Правила сложения
Пример Сложить двоичные числа 11012 и 110112. Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
+ 1 1 0 1 1 1 0 1 1
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
a. разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;
b. разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;
c. третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;
d. четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;
e. пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.
Таким образом:
1 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата: 11012 = 1*23 +1*22 + 0*21 + 1*20 = 8 + 4 + 1 = 13; 110112 = 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 2 + 1 = 27; 1010002 = 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*21 = 32 + 8 = 40. Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.
Пример Сложить шестнадцатеричные числа 1С16 и 7В16. Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
+ 1 С 7 В
Процесс образования результата по разрядам описан ниже (он включает преобразование в процессе сложения каждой шестнадцатеричной цифры в десятичное число и обратные действия):
a. разряд 1 формируется следующим образом: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716; 7 остается в разряде 1; 1 переносится в разряд 2;
b. разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116 = 916, где вторая 116 - единица переноса.
Таким образом:
1 С + 7 В 9 7 Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата: 1С16 = 1*161 + 12*160 = 16 + 12 = 28; 7В16 = 7*161 + 11*160 = 112 + 11 = 123; 9716 = 9*161 + 7*160 = 144 + 7 = 151. Поскольку 28 + 123 = 151, сложение выполнено верно.
Правила вычитания
Пример Вычесть из двоичного числа 1012 двоичное число 112. Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1: - 1 0 1 1 1 Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
a. разряд 1 формируется следующим образом: 1 - 1 = 0;
b. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 меньше 1 и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 3. Тогда разряд 2 рассчитывается как 10 - 1 = 1;
c. третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, в разряде остался 0.
Таким образом:
1 0 1 - 1 1 1 0
Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата. По таблице имеем:: 1012 = 5; 112 = 3; 102 = 2. Поскольку 5 - 3 = 2, вычитание выполнено верно.
Пример Вычесть из шестнадцатеричного числа 9716 шестнадцатеричное число 7В16. Запишем алгебраические слагаемые в столбик в порядке "уменьшаемое - вычитаемое" и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:
- 9 7 7 В
Процесс образования результата по разрядам описан ниже:
a. разряд 1 формируется следующим образом: поскольку 7 меньше В и непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в старшем разряде 2. Тогда 1716 - В16 = 23 - 11 = 12 = С16;
b. разряд 2 формируется следующим образом: поскольку единица была занята в предыдущем шаге, разряд 2 уменьшаемого стал равным 816. Тогда разряд 2 рассчитывается как 8166 - 716 = 116.
Таким образом:
9 7 - 7 В 1 С
Правила умножения
Пример Умножить двоичное число 1012 на двоичное число 112. Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1: * 1 0 1 1 1 Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже:
a. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 * 12 = 1012;
b. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 * 102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;
c. для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 1012 + 10102 = 11112.
Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения (см. таблицу): 1012 = 5; 112 = 3; 11112 = 15. Поскольку 5 * 3 = 15, умножение выполнено верно: 1012 * 112 = 11112.
Пример. Умножить шестнадцатеричное число 1С16 на шестнадцатеричное число 7В16. Запишем множители в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1: * 1 С 7 В Процесс образования результата по шагам умножения множимого на каждый разряд множителя с последующим сложением показан ниже (в процессе умножения выполняем перевод шестнадцатеричных чисел в десятичные и обратно):
a. умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1С16 * В16 = 28 * 11 = 308 = 13416;
b. умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1С16 * 716 = 28 * 112 = 3136 = С4016. Здесь значение разряда 2 множителя сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах счисления;
c. для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих шагов: 13416 + С4016 = D7416.
Для проверки результата найдем полное значение сомножителей и произведения, воспользовавшись результатами примера 3.17 и правилами формирования полного значения числа: 1С16 = 28; 7В16 = 123; D7416 = 13*162 + 7*161 + 4*160 = 3444. Поскольку 28 * 123 = 3444, умножение выполнено верно: 1С16 * 7В16 = D7416.
Правила деления
Рассмотрим правила деления только для двоичных чисел, поскольку деление шестнадцатеричных чисел проще выполнять, переведя их предварительно в десятичную систему счисления.
Пример Разделить двоичное число 11112 на двоичное число 112. Решение задачи представим схемой:
Для проверки правильности результата воспользуемся данными из примера 3.20. Они показывают, что деление выполнено верно: 11112 / 112 = 1012.