Поверхности, выражаемые алгебраическим уравнением второй степени, называют поверхностями второго порядка. Порядок алгебраической поверхности равен степени ее уравнения. Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением первой степени, есть плоскость. Среди поверхностей второго порядка выделим:
1.Эллипсоиды. Они имеют каноническое уравнение следующего вида х2/а2 + y2/b2 + z2/c2=1. Эллипсоиды подразделяются на трехосные (а¹b¹с¹а, рис.10.16), вращения (а=b¹с¹а, рис.10.17) или (а¹b=с, или а=с¹b) и сферу (а=b=c).
Рис.10.16 Рис.10.17
2. Параболоиды. Параболоиды эллиптические (рис.10.18) имеют уравнение х2/р + y2/b=2z. Параболоид вращения имеет уравнение z2=2px.
3. Параболоиды гиперболические (рис.10.19) имеют уравнение вида: х2/р-y2/q=2z и являются линейчатыми поверхностями (косая плоскость).
Рис.10.18 Рис.10.19
Гиперболоиды.
а) Гиперболоиды однополостные (рис.10.20) имеют уравнение вида: х2/а2+y2/b2-z2/c2=1 и являются линейчатыми поверхностями.
б) Гиперболоиды двух полостные (рис.10.21) имеют уравнение вида х2/а2+y2/b2-z2/c2=-1.
Гиперболоиды могут быть поверхностями вращения.
Рис.10.20 Рис.10.21
Поверхности второго порядка могут быть подобными. Два эллипсоида подобны, если отношение их полуосей одинаково: а:b:c=a1:b1:c1. Два эллиптических параболоида подобны, если подобны их сечения плоскостью, перпендикулярной к оси. Два гиперболических параболоида подобны, если их асимптотические плоскости составляют одинаковые углы. Два гиперболоида подобны, если они имеют одинаковые асимптотические конические поверхности.