Математические методы в геологии

Математические методы в геологии

(лекции)

Доц. Дарчиева А.Е.

Литература
основная
1) А. Б. Каждан, О.И. Гуськов, А.А. Шиманский. Математическое моделирование в геологии и разведке ПюИ.,М.»Недра» 1979…

Лекция 1. Вводная

Необходимость применения математических методов при обработке и обобщении геологических данных все острее ощущается и в таких дисциплинах, как… МинГео РФ выделяют значительные ассигнования для оснащения крупных…


В отличие от закона, модель обеспечивает лишь приближенное пред­ставление о строении объекта. Любая модель позволяет судить не о всех, а только о тех свойствах системы, для осуществления которых осуществля­лось моделирование.

Объектами моделирования могут быть отдельные участки земной коры, а также различные свойства природных геологических образований - пород, мине­ралов, полезных ископаемых.
В процессе моделирования познаются те свойства, знания которых необхо­димо для решения научных и практических задач.
Моделированию могут быть подвергнуты и процессы, происходящие в земной коре ( условия формирования минералов , пород)
В качестве математических моделей используются символы и формулы, описывающие количественные взаимосвязи и закономерности распределения изу­чаемых геологических признаков.
Природные геологические объекты обладают рядом специфических особенностей, которые определяют методику их изучения:
1. Горные породы и содержащиеся в них полезные ископаемые скрыты в недрах и недоступны для непосредственного наблюдения;
2. Размеры изучаемых объектов несоизмеримо больше, чем размеры ес­тественных или искусственных объектов, по которым производится их изуче­ние;
3. Изучаемые объекты – обладают сложным внутренним строением.
Например: Золоторудные месторождения обычно состоят из отдельных сближенных золоторудных залежей, разделенных участками слабоминерализиро-
ванных пород. Золоторудные залежи так же обладают прерывистым строением и представлены чередованием рудных гнезд с участками пустых пород, а каждое гнездо состоит из чередующихся золотосодержащих и безрудных минеральных аг­регатов.
Для изучения горных пород и полезных ископаемых, скрытых в недрах, следует применять сеть естественных и искусственных обнаружений. В качестве искусственных обнаружений используются разведочные горные выработки и скважины, по которым производятся геологические наблюдения, отбираются об­разцы и пробы для изучения свойств изучаемых объектов, положенных в основу геологических исследований.

Поэтому исходные данные имеют случайный характер.

1. Математическое описание свойств природных геологических объек­тов должно производится на основе системного подхода к оценке особенно­стей их…

В целом обобщенное суждение о структуре объекта производится на ос­новании усредненных характеристик, вычисленных по группам пространст­венно-сбличенных единичных наблюдений и моделировании характера из­менчивости параметров объекта.

2. Природная сложность и недоступность геологических объектов, несо­вместимость их размеров с размерами отбираемых проб, ограниченность экс­периментальных данных и прерывность сети наблюдений, и в конечном итоге эти данные представляют собой совокупность случайных величин, из-за чего боль­шинство математических моделей в геологии строятся на вероятностной ос­нове.

Выбор наиболее приемлемой математической модели определяется условием соответствия ее свойств свойством объекта моделирования.



Но поскольку полнота представлений о свойствах геологических объек­тов зависит от их природной сложности и детальности проведенных наблю­дений, правильнее говорить о соответствии математической модели тому представлению геологов, которое вырабатывалось у них к моменту модели­рования.


Практически это означает, что математические модели свойств геологиче­ских образований разрабатываются на базе типовых геологических моделей при­родных объектов и называются геолого-математическими.

4. Специфическая особенность геолого-математического моделирова­ния – моделируются не истинные геологические структуры и свойства природ­ных объектов, а изменчивость этих свойств. Характер этой наблюдаемой измен­чивости зависит от природы явления, а также от методики и детальности проведен­ных геологических исследований.

Существуют одномерные, двухмерные и многомерные статистические модели.

Одномерные статистические модели

Статистика– это обобщение и наглядное представление эмпирических данных большого объема с последующими выводами из этих данных Статистика позволяет… Геологические исследования сводятся к выборочному изучению состава и свойств…

Методы математической статистики обеспечивают возможность наилуч­шего использования выборочной информации для получения надежных резуль­татов и для определения степени надежности полученных выводов.

Для использования случайной величины в качестве статической модели свойств геологического объекта необходимо убедиться в том, что геологические наблюдения:
1. удовлетворяют условию массовости, обеспечивая возможность много­кратного повторения одного и того же комплекса условий;
2. могут быть представлены в виде схемы случайных событий;
3. могут быть выражены случайной величиной.
При проведении геологических расследований комплекс условий заключается в замерах значений изучаемых свойств в произвольно выбранных точках земных недр – это реализация условия случайных событий, а числовые значения наблю­даемых свойств – величины случайные, т.к. их нельзя предсказать заранее.
Комплекс реализуемых условий может быть повторен многократно – это условие массовости.
При использовании статистической модели для изучения закономерностей рас­пределения важнейших свойств геологического объекта отдельные участки недр упо­добляются генеральной статистической совокупности, в которой каждый такой уча­сток рассматривается как «случайная величина». Среднее значение свойств в объеме участка – математическое ожидание этой случайной величины.
В геологической практике одномерные статистические модели используются для решения двух типов задач:

Для оценки неизвестных параметров геологического объекта



Для статистической проверки гипотезы

Статистические гипотезы проверяют правдоподобность выводов о законо­мерностях, полученных на основе анализа выборочных данных.




Случайные величины бывают прерывистыми (дискретными) и непре­рывными

Примером непрерывной случайной величины - содержание Pb в рудах по­лиметаллических месторождений, или любого другого металла в руде.
Число появлений события в серии испытаний называется его частотой, а… Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу­чайной величины и соответствующими им…

Законы статических распределений.

При решении большинства статистических задач в геологии и разведке ши­роко используются норм., Lоg нормальной и биноминальный законы… Н.З. и Lоg н.з. подчиняются распределению большинства изучаемых непре­рывных… Нормальным законом распределения называется закон, для которого инте­гральная функция распределения имеет следующий…

Выбор вида статистической модели.






Проверка гипотез о равенстве средних значений.

Например, согласно мнения многих петрографов, средний химический состав лав вулканов и интрузивных пород отражает в общих чертах особенности состава… Статистические методы проверки гипотезы о равенстве средних содержаний… В палеонтологии – для разделения семейств ископаемых организмов на виды.


Рические критерии согласия.

Для использования параметрических критериев согласия необходимо пред­варительно проверить гипотезу о соответствии данных теоретическому закону рас­пределения.

Непараметрические критерии могут использоваться даже в том случае, если закон распределения сравниваемых случайных величин неизвестен.

Его применение основано на том, что если из нормально распределеной со­во­купности отобраны выборки Х, объемом в niзначений и выборки у , объемом в…
Подчиняется закону распределения Стьюдента с n1 + n2 – 2 степенями сво­боды.


H– число наблюдений в выборке Б

– функция, обраратная функциями нормального распределения (Шарапов табл. 29).
Процедура проверки гипотезы сводится к расчету всех значений , нахожде­нию по… Если расч. > табл. гипотеза о равенстве отвергается.

ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О РАВЕНСТВЕ ДИСПЕРСИИ

Например дисперсия m рудного тела характеризует сложность его строения.
На сравнении дисперсий основаны также методы определения величин слу­чайных… Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий используется F – критерий Фишера


Если Fвыч. > F табл. то гипотеза о равенстве двух дисперсий отвергается.



ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ОБ ОДНОРОДНОСТИ ИЗУЧАЕМОГО ОБЪЕКТА.

Исследуемый объект считается статистически однородным, если он однороден по геологическому строению.
Получить суждение о геологической однородности объекта путем проверки гипотезы… Задачи, основанные на проверке гипотезы о статистической однородности геологических объектов, разделяются на три…

Критерий Фергюссона

Таблицы распределения величин А приведены в ряде работ.
Если А расч. > А табл., для заданной вероятности и n степеней свободы, то… Если распределение «фоновой» выборки отличается от нормальной, то «ано­мальными» будут признаваться все редко…

Рассказать - что такое фон, фоновое содержание, фоновая выборка, + аномалии, - аномалии и их значение.


2. Разделение неоднородных выборочных совокупностей позволяет выбрать наиболее рациональный комплекс геохимических и геологических методов при гео­логическом картировании, а также выделять наиболее конкретные по своим свойст­вам литологические разности (маркирующие гор.).
При решении этой задачи каждая разновидность породы рассматривается как самостоятельная генеральная совокупность, а результаты геохимических и геофизи­ческих исследований – как смешанная выборка.
Решение этой задачи возможно, если каждая разновидность пород представля­ется достаточным количеством замеров.
Простейшие способы разделения неоднородных выборочных совокупностей основаны на анализе графиков эмпирических кривых распределения. На неоднород­ность может указать наличие на графике нескольких мах.
Неоднородные выборки можно разделить с помощью специальных пометок.
Наиболее широко они принимаются при расчленении геофизических методов.

3. Оценка степени влияния различных факторов на характер изменчивости (неоднородности) свойств геологических объектов основана на так называемом дис­персионном анализе и заключается в разделении совокупности выборочных зна­че­ний какого либо свойства на группы по определенному принципу, например по по­ложению точки замера или свойству вмещающих пород, и сравнении дисперсий свойства внутри группы с общей дисперсией.
С помощью дисперсионного анализа оценивается Поль различных рудокон­тролирующих факторов, поисковых критериев и признаков, выявляются причины случайных и систематических ошибок опробования анализов и т.п.
По количеству оцениваемых факторов дисперсионный анализ подразделяется на однофактный, двухфактный и многофактный.

Однофактный дисперсионный анализ

и внутри групп
; -по группам



Р 1 , Р 2 ….Рn.

Распределение величины Y, соответствующие выбранным значениям вели­чины Х, называется условиями распределениями, а дисперсии - условными… Система из двух случайных величин всегда будут соответствовать две линии… - регрессия y по x


Использование корреляционных связей для предсказания свойств геоло­гических объектов.

В геологической практике широко распространен случай, эмпирическое рас­пределение одной из случайных величин не противоречит нормальному закону, а… В отличии от корреляционного анализа, здесь анализируется только регрессия y и… Основные предпосылки регррессионого анализа – одна переменная (х) рас­сматривается как независимая, а вторая (у) – как…

= 28.39 48.35 32.036 6.66 3.900

Кроме этого отмечается не линейная связь – аналитически может быть выра­жена уравнением параболы (см. К – стр. 66)


Многомерные статистические модели.
Каждое геологическое явление или объект характеризуется множеством при­знаков, которые можно наблюдать и измерять. Наблюдаемые значения признаков обязаны в большинстве случаев действию не одного, а целого ряда причин, находя­щихся друг с другом в различных временных и пространствееных взаимоотноше­ниях.