ЛЕКЦИИ
По дисциплине:
Экономико-математические
Методы и модели
СОДЕРЖАНИЕ
1. Моделирование экономических систем.
Основные понятия и определения
1.1. Возникновение и развитие системных представлений
1.2. Модели и моделирование. Классификация моделей
1.3. Виды подобия моделей
1.4. Адекватность моделей
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
2.1. Понятие операционного исследования
2.2. Классификация и принципы построения математических моделей
3. Некоторые сведения из математики
3.1. Выпуклые множества
3.2. Линейные неравенства
3.3. Значения линейной формы на выпуклом множестве
4. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
4.1. Транспортная задача
4.2. Общая формулировка задачи линейного программирования
4.3. Графическая интерпретация решения задач линейного программирования
5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
5.1. Общая и основная задачи линейного программирования
5.2. Геометрический метод решения задач линейного программирования
5.3. Графическое решение задачи распределения ресурсов
5.4. Симплексный метод
5.5. Анализ симплекс-таблиц
5.6. Решение транспортных задач
6. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
6.1. Постановка задачи нелинейного программирования
6.2. Постановка задачи динамического программирования
Основные условия и область применения
6.3. Многокритериальная оптимизация
Моделирование экономических систем.
Основные понятия и определения.
Возникновение и развитие системных представлений
Научно-техническая революция привела к возникновению таких понятий, как большие и сложные экономические системы, обладающие специфическими для них… В начале 80-х годов системность стала не только теоретической категорией, но и… В различных сферах человеческой деятельности возникли различные подходы и соответствующие методы решения специфических…
Модели и моделирование. Классификация моделей
Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство, объект, который в определенных ситуациях заменял другой объект. Например, манекен в определенном смысле заменяет человека, являясь моделью человеческой фигуры. Древние философы считали, что отобразить природу можно только с помощью логики и правильных рассуждений, т.е. по современной терминологии с помощью языковых моделей. Через несколько столетий девизом английского Научного общества стал лозунг: «Ничего словами!», признавались только выводы, подкрепленные экспериментально или математическими выкладками.
В настоящее время для постижения истины существует 3 пути:
Àтеоретическое исследование;
Á эксперимент;
 моделирование.
þ Моделью называется объект-заместитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества:
- дешевизну;
- наглядность;
- легкость оперирования и т.п.
þ В теории моделей моделированием называется результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую - тоже абстрактную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй.
Paзвитие понятия модели вышло за пределы математических моделей и стало относиться к любым знаниям и представлениям о мире. Поскольку модели играют чрезвычайно важную роль в организации любой деятельности человека их можно разделить на познавательные (когницитивные) и прагматические, что соответствует делению целей на теоретические и практические.
þ Познавательная модель ориентирована на приближении модели к реальности, которую эта модель отображает. Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели.
þ Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата, т.е. являются рабочим представлением целей. Поэтомy при обнаружении расхождения между моделью и реальностью надо направить усилия на изменение реальности так, чтобы приблизить реальность к модели. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер, играют роль образца, под который подгоняется действительность. Примерами прагматических моделей служат планы, кодексы законов, рабочие чертежи и т.д.
Другим принципом классификации целей моделирования может служить деление моделей на статические и динамические.
þ Для одних целей нам может понадобиться модель конкретного состояния объекта в определенный момент времени, своего рода «моментальная фотография» объекта. Такие модели называются статическими. Примером являются структурные модели систем.
þ В тех же случаях, когда возникает необходимостъ в отображении процесса изменения состояний, требуются динамические модели систем.
В распоряжении человека имеется два типа материалов для построения моделей - средства самого сознания и средства окружающею материального мира. Соответственно этому модели делятся на абстрактные (идеальные) и материальные.
þ Очевидно, что к абстрактным моделям относятся языковые конструкции и математические модели. Математические модели обладают наибольшей точностью, но чтобы дойти до их использования в данной области, необходимо получить достаточное количество знаний. По мнению Канта, любая отрасль знания может тем более именоваться наукой, чем в большей степени в ней используется математика.
Виды подобия моделей
Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть моделью, т.е. замещала в каком-то отношении оригинал, между оригиналом и моделью должно быть…
þ Прежде всего, это подобие, устанавливаемое в процессе создания модели. Назовем такое подобие прямым. Примером…
Адекватность моделей
þ Модель, с помощью которой успешно достигается поставленная цель, будем называть адекватной этой цепи. Адекватность означает, что требования… В ряде случаев удается ввести меру адекватности некоторых целей, т.е. указать… Приближенность модели не следует путать с адекватностью. Приближенность модели может быть очень высокой, но во всех…
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА
Понятие операционного исследования
Bпервые математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы противовоздушной… Решения человек принимал всегда и во всех сферах своей деятельности. Раньше… Предмет под названием «Исследование операций» входит в программу элитарных вузов, но не всегда в этот термин…
Классификация и принципы построения
Математических моделей
Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели:
À Определение цели, т.e. чего хотят добиться, решая поставленную задачу.
W=W (x, a, x)
В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет следующий вид:
W=W (x, a, x) ® max (min) (2.1)
Некоторые сведения из математики
Выпуклые множества
Предварительно дадим некоторые понятия, весьма важные для линейного программирования.
þ множество точек называется выпуклыми, если оно вместе с любыми двумя точками содержит отрезок, соединяющий эти…
Линейные неравенства
рассмотрим подробнее системы линейных неравенств и покажем, что решение их тесно связано с понятиями выпуклого многоугольника и выпуклого… Для начала рассмотрим неравенство с одной переменной величиной x1, например…
Значения линейной формы на выпуклом множестве
Предположим, что задана некоторая система из m-линейных неравенств (или уравнений) с n переменными х1, х2, ..., хn. Система неравенств в случае… Допустим далее, что нам задана некоторая линейная форма от этих переменных,…
ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Транспортная задача
уголь, добываемый в нескольких месторождениях, отправляется ряду потребителей. нам известно, сколько угля добывается в каждом из месторождений,… Пусть для простоты заданы всего 4 месторождения М1, М2, М3, М4, причем их…
Общая формулировка задачи линейного программирования
Аналогично транспортной задаче решается задача об оптимизации распределения ресурсов (трудовых, материальных, финансовых) и задача о диете. При всем…
À эти значения удовлетворяли некоторой системе линейных уравнений или неравенств;
Графическая интерпретация
Решения задач линейного программирования
Задачу линейного программирования (ЛП) можно решать аналитическими и графическими методами. Аналитические методы являются основой для решения задачи… Однако прежде чем заняться решением, сделаем некоторые замечания. Пусть мы…
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Общая и основная задачи линейного программирования
К математическим задачам линейного программирования приводят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином… Во всех этих задачах требуется найти максимум или минимум линейной функции при…
Геометрический метод решения
Задач линейного программирования
Перепишем основную задачу линейного программирования в векторной форме: найти максимум функции
F=CX (5.5)
Графическое решение задачи распределения ресурсов
Пусть для двух видов продукции П1 и П2 требуются трудовые, материальные и финансовые ресурсы. Наличие ресурсов каждого вида и их нормы расхода, необходимые для выпуска единицы продукции, приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Характеристика
Вид продукции
располаг.
П1
П2
ресурс
Резервы:
трудовые
материальные
финансовые
выпуск
---
прибыль
8,5
---
план
х1
х2
---
составим математическую модель задачи.
ìx1+4x2 £ 14
ï3x1+4x2 £ 18
(5.11) í6x1+2x2 £ 27
îx1 ³ 0, x2 ³ 0.
математическая модель представляет собой систему линейных неравенств. Значит ОДР нашей задачи выпуклый многоугольник. Для удобства построения неравенства можно записать в форме, аналогичной уравнениям в отрезках:
ìx1/14+x2/7/2 £ 1
ïx1/6+x2/9/2 £ 1
(5.12) íx1/9/2+x2/27/2 £ 1
îx1 ³ 0, x2 ³ 0.
Если мы хотим найти оптимальное решение, то должны принять целевую функцию. Допустим, мы хотим, чтобы решение было оптимальным в смысле максимизации суммарного выпуска. Тогда целевая функция:
F=x1+x2 ® max (5.13)
Эту зависимость представим в виде x2= F-x1. Из графика данного уравнения (Рис. 5.1) следует, что tga = -1, при этом a =135о, а величина F равна отрезку, отсекаемому прямой функции цели на оси координат. Если прямую перемещать параллельно самой себе в направлении, указанном стрелками, то эта величина будет возрастать. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки С (x*1; x*2). При этом F=F*.
На основании рассмотренного, можно сделать исключительно важный вывод: оптимальным решением являются координаты вершин ОДР. А из этого вывода следует метод решения задачи линейного программирования.
метод решения задачи линейного программирования:
À Найти вершины ОДР, как точки пересечения ограничений.
Á Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.
 Вершина, в которой целевая функция приобретает оптимальное значение, является оптимальной вершиной.
à Координаты оптимальной вершины являются оптимальными значениями искомых переменных.
Если направление целевой функции совпадает с направлением одной из сторон, то у задачи будет, по крайней мере, два решения. В таком случае говорят, что задача имеет альтернативные решения. А это значит, что одно и то же оптимальное значение целевой функции может быть получено при различных значениях переменных.
Тот факт, что оптимальное решение находится на вершине ОДР, дает еще два очень важных вывода:
À если оптимальным решением являются координаты вершин ОДР, значит, сколько вершин имеет ОДР, столько оптимальных решений может иметь задача.
Á поскольку чем больше ограничений, тем больше вершин, то, следовательно, чем больше ограничений, тем больше оптимальных решений.
Как видно на Рис. 5.1, вершина, координаты которой являются оптимальным решением, определяется углом наклона прямой, описывающей целевую функцию. Значит, каждая вершина будет соответствовать оптимальному решению для некоторой целевой функции. Поясним это на рассмотренном ранее примере. Раньше мы находили оптимальное решение по максимизации суммарного выпуска F1=x1+x2 ® max. Найдем оптимальные решения еще для четырех целевых функций:
F2=x2 ® max (максимизация выпуска продукции П2)
F3=x1 ® max (максимизация выпуска продукции П1)
F4=4x1+8,5x2 ® max (максимизация прибыли)
F5=(1+3+6)x1 + (4+4+2)x2 = 10х1+10х2 ® max (минимизация используемых ресурсов).
Для каждой целевой функции, так же как и для F1, можно построить линию целевой функции и определить вершину, в которой целевая функция будет иметь оптимальное значение. Результаты решения задачи по пяти целевым функциям сведем в таблицу 5.2, из анализа которой можно сделать вывод: координаты каждой вершины могут быть оптимальным решением в некотором смысле.
Таблица 5.2
Целевая функция
Вершина
x1
x2
x1+x2
Прибыль
Используемый
ресурс
F1=x1+x2 ® max
C
1,5
5,5
28,75
F2=x2 ® max
A
3,5
3,5
29,75
F3=x1 ® max
D
4,5
4,5
F4=4x1+8,5x2 ® max
B
33,5
F5= 10х1+10х2
Симплексный метод
Симплексный метод или метод последовательного улучшения плана является одним из основных методов решения задач ЛП. название симплексный метод берет…
þ В математике симплексом в k-мерном пространстве называется совокупность k+1 вершин.
Таблица 5.3.
Базисные
Коэффициенты
Вектор свободных
векторы
линейной формы С
членов В
A1
A2
A3
A4
A5
A3
A4
A5
-1
Индексная строка ¦ j-Сj
-3
-4
Это первая симплексная таблица, соответствующая первому базисному решению: x1=0; x2=0; x3=56; x4=37; x5=2. Значение линейной формы, равное нулю, мы записываем в первой клетке индексной строки.
Т.к. мы решаем задачу на максимум, то из выражения линейной формы видно, что имеет смысл увеличить x1 или x2. Действительно, коэффициенты при этих переменных в скобках отрицательны (а по существу положительны), и если мы положим x1>0 или x2>0, то значение ¦ увеличится. Но эти же коэффициенты с их знаками стоят в индексной строке.
Итак, мы приходим к следующему выводу: наличие в индексной строке отрицательных чисел при решении задачи на максимум свидетельствует о том, что нами оптимальное решение не получено, и то, что от табл. 5.3 надо перейти к следующей.
Переход к новой таблице, т.е. к новой улучшенной программе осуществляем следующим способом: в индексной строке находим наибольшее по абсолютному значению отрицательное (а при задаче на минимум - наибольшее положительное) число. В нашем примере этим числом будет - 4. Найденное число определяет ведущий или ключевой столбец. Затем мы делим свободные члены на положительные элементы ведущего столбца и выбираем из полученных отношений наименьшее. Наименьшее отношение определяет ведущую строку. В данном случае имеем:
Таким образом, ведущей строкой будет строка A5. На пересечении ведущего столбца и ведущей строки стоит разрешающий элемент. В нашем случае - это число 2.
Теперь мы приступаем к составлению второй таблицы или второго плана. Вместо единичного вектора A5 мы в базис вводим вектор A2. Переход к новому базису, как это известно, эквивалентен элементарному преобразованию матрицы, элементами которой служат числа табл. 5.3. А именно: в новой таблице элемент строки, соответствующий элементу ведущей строки прежней таблицы, равен этому элементу ведущей строки, разделенному на разрешающий элемент. чтобы получить любой другой элемент новой симплексной таблицы, нужно от соответствующего элемента прежней таблицы отнять произведение элемента ведущей строки на элемент ведущего столбца, разделенное на разрешающий элемент. Например, элементу 4 (табл. 5.3) будет соответствовать элемент табл. 5.4:
Таким образом, мы переходим ко второй таблице (таблица 5.4). Указанные выше преобразования относятся к столбцам B, A1, A2, A3, A4 , A5.
Таблица 5.4.
Базисные
Коэффициенты
Вектор свободных
векторы
линейной формы С
членов В
A1
A2
A3
A4
A5
A3
17/2
-9/2
A4
13/2
-3/2
A5
-1/2
1/2
Индексная строка ¦ j-Сj
-5
Из табл. 5.4 видно, что значение линейной формы возросло и теперь равно 4. Однако наличие в индексной строке отрицательных чисел свидетельствует о том, что это значение еще можно увеличить. Переходим к следующей симплексной таблице. число «5» определяет ведущий столбец. Находим ведущую строку. Для этого определяем:
Итак, разрешающим элементом будет 13/2. Вектор A4 выводим из базиса и вводим вместо него вектор A1. Пересчет коэффициентов осуществляем по указанным выше правилам и получаем таблицу 5.5.
Таблица 5.5
Базисные
Коэффициенты
Вектор свободных
векторы
линейной формы С
членов В
A1
A2
A3
A4
A5
A3
33/13
-17/13
-33/13
A1
68/13
2/13
-3/13
A2
47/13
1/13
5/13
Индексная строка ¦ j-Сj
392/13
10/13
11/13
В индексной строке нет отрицательных элементов. Следовательно, мы получим оптимальную программу. Оптимальное решение:
x1=68/13; x2=47/13; x3=33/13; x4 = x5 = 0.
Анализ симплекс-таблиц
Математическая модель является прекрасным средством получения ответов на широкий круг вопросов, возникающих при планировании, проектировании и в… При оперативном управлении решается достаточно широкий и важный круг вопросов,… Допустим, предприятие должно выпускать продукцию четырех видов: П1,П2,П3,П4, используя для этого три вида ресурсов.…
ТАБЛИЦА 5А
Элемент
Вид продукции
Располагаемый
модели
П1
П2
П3
П4
ресурс
Ресурсы:
трудовые
сырье
оборудование
Прибыль с единицы
продукта
---
План
х1
х2
х3
х4
---
ìx1 + x2 + x3+ x4 £ 16
ï6x1 + 5x2 + 4x3+ 3x4 £ 110
(5.20) í4x1 + 6x2 + 10x3+ 13x4 £ 100
îxj ³ 0, j ³ 1,4.
F = 60x1 + 70x2 + 120x3 + 130x4 ® max
От системы неравенств (5.20) перейдем к системе уравнений. Для этого, в каждое неравенство добавим по одной дополнительной переменной: yi ³ 0, i ³ 1,m. Тогда получим систему уравнений:
ìx1 + x2 + x3+ x4 + y1 =16
ï6x1 + 5x2 + 4x3+ 3x4 + y2 =110
(5.21) í4x1 + 6x2 + 10x3+ 13x4 + y3 =100
îxj ³ 0, j = 1,4; yi ³ 0, i = 1,3.
F = 60x1 + 70x2 + 120x3 + 130x4 ® max
Затем перепишем систему (5.21) в следующем виде:
ì y1 =16 - (x1 + x2 + x3+ x4)
ï y2 =110 - (6x1 + 5x2 + 4x3+ 3x4)
(5.22) í y3 =100 - (4x1 + 6x2 + 10x3+ 13x4)
îF = 0 - (-60x1 - 70x2 - 120x3 - 130x4)
Систему (5.22) можно представить в виде Таблицы 5В, которую составляют следующим образом: свободные переменные, заключенные в скобки, выносят в верхнюю строку таблицы. В остальные столбцы записывают свободные члены и коэффициенты перед свободными переменными. Эта, так называемая симплекс таблица, служит основой для решения задач линейного программирования. В этой таблице переменные, являющиеся свободными, в данном случае x1, x2, x3, x4 по условию равны 0. Поскольку свободные переменные равны 0, то из системы (5.22) видно, что базисные переменные y1, y2, y3, а также целевая функция F, которую записывают снизу, равны свободным членам. Значит y1=16, y2=110, y3=100, F=0.
ТАБЛИЦА 5В
Величина
Свободный
Свободные переменные
член
х1
х2
х3
х4
Базисные переменные:
y1
y2
y3
Индексная строка (F)
0
- 60
- 70
- 120
- 130
Напомним, что в системе (5.21) общее число переменных N=n+m, где n - число основных переменных, m - число дополнительных переменных. Все переменные можно подразделить с одной стороны на основные и дополнительные, а с другой - на базисные и свободные.
þ Свободными переменными будем называть такие, которые равны 0.
Из теории известно, что n переменных в допустимом решении должны быть равны 0 , т.е. столько же переменных, сколько и основных. Однако, из этого ни в коей мере не следует, что нулю равны все основные переменные. Если из общего числа переменных N=n+m будут свободными n переменных, то очевидно, что m переменных будут базисными, т.е. не равны нулю. С учетом введенных терминов можно сказать, что целью решения задачи ЛП является нахождение базисных и свободных переменных.
Для задачи ЛП, записанной в виде симплекс таблицы, можно сформулировать признаки допустимого и оптимального решений. Решение является допустимым, если в симплекс таблице в столбце свободных членов все значения, относящиеся к базисным переменным будут неотрицательными. Оптимальное значение, как мы знаем, может либо минимизировать, либо максимизировать значение целевой функции. В связи с этим, для оптимальных значений есть два признака: один для случая минимизации целевой функции, другой - для случая максимизации.
Целевая функция имеет минимальное значение, если, во-первых, решение является допустимым, т.е. свободные члены будут неотрицательными, а во=вторых, все элементы в строке целевой функции (свободный член не рассматривается) будут неположительными. При этом целевая функция равна свободному члену. Таким образом можно сделать вывод, что в Табл. 5В получено оптимальное решение нашей задачи для случая минимизации целевой функции.
Действительно, если x1= x2= x3= x4 = 0 мы никакой продукции не выпускаем и при этом прибыль F=0. Дополнительные переменные y1, y2, y3, показывающие объем неиспользованных ресурсов, равны, соответственно: 16, 110,100, т.е. тому ресурсу, который имеется в наличии. В самом деле, мы ничего не выпускаем, но не тратим ресурсы. Следовательно, данные в Табл. 5В соответствуют такой вершине ОДР, в которой целевая функция принимает минимальное значение.
Признак максимизации целевой функции формируется следующим образом: целевая функция имеет максимальное значение, если, во-первых, решение является допустимым, а во-вторых, все элементы в строке целевой функции (свободный член не рассматривается) будут неотрицательными.
Поскольку Табл. 5В не удовлетворяет данному признаку, то необходимо перейти к другой вершине ОДР. Переход от одной вершины к другой, производится по определенному алгоритму симплекс-метода, который заключается в обмене переменных.
þ Каждый переход от одной вершины к другой, который называется итерацией, состоит в том, что одна базисная переменная приравнивается к нулю, т.е. переходит в свободную, а одна свободная переменная переводится в базисную.
На каждой итерации проверяют удовлетворение признаков допустимого и оптимального решений. Такая процедура продолжается до тех пор, пока не будут удовлетворены оба признака. Применительно к нашей задаче переходим к следующей симплекс-таблице, полученной после первой итерации.
Переход к новой таблице осуществляем следующим способом: в индексной строке, где находится целевая функция находим наибольшее по абсолютному значению отрицательное число. Найденное число определяет ведущий столбец. Затем мы делим свободные члены на положительные элементы ведущего столбца и выбираем из полученных отношений наименьшее. Наименьшее отношение определяет ведущую строку. В нашем случае имеем:
Таким образом, ведущим столбцом будет столбец х3, а ведущей строкой будет строка y3. На пересечении ведущего столбца и ведущей строки будет разрешающий элемент. В нашем случае это число 10. Таким образом, ведущей строкой будет строка y3, обозначим ее через Ar. Ведущим столбцом будет столбец х4, обозначим его через Ak, и, следовательно, разрешающий элемент Ark = 10.
Теперь приступаем к составлению второй таблицы. В этой таблице элементы направляющей строки равны этому элементу ведущей строки, деленному на разрешающий элемент, и находятся в соотношении:
Элементы любой другой строки j находят из соотношения:
Т.е. чтобы получить любой другой элемент новой симплексной таблицы, нужно от соответствующего элемента прежней таблицы отнять произведение элемента ведущей строки на элемент ведущего столбца, разделенное на разрешающий элемент.
После этих преобразований новая симплексная таблица после первой итерации примет вид Таблицы 5С.
ТАБЛИЦА 5С
Величина
Свободный
Свободные переменные
член
х1
х2
х3
х4
Базисные переменные:
¬ y1
0,6
0,4
- 0,3
y2
4,4
2,6
- 2,2
¬ y3
0,4
0,6
1,3
Индексная строка (F)
1200
- 12
2
0
26
В Табл. 5С в индексной строке только один отрицательный элемент, следовательно, ведущим столбцом будет х1, а ведущую строку определяем по наименьшему отношению:
Т. о. Ведущей строкой будет y1, а разрешающим элементом число 0,6.
Применительно к нашей задаче последняя симплекс-таблица, полученная после второй итерации, будет иметь вид:
ТАБЛИЦА 5D
Величина
Свободный
Свободные переменные
член
х1
х2
х3
х4
Базисные переменные:
х1
5/3
2/3
- 1/6
- 1/2
y2
-22/3
- 1/3
1/3
х3
- 2/3
1/3
1/6
3/2
Индексная строка (F)
1320
20
10
10
20
Из этой таблицы видно, что в столбце свободных членов все элементы положительные. Значит решение является допустимым. В строке целевой функции все элементы тоже положительные. Следовательно, это решение оптимальное и максимизирует целевую функцию. При этом оптимальным планом будут следующие величины: х1*=10, х3*=6 (значит, они - базисные) и х2*=х4*=0 (т.к. они свободные). При этом целевая функция F=1320.
Вот результат решения задачи. Однако, с помощью симплекс-таблицы можно узнать еще много полезных сведений. Так их этой же таблицы видим, что свободные переменные y1=y3=0, а базисная переменная y2=26. А это значит, что в оптимальном плане резервы трудовых ресурсов и оборудования равны нулю. Иными словами, эти ресурсы используются полностью. Вместе с тем резерв ресурсов сырья y2=26, что свидетельствует о том, что имеются излишки сырья. Вот какие полезные сведения можно получить из окончательной симплекс-таблицы.
Решение транспортных задач
В качестве примера приведем решение транспортной задачи ЛП с помощью таблицы. Транспортная таблица состоит из m строк и n столбцов. В правом верхнем углу каждой клетки будем ставить стоимость Сij перевозки единицы груза из Ai в Bj, а в центр клетки поместим перевозку Xij.
Таблица 5.6
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
13
7
14
7
5
A2
11
8
12
6
8
A3
6
10
10
8
11
A4
14
8
10
10
15
Заявки bj
Таблица 5.7
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
18 13
12 7
14
7
5
A2
11
15 8
33 12
6
8
A3
6
10
9 10
11 8
11
A4
14
8
10
15 10
15 15
Заявки bj
Составим опорный план. Можно применить метод «северо-западного угля». Пусть пункт В1 подал заявки на 18 единиц груза. Удовлетворим ее из запасов А1. После этого в нем остается еще 30-18=12 единиц груза. Отдадим их пункту В2. Но заявка этого пункта еще не удовлетворена. Выделим остаток 27-12 из запасов А2 и т.д. рассуждая аналогичным образом, составим таблицу 5.8. Полученный план перевозок является опорным, но вряд ли он является оптимальным в смысле стоимости перевозок.
þ Напомним, что прямая, которая имеет с областью, по крайней мере, одну общую точку, притом так, что вся область лежит по одну сторону от этой прямой, называется опорной по отношению к этой области.
Таким образом, задача ЛП на геометрическом языке может быть сформулирована так: среди прямых уровня функции цели ¦ найти опорную по отношению к ОДР и притом так, чтобы вся область лежала со стороны больших значений ¦. Наш план - не оптимальный. Сразу видно, что его можно улучшить, если произвести в нем «циклическую перестановку», уменьшив перевозки в «дорогой» клетке (2.3) со стоимостью 12. но зато, увеличив перевозки в «дешевой» клетке (2.4) со стоимостью 6. чтобы план оставался опорным, мы должны при этом сделать одну из свободных клеток базисной, а одну из базисных - свободной.
Сколько единиц груза можем мы перенести по циклу следующему циклу: (2.4) ®(3.4) ®(3.3) ®(2.3), увеличивая перевозки в нечетных вершинах цикла и уменьшая в четных? Очевидно, не больше 11 единиц (иначе перевозки в клетке (3.4) стали бы отрицательными). Также очевидно, что в результате циклического переноса допустимый план остается допустимым - баланс заявок и запасов не нарушается. Произведем перенос и запишем улучшенный план в таблицу 5.8.
Таблица 5.8
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
18 13
12 7
14
7
5
A2
11
15 8
33 12
11 6
8
A3
6
10
20 10
8
11
A4
14
8
10
15 10
15 15
Заявки bj
Таблица 5.9
ПН
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы аi
ПО
A1
- 3 13
12 7
14
7
+15 5
A2
11
15 8
22 12
11 6
8
A3
6
10
20 10
8
11
A4
+15 14
8
10
15 10
- 15
Заявки bj
посмотрим, что мы сэкономили. Общая стоимость плана в табл. 5.7 равна:
‡1=18´13+12´7+15´8+33´12+9´10+11´8+15´10+15´15=1287.
Общая стоимость плана табл. 5.6 равна:
‡2=18´13+12´7+15´8+22´12+11´6+20´10+15´10+15´15=1243.
Таким образом, нам удалось уменьшить стоимость перевозок на 44 единицы.
Действительно алгебраическая сумма стоимостей, стоящих в вершинах цикла со знаком «+», если перевозки в этой вершине увеличиваются, и со знаком «-», если уменьшаются (так называемая «цена цикла»). в данном случае равна 6-8+10-12=-4. Значит, при переносе одной величины груза по этому циклу стоимость уменьшается на 4. А мы перенесем 11 единиц. Следовательно, цена цикла 4 . 11=44.
Попробуем еще раз улучшить план табл. 5.8 с помощью цикла (табл. 5.9) с ценой: 5-15+14-13=9. Перебрасывая 15 единиц груза, сокращаем стоимость на: 9 . 15=135.
МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
И МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
Постановка задачи нелинейного программирования
В общем виде задача нелинейного программирования (ЗНП) формируется следующим образом:
f (x1, x2, ..., xn) ® max (min) (6.1)
Постановка задачи динамического программирования.
Основные условия и область применения.
В ряде реальных экономических и производственных задач необходимо учитывать изменение моделируемого процесса во времени и влияние времени на… Пусть рассматривается задача, распадающаяся на m шагов или этапов, например…
Многокритериальная оптимизация
þ задачи, в которых оптимизацию проводят по нескольким параметрам, называют задачами многокритериальной или векторной оптимизации.
Как и при линейном программировании задачи многокритериальной оптимизации…