — поток частиц, рассеянных в интервале углов (θ,θ+dθ), и N — поток падающих частиц в пучке.
Подставив в (4.4) выражения для b и db из (4.2) и (4.3), получим:
(4.5)
Умножим числитель и знаменатель правой части этого равенства на sin(θ/2). Тогда
(4.6)
где выражение 2π sinθ dθ — это телесный угол dΩ, в пределах которого заключены углы рассеяния (θ,θ+dθ). Поэтому (4.6) можно переписать так:
(4.7)
Это и есть формула Резерфорда. Она определяет относительное число частиц, рассеянных в телесном угле dΩ под углом θ к первоначальному направлению их движения. Напомним, что в этой формуле п— число ядер на единицу поверхности рассеивающего слоя (фольги).
Если нас интересует относительное число ∆N/N частиц в конечном интервале углов от θ1 до θ2, то выражение (4.7) надо проинтегрировать, учитывая, что dΩ=2π sinθ dθ. При этом следует иметь в виду, что для малых углов рассеяния (приблизительно меньших 3°) формула Резерфорда не применима. Это связано с тем, что очень малым углам соответствуют большие значения прицельного параметра, выходящие за пределы атома, где сила уже не имеет кулоновского характера.
Эффективное сечение. Формулу Резерфорда (4.7) можно представить в несколько ином виде, если ввести понятие дифференциального сечения dσ, равного площади кольца радиусом b и шириной db (см. рис.4. 2). Имея прицельные параметры в интервале (b,b+db), налетающие частицы отклоняются ядрами согласно (4.1) на углы в интервале (θ,θ+dθ). Поскольку
(4.8)
формулу (4.7) можно представить так:
(4.9)
где дифференциальное эффективное сечение
(4.10)
Таким образом, формула (4.9) означает, что относительное число частиц, рассеянных в интервале углов (θ,θ+dθ), равно произведению количества ядер на единицу поверхности фольги (n) на соответствующее дифференциальное сечение (4.10).
Проверка формулы Резерфорда. Формула (4.7) была подтверждена экспериментально. В качестве налетающих частиц использовали α-частицы (их заряд q = 2e) от радиоактивного источника. Кинетическая энергия α-частиц была порядка нескольких МэВ. Если зафиксировать телесный угол dΩ, в котором подсчитывают рассеянные α-частицы, и менять при этом угол θ (рис.4.3), то из формулы (4.7) следует, что dN • sin4(θ/2) = const. На опыте прежде всего было проверено соблюдение именно этого условия. , и было доказано, что формула (4.7) правильно описывает процесс рассеяния α-частиц.