Система счисления — способ именования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел, системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Количество (P) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в пределах от 0 до P – 1. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием P будет представлять собой ряд вида:
N = am–1 Pm–1 + am–2 Pm–2 + ... + ak Pk + … + a0 P0 +
a–1 P–1 + a–2 P–2 + ... + a–s P–s (1)
Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
· положительные значения индексов — для целой части числа (m разрядов);
· отрицательные значения — для дробной (s разрядов).
Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:
(2)
Минимальное значащее, не равное 0 число, которое можно записать в s разрядах дробной части:
Nmin = P-s. (3)
Имея в целой части числа m, а в дробной — s разрядов, можно записать всего Pm+s разных чисел. Двоичная система счисления имеет основание P = 2 и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1, с помощью которых можно записать любое число.
Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.
101110,1012 = 1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 1 21 + 0 20 + 1 2–1
+ 0 2–2 + 1 2–3 = 46,62510
Перевод из двоичной системы в десятичную можно легко выполнить, надписав над каждым разрядом соответствующий ему вес и сложив затем произведения цифр на их веса. Двоичное число 010000012 равно 6510. Действительно, 26 1 + 20·1=65 или:
Вес
Цифра
Для перевода числа из позиционной системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления можно воспользоваться выражением (1). Обратный перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием непосредственно по этой формуле весьма затруднителен, поскольку все арифметические действия, предусмотренные этой формулой, следует выполнять в той системе счисления, в которую число переводится.
Обратный перевод выполняется значительно проще, если предварительно преобразовать отдельно целую и дробную части выражения (1) к виду:
Алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием P:
1. При переводе смешанного числа следует переводить целую и дробную части числа раздельно.
2. Целую часть исходного числа и целые части частных от ее деления последовательно делить на основание P до тех пор, пока очередная целая часть частного не окажется равной 0. Остатки от деления, записанные последовательно справа налево, образуют целую часть числа в системе счисления с основанием P.
3. Дробную часть исходного числа и дробные части получающихся произведений последовательно умножать на основание P до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной 0 или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой последовательно слева направо, образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием P.
Рассмотрим перевод смешанного числа из десятичной в двоичную систему счисления на примере числа 46,625.
Целая часть числа – 46. Последовательно делим на 2.
46 : 2 = 23 (остаток 0)
23 : 2 = 11 (остаток 1)
11 : 2 = 5 (остаток 1)
5 : 2 = 2 (остаток 1)
2 : 2 = 1 (остаток 0)
1 : 2 = 0 (остаток 1)
Записываем остатки последовательно справа налево — 101110, 4610=1011102.
Дробная часть числа - 0,625.
0,625 · 2 = 1,250
0,250 · 2 = 0,500
0,500 · 2 = 1,000
Записываем целые части получающихся произведений после запятой последовательно слева направо — 0,101, то есть: 0,62510 = 0,1012. Таким образом, 46,62510 = 101110,1012.