ИНСТИТУТ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА

И СОВРЕМЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ОСНОВЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ

КИБЕРНЕТИКИ

Учебное пособие

Житомир 2001

УДК 33:007.

Основы экономической кибернетики. Учебное пособие. Житомир: ИПСТ. 1998г. (В электронном виде).

Учебное пособие «Основы экономической кибернетики» составлено по материалам книги: Экономическая кибернетика: Учебное пособие; Донецкий гос.ун-т.-Донецк ДонГУ,1999.-397с.

Составитель Тимонин Ю.А.

СОДЕРЖАНИЕ

• ГЛАВА 1. СИСТЕМА 6
• • Уровни абстрактного описания систем 7
  • • Системный подход 10
    • Сложная система 12
    • Классификация систем 21
    • Формализация поведения систем 22
• ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ 28
• • Изоморфизм. 30
  • • Гомоморфизм. 32
    • Математическое моделирование. 32
    • Классификация моделей. 35
    • Методика моделирования. 36
• ГЛАВА 3. УПРАВЛЕНИЕ 39
• • Условия существования системы управления 43
  • • Виды связей в системах управления 52
    • Виды управления 54
    • Самоорганизующиеся системы 61
    • Принципы и законы управления 80
• ГЛАВА 4. ИНФОРМАЦИЯ 81
• • Количественное измерение информации 83
  • • Неопределенность 90
    • Семиотика 102
• Экономическая информация 110
• ГЛАВА 5. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 121
• Экономическая система как система управления 131
• Идентификация экономической системы 133
• ГЛАВА 6.ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 137
• Принципы декомпозиционного анализа экономической системы 138
• • Декомпозиционным решением исходной глобальной задачи управления экономической системой является определение решения с помощью системы взаимосвязанных локальных задач. При этом подразумевается, что частные, или локальные задачи являются в определенном смысле менее сложными, чем исходная задача. 138
  • • Координация в иерархических системах управления 147
    • Методы декомпозиционного анализа 160
    • Введение
    • Кибернетика исследует весьма специфический предмет - системы и процессы управления. Она характеризуется новыми подходами к анализу и синтезу сложных динамических объектов. Кибернетике присущ системный подход, позволяющий рассматривать явление во всей его сложности, с учетом всех имеющихся связей и свойств. Это позволяет выявить, познать и рационально использовать закономерности управления в природе, обществе и искусственно создаваемых системах. Вместе с тем, развитие кибернетики потребовало переосмысления некоторых старых понятий, сложившихся в общественной практике, и формализации представлений терминологического характера, являющихся исходной базой при изучении сложных систем управления различной природы. В настоящем разделе будут даны содержательные характеристики основных понятий кибернетики: система (1), модель (2), управление (3), информация (4).

ГЛАВА 1. СИСТЕМА

Заметим прежде всего, что определение любой конкретной системы является произвольным. Вполне обоснованно ножницы можно назвать системой. Однако более сложная совокупность элементов, включающая, например, работницу, режущую что-нибудь ножницами, также является подлинной системой. В свою очередь, работница с ножницами представляет часть более крупной системы производства какого-либо изделия и т.д.

По существу, вся вселенная состоит из множества систем, каждая из которых содержится в более крупной системе подобно множеству пустотелых кубиков, вложенных друг в друга. Так же, как всегда, можно представить себе более обширную систему, в которую входит данная, всегда можно выделить из данной системы более ограниченную. Пару ножниц, о которой мы только что упоминали, можно считать минимальной системой. Однако посмотрим, что получится, если сломать винт, соединяющий лезвия, и рассматривать одно лезвие. Исходя из старой точки зрения, это уже не система. а один безжизненный ее обломок. Действительно, одно лезвие уже не представляет систему для резания. Но, положив лезвие под микроскоп, мы увидим, что оно является сложной системой компонент, взаимодействующих друг с другом особым образом, определяемым. например, температурой, которую имеет лезвие. Элементами этой системы являются различные разновидности зерен стали. Однако, если мы возьмем одно из них, то можно обнаружить, что оно, в свою очередь, содержит некоторую систему, в данном случае атомную систему, обладающую определенными свойствами. Основной вывод из всех этих рассуждений сводится к тому, что при стремлении исследовать все воздействия, влияющие на какой-либо единичный материальный объект, мы должны определить его как часть некоторой системы. Эта система является системой в силу того, что она состоит из взаимосвязанных частей и в определенном смысле представляет замкнутое целое. Однако объект, который мы рассматриваем, безусловно, является частью ряда таких систем, каждая из которых, в свою очередь, представляет подсистему, входящую в ряд более крупных систем. Таким образом, задача строгого определения системы, которую мы хотим исследовать, отнюдь не проста.

Ст. Бир

По поводу определения понятия "система" существует много различных высказываний. Первоначально "систему" определяли как комплекс элементов, находящихся во взаимодействии (австрийский биолог-теоретик Людвиг фон Берталанфи, основоположник общей теории систем, 1950 г.), или как множество объектов вместе с отношениями между объектами и их атрибутами (А. Холл и Р.-Ф. Фейджин). Во всех определениях такого рода подчеркивалось, что система представляет собой целостный комплекс взаимосвязанных элементов и что она имеет определенную структуру и взаимодействует с внешней средой.

Современное определение термина "система" связано с развитием общей теории систем и принятым уровнем абстрагирования при построении математической модели реальной системы. А поскольку математических моделей, применимых для описания реального объекта, может быть сколь угодно много, и все они определяются принятым уровнем абстрагирования, то нет и единой формулировки понятия "система", т.к. определение этого термина в зависимости от принятого исследователем уровня абстрагирования является различным.

Уровни абстрактного описания систем

Наиболее применимыми в практике системного анализа являются следующие уровни абстрактного описания систем:

- символический, или лингвистический;

- теоретико-множественный;

- абстрактно-алгебраический;

- топологический;

- логико-математический;

- теоретико-информационный;

- динамический;

- эвристический.

Лингвистический уровень описания системы - наиболее общий уровень абстрагирования. На лингвистическом уровне описания, по М. Месаровичу, системой называется множество правильных высказываний в некотором абстрактном языке, для которого определены грамматические правила построения высказываний. Все высказывания делятся на два класса: термы (объекты исследования) и функторы (отношения между термами). Для определения абстрактного языка вводится совокупность некоторых символов и задаются правила оперирования ими.

Теоретико-множественное определение системы: система есть собственное подмножество , где Х - прямое (декартово) произведение множеств X_i, :

(1.1)

Декартовым произведением множеств называется множество конечных наборов элементов (x₁, x₁, …, x_n), таких, что

Каждый элемент , в свою очередь, может быть множеством, что позволяет описывать иерархию достаточно сложных систем.

Примером реальной системы, исследованной на уровне теоретико-множественного подхода, является кибернетическая система управления предприятием, описанная Ст. Биром.

Абстрактно-алгебраическое определение понятия системы: системой S называется некоторое множество элементов , , на котором задано отношение R с фиксированными свойствами Р. Следовательно, система определяется заданием и семейством отношений , например, бинарных, тернарных и т.д.

Важное значение в исследовании реальных систем имеет динамическое определение сложной системы. С позиций динамического подхода определение системы сводится к заданию восьмерки величин:

, (1.2)

где Т - множество моментов времени;

X - множество допустимых входных воздействий, ;

- множество мгновенных значений входных воздействий;

U - множество состояний, или внутренних характеристик системы;

Y - множество мгновенных значений выходных сигналов;

Г - множество выходных величин, ;

- выходное отображение, ;

- переходная функция состояния, .

Приведенное определение динамической системы является чрезвычайно общим. Такое определение имеет концептуальное значение, позволяет выработать общую терминологию, но не обеспечивает получения содержательных практических выводов, и поэтому требует дальнейшей конкретизации и введения дополнительных структур, что будет осуществлено ниже. Задачи, рассматриваемые в теории систем на основе приведенного определения, традиционны: это задачи устойчивости, управления, идентификации, оптимизации, эквивалентности, структуры, декомпозиции, синтеза и ряд других.

Для целей экономической кибернетики понятие динамической системы представляется особенно важным, поскольку экономические объекты относятся к классу динамических.

До сих пор предпосылкой описания сложной системы являлось представление о том, что взаимодействие системы с внешней средой осуществляется с помощью входов и выходов. Системы такого рода являются относительно обособленными. В реальной действительности абсолютно обособленных (замкнутых) систем не существует, хотя подобная абстракция иногда используется в целях исследования.

Системный подход

Локальным решениям, полученным на основе охвата небольшого числа существенных факторов, кибернетика противопоставляет системный подход. Этот подход отличается от традиционного, предусматривающего расчленение изучаемого объекта на составные элементы и определение поведения сложного объекта как результата объединения свойств входящих в него систем.

Системный подход основывается на принципе целостности объекта исследования, т.е. исследование его свойств как единого целого, единой системы. Этот принцип исходит из того, что целое обладает такими качествами, которые не обладает ни одна из его частей. Такое свойство целостной системы называют эмерджентностью (от англ. emergent - неожиданно возникающий). Выражением эмерджентных свойств является всякий эффект взаимодействия, не аддитивный по отношению к локальным эффектам.

Системный подход для максимального использования качества целостности требует непрерывной интеграции представлений о системе с различных точек зрения, на каждом этапе ее исследования, а также - подчинения частных целей общей цели, стоящей перед всей системой.

Системный подход опирается на диалектический закон взаимосвязи и взаимообусловленности явлений в мире и обществе и требует рассмотрения изучаемого явления или процесса не только как самостоятельной системы, но и как подсистемы некоторой суперсистемы более высокого уровня. Системный подход требует прослеживания как можно большего числа связей, не только внутренних, но и внешних - с тем, чтобы не упустить действительно существенные связи и факторы и оценить их эффекты. Практически системный подход - это системный охват, системные представления, системная организация исследования.

Любой объект исследования, таким образом, может быть представлен как подсистема некоторой системы более высокого ранга, - и это приводит к проблеме выделения системы, установления ее границ, - и как система по отношению к некоторой совокупности подсистем более низкого ранга, которые, в свою очередь, образованы некоторыми элементами, дальнейшее дробление которых нецелесообразно с точки зрения конкретного исследования, - и это определяет необходимость постановки задачи выбора такого первичного элемента.

Выделение системы предполагает наличие ряда системообразующих признаков, которые определяются целями исследования и волей исследователя, и в силу этого являются субъективными:

- объекта исследования;

- субъекта исследования;

- цели исследования.

Не существует однозначного подхода к определению первичного элемента, выбор которого осуществляется субъективно, в соответствии с целями исследования.

Первичным элементом системы является элементарный объект, неделимый далее средствами данного метода декомпозиции в границах данного исследования; устойчивость которого выше, чем устойчивость системы в целом.

Концепция первичного элемента системы позволяет производить структурный анализ системы, причем элементы выступают модулями структуры, "черными ящиками", внутренняя структура которых не является предметом исследования. Взаимодействия элементов системы между собой и с внешней средой обеспечивается посредством системы связей, разнообразие которых так же велико, как и разнообразие свойств системы и среды. При этом в процессе анализа и синтеза систем исследуются лишь существенные связи, а прочими пренебрегают, либо интерпретируют их как возмущения, или "шум".

Сложная система

При выделении системы, как правило, задается не одно, а множество отношений, или связей между элементами. Такая система характеризуется неоднородностью элементов и связей, структурным разнообразием, что свидетельствует о сложности системы.

Понятие сложной системы неоднозначно. Это собирательное название систем, состоящих из большого числа взаимосвязанных элементов. Часто сложными называют системы, которые не поддаются корректному математическому описанию либо ввиду высокого уровня разнообразия, либо из-за непознанности природы явлений, протекающих в системе.

Английский кибернетик Ст. Вир подразделяет все кибернетические системы на три группы - простые, сложные и очень сложные. Примеры систем, относящиеся к этим трем группам, приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Классификация систем по Ст. Биру

Характеристики "сложности" систем многообразны и сопровождаются одновременно многими специфическими чертами, такими,

как:

- многокомпонентность системы (большое число элементов, связей, большие объемы циркулирующей информации, др.);

- многообразие возможных форм связей элементов (разнородность структур -древовидных, иерархических, др.);

- многокритериальность, т.е. наличие ряда противоречивых критериев;

- многообразие природы элементов, составляющих систему;

- высокий динамизм поведения системы и структурных характеристик и др.

Весьма характерным для сложных систем является то обстоятельство, что, независимо от природы исследуемой системы, при решении задач управления используются одни и те же абстрактные модели, составляющие сущность системного подхода, позволяющие определить пути продуктивного исследования сложных систем любой природы и любого назначения.

Первой и основной чертой сложных систем традиционно считается целостность, или единство системы, холизм, проявляющийся в наличии у всей системы общей цели, назначения. Еще до возникновения системотехники выдающиеся отечественные физиологи И.М. Сеченов и И.П. Павлов обогатили мировую науку идеями саморегуляции функций целостности живого организма. Полное значение и формулировка принципа органической целостности были осознаны лишь с появлением концепций общей теории систем и формированием методологии кибернетики. Поэтому системы, в отдельных частях которых не наблюдается взаимодействия со всей системой в плане подчинения единой цели; не относятся к классу сложных систем, исследуемых в кибернетике.

Целостность характеризуется рядом свойств и особенностей, ее многогранность выражается понятиями: дифференциация, интеграция, симметрия, полярность и др. Дифференциация отражает свойство расчлененности целого, проявление разнокачественности ее частей. Противоположное понятие - интеграция связано с объединением совокупности соподчиненных элементов в единое образование. Симметрия и асимметрия выражают степень соразмерности в пространственных и временных связях системы.

Любая кибернетическая система обладает всеми характерными признаками целостности. Универсальность симметрии, широко распространенной в природе и представляющей собой всеобщий закон природы, была выражена в принципе Пьером Кюри. Из принципа симметрии и полярности следуют важные заключения о свойствах структуры и процессов исследуемых кибернетикой систем и моделей.

Системный подход, основанный на принципе целостности, в исследовании свойств объекта как единого целого, требует непрерывной интеграции представлений о системе на каждом этапе исследования - системного анализа, системного проектирования, системной оптимизации. Рассматриваемый подход проявляется в действии ряда общих принципов исследования:

- принцип максимума эффективности проектируемой и функционирующей системы;

- принцип субоптимизации - согласования локальных критериев между собой и с общим глобальным критерием функционирования системы;

- принцип декомпозиции, осуществляемый с учетом требования максимума эффективности. В результате декомпозиции может быть получена некоторая многоуровневая структура системы или процесса ее исследования.

Системный подход к исследованию объекта на определенном уровне абстракции позволяет решать вполне определенный, ограниченный круг задач, а для расширения (сужения) класса решаемых задач необходимо проводить исследование уже на другом уровне абстракции. Каждый из уровней представления системы располагает определенными возможностями и имеет свои ограничения. Системный подход сам системен. Для достижения максимальной полноты и глубины исследования необходимо исследовать систему на всех целесообразных для конкретного случая уровнях абстракции.

Использование системного подхода для целей исследования объекта носит дедуктивный характер. Выберем в качестве объекта исследования функциональную систему S.

Определение 1.1. Если S является функцией:

, (1.3)

где Х - входной,

Y - выходной объект,

то соответствующая система называется функциональной.

Такая система иначе называется системой "вход-выход". В кибернетической литературе ее называют "черным ящиком". Этот термин предложил английский ученый-кибернетик У.Р. Эшби. В качестве "черного ящика" принимаются объекты исследования кибернетики, внутренняя структура (устройство) которых неизвестно или оно не является предметом изучения. Внешнему наблюдателю таких объектов доступны только воздействия на их входы и реакция на воздействия, проявляющаяся в изменении поведения объектов на выходе. Концепция "черного ящика" дает определенные возможности для объективного изучения систем, устройство которых либо недоступно исследователю, либо их поведение не зависит от структурных характеристик.

Наблюдая достаточно долго за поведением такой системы, можно достичь такого уровня знаний свойств системы, чтобы научиться предсказывать движение ее выходных координат при любом заданном изменении на входе. Очевидно, однако, что возможности исследования "черного ящика" достаточно ограничены. Заметим попутно, что в рамках данного подхода системы, характеризующиеся одинаковыми наборами входных и выходных величин и одинаково реагирующие на внешние возмущения, являются по определению изоморфными. Концепция "черного ящика" плодотворна на стадии исследования эмерджентных свойств, поскольку именно "черный ящик" олицетворяет систему как нечто целое, чье поведение необъяснимо со структурных позиций. Предсказание поведения целого, основанное на иной платформе (так называемый "белый ящик", "серый ящик"), часто не бывает исчерпывающим, так как сверх предсказанных свойств могут эмерджировать или внезапно проявляться новые свойства. Порождаемые свойства в полной мере присущи экономическим системам, что прибавляет трудностей их исследователям.

Аксиома 1.1. Любую систему преобразования входов в выходы можно представить как функциональную, и наоборот, просто опираясь на предположение о целесообразности ее функционирования.

Аксиома 1.2. Целесообразность существования функциональной системы S с точки зрения требований, предъявляемых к пей внешней средой, или суперсистемой более высокого уровня, связана с выходными величинами Y, отражающими результаты функционирования системы S, или функциональное назначение системы.

Назовем представленный уровень исследования системно-ориентированным. В рамках данного подхода рассмотрим еще некоторые определения концептуального характера.

Определение 1.2. Функциональная система называется управляемой тогда и только тогда, когда:

. (1.4)

Определение 1.2 означает, что надлежащим выбором входного воздействия х можно добиться получения любого выходного сигнала .

Определение 1.3. Функциональная система называется системой принятия решений, если имеется такое семейство задач D(x), , решением которых является элемент множества Z, и такое отображение , что

(1.5)

В терминах системно-ориентированного подхода могут быть осуществлены постановки задач управления, оптимизации, гомеостазиса и др.

Исчерпав возможности исследования функциональной системы S на данном уровне абстракции, переходят к рассмотрению системы с позиций структурно-функционального подхода, используя для этого следующее определение.

Определение 1.4. Функциональная система S с позиций структурно-функционального подхода задается пятеркой символов:

, (1.6)

где Ф - макрофункция системы,

G - структура системы,

R - отношение эмерджентности,

X, Y - множества входных и выходных объектов соответственно.

Макрофункция системы Ф является количественным выражением основной пели и зависит от управляющего воздействия . Выбор макрофункции Ф обеспечивает достижение требуемого значения Y. Ф, таким образом, связана с решением глобальной задачи, стоящей перед системой.

. (1.7)

Соотношение между глобальной целью функционирования системы S и ее макрофункцией неоднозначен, обоснование выбора определенного вида производится экспериментатором в соответствии с некоторым эвристическим критерием у.

Пусть - некоторый конечный набор функций, связанных с целью системы S.

, . (1.8)

Множество входных воздействий Х разбивается на два подмножества - управляющих сигналов и возмущающих - .

Тогда определение 1.4 можно пояснить следующим образом:

, (1.9)

где ,

,

, ;

где - множество элементов системы,

, - множество связей между ними, или, если заданы их количественные характеристики: - количественные характеристики элементов, например: интенсивность, мощность, запас, др.;

- количественные характеристики связей, например: пропускная способность, ранг, др.

. (1.10)

Отношение эмерджентности R задает соответствие между макрофункцией системы и реализующей ее структурой и изменяется всякий раз, когда это соответствие нарушается:

. (1.11)

Структурно-функциональный подход выводит на новый, более глубокий уровень исследования. При этом решаются некоторые проблемы методологического характера:

выбор Ф на основе качественного критерия ;

формирование множества управлений ;

выбор способа учета возмущающих воздействий ;

выбор первичного элемента системы ;

составление перечня подсистем и элементов на основе определенного метода структурной декомпозиции;

определение системы существенных связей системы ;

определение механизма реализации производственных целей:

;

определение механизма управления .

Рассмотренное понятие является полезным при проведении анализа, синтеза или другого исследования.

Необходимость учета фактора времени при описании сложной системы, а также рассмотрения поведенческих аспектов в движении и развитии систем приводит к необходимости исследования динамической системы.

Определение 1.5. Динамической системой S называется сложное математическое понятие:

, (1.12)

определяемое следующими аксиомами.

1. Заданы: множество моментов времени Т, макрофункция системы Ф, множество входных воздействий X, множество возмущений , множество состояний U, множество значений выходных величин Y, структура системы G и отношение эмерджентности R.

2. Множество Т есть некоторое упорядоченное подмножество множества вещественных чисел.

3. Макрофункция системы определяется с помощью двух функций:

и ,

где S - функциональная модель объекта,

V - функция качества, или оценочная функция,

С - множество оценок.

Макрофункция системы определяется парой .

4. Множество возмущений или множество неопределенностей представляет собой множество всевозможных воздействий, которые сказываются на поведении системы. Если такое множество не пусто: , функциональная модель объекта принимает вид , а оценочная функция - .

5. Существует переходная функция состояния

,

значениями которой служат состояния

,

в которых оказывается система в момент времени , если в начальный момент она находилась в состоянии и в течение отрезка на нее действовали входные воздействия .

6. Задано выходное отображение

,

определяющее выходные величины .

Пару , где , называют событием системы S, а множество - пространством состояний системы.

Конечный набор состояний системы, задаваемый переходной функцией и определенный на некотором временном отрезке , , называется траекторией поведения системы на интервале .

Говоря о движении системы, мы будем иметь в виду траекторию

поведения системы.

7. Структура системы G определяется в терминах теории графов:, ; , где - вершины, - дуги графа.

8. Отношение эмерджентности

.

Данное понятие динамической системы позволяет выработать общую терминологию, уточнить концептуализацию и обеспечить единый подход в рассмотрении приложений, однако является недостаточно конкретным.

В рамках абстрактной теории систем последнее определение дополняется необходимыми доопределениями: конечномерности, линейности, стационарности и др. Однако теоретическое изложение этих вопросов в рамках данного учебника не производится: впредь по мере необходимости мы априорно будем задавать тип связей между исследуемыми величинами, или классами систем: линейная непрерывная система, конечный автомат и т.д. Задачи, рассматриваемые для динамической системы, традиционны: это вопросы устойчивости, идентификации, инвариантности, наблюдаемости, управляемости и оптимальности, реализуемости и др. Углубленное изучение теории вопроса позволяет грамотно и корректно ставить и решать задачи, связанные с управлением экономическими системами.

Классификация систем

Концептуализация систем в области их классификации определяется исследователем в ходе оценки закономерностей функционирования и поведения объекта. Основные классы систем: дискретные и непрерывные системы, статические и динамические, дискретные и непрерывные, детерминированные и стохастические, линейные и нелинейные, открытые и замкнутые, управляемые и неуправляемые, - определяют выбор моделей, с помощью которых производится собственно исследование. Это не исключает возможности в частных исследованиях систем определенной природы сконцентрировать внимание на системах более узкого класса. В экономической кибернетике большое значение имеет исследование многоуровневых, или иерархических систем, а также адаптивных и самоорганизующихся систем.

Адаптивная система - система, которая может приспосабливаться к изменениям внутренних и внешних условий.

Если воздействия внешней среды изменяются непредвиденным образом, то изменение характеристик управляемого объекта также происходит непредвиденным путем. Примечательно то обстоятельство, что понятие адаптации в теории управления тождественно соответствующему понятию в биологии, означающему приспособление организма к новой для него или изменяющейся среде.

Разновидностями адаптивных систем являются самонастраивающиеся, самообучающиеся, самоорганизующиеся, экстремальные, а также системы автоматического обучения.

Одним из видов самонастраивающихся кибернетических систем является гомеостат. Первый гомеостат был создан английским ученым У.Р. Эшби. Гомеостат моделирует характерное свойство поведения живых организмов - гомеостазис, т.е. возможность поддержания некоторых величин, например, температуры тела, в физиологически допустимых границах путем реализации вероятностных процессов управления. В гомеостате управляемая переменная поддерживается на требуемом уровне механизмом саморегулирования. Примеров гомеостазиса в природе очень много. Например, это гомеостазис, управляющий численностью животных в природе: чем больше появляется зайцев, тем наблюдается большее количество рысей, которые поедают зайцев, ограничивая их рост, а следовательно, и рост численности самих рысей.

Формализация поведения систем

Если поведение системы рассматривать как цепь последовательных конечных изменений ее состояний, то переменные системы, изменяясь во времени, в каждый данный момент будут характеризоваться некоторыми значениями. Если одно определенное значение переменной u₁ в момент времени t₁ превращается в следующее значение u₂ в момент t₂, то считается что произошел переход из (u_1-,t₁) в (u_2-,t₂). Фактор, под действием которого происходит переход, называется оператором. Переменная, испытавшая воздействие оператора, называется операндом. Результат перехода - (u_2-,t₂) называется образом. Если рассматривать некоторое множество всех переходов системы из состояния а в состояние в, состояния с в состояние d и т.д., то такое множество переходов для некоторого множества операндов называется преобразованием.

Преобразованиям можно дать математическое представление с помощью метода, предложенного У.Р. Эшби.

Речи некоторое множество состояний системы включает состояния a, b, c, d и на это множество операндов действует оператор Р, то поведение системы можно описать следующим образом:

.

В первой строке записи перечислены состояния системы, или операнды. Во второй строчке, под каждым операндом, находятся образы в которые система переходит из состояний, записанных в верхней строке, под действием оператора Р. В этом преобразовании множество образов второй строки не содержит ни одного нового элемента Преобразование, которое не порождает новых элементов, называется замкнутым:

.

В этом преобразовании множество образов содержит новый элемент е; преобразование выходит за пределы системы, и поэтому называется незамкнутым. Преобразование является однозначным, взаимно однозначным, замкнутым.

Приведенное выше преобразование является неоднозначным.

Преобразование вида является тождественным.

Можно использовать более компактные формы записи. Например, если операнды - суть положительные числа 1, 2, 3, 4, и действует оператор "прибавить к каждому числу 3", то преобразование можно записать:

,

или в компактной форме:

.

Преобразование вида:

Приведенный пример описывает изменение состояний системы с детерминированным действием, описанной однозначным преобразователем.

В матричной форме можно представить неоднозначное преобразование.

Дано преобразование:

при вероятности .

Система событий может быть описана с привлечением аппарата символической логики. Логические функции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции (читаемой "тогда, и только тогда, когда", ) широко применяются в автоматических системах.

Переходным процессом называется процесс изменения во времени динамической системы, возникающий при переходе из одного установившегося режима работы в другой. В динамической системе он возникает под влиянием возмущающих воздействий, изменяющих ее состояние, структуру или параметры.

Важными характеристиками динамической системы являются длительность и характер переходного процесса.

В непрерывных системах, как правило, установившийся режим достигается за бесконечно большое время. В зависимости от характера в непрерывных системах различают колебательный и монотонный переходный процесс.

Для дискретных систем переходный процесс можно определить как последовательность состояний, вызванную внешним возмущающим воздействием, которую система проходит при постоянных условиях до возвращения в установившийся режим функционирования. Длительность переходного процесса определяется величиной этой последовательности и является конечной для дискретных систем. Детерминированная динамическая система ведет себя так же, как замкнутое однозначное преобразование. Однозначность преобразования определяется тем, что система не может сразу перейти в два других состояния.

Различают три типа, или режима поведения системы: равновесный, переходный и периодический.

Состояние равновесия системы может рассматриваться как некоторая тождественность происходящих в ней преобразований, определяющих одинаковое состояние системы на любом шаге ее развития. В равновесной системе каждая часть находится в состоянии равновесия в условиях, определяемых другими ее частями.

Состояние устойчивости не отождествимо с равновесием. Под устойчивостью системы понимается сохранение ею состояния независимо от внешних возмущений. Характеристика системы как устойчивой не всегда определяет положительную сторону с точки зрения управления: система не способна гибко реагировать на управление.

Трактовка понятия устойчивости позволяет определить характеристику инвариантности. Инвариантность в последовательности состояний системы состоит в том, что, несмотря на изменения, претерпеваемые системой в целом, некоторые ее свойства остаются неизменными.

Таким образом, некоторые высказывания относительно системы, несмотря на ее непрерывное изменение, остаются истинными.

К понятиям равновесия и устойчивости примыкает понятие цикла в преобразовании системы.

Циклом называется такая последовательность состояний системы, при которой повторное изменение преобразований заставляет изображающую точку пробегать повторно эту последовательность. Эго можно проиллюстрировать таким преобразованием:

.

Начиная с а, получим последовательность:

описывает цикл.

Если в системе преобразование имеет вид:

,

то в случаях состояний b и е система находилась в состоянии равновесия.

Если Р имеет вид:

,

период является переходным периодом в режиме поведения системы.

Преобразование Р вида

иллюстрирует случай периодического равновесного режима поведения системы .

Использование комплекса идей, связанных с понятием устойчивости, равновесия в поведении систем, весьма полезно при изучении экономических систем, прежде всего, при анализе производственных систем.

Прежде всего, состояние системы изучается с позиций возможного его равновесия, т.е. изменяется ли оно, будучи подвергнутым каким-либо преобразованиям. Рассматривается, является ли это равновесие достаточно устойчивым, и если да, то каков режим поведения изучаемой системы.

Если дано такое состояние (или состояния) и конкретные возмущения, то анализируется, вернется ли система после смещения в свою исходную область. И если система непрерывна, то рассматривается, является ли она устойчивой против всех возмущений внутри определенной области значений. Настоящий метод рассмотрения состояния и поведения системы дает возможность решать вопросы анализа экономических систем и обеспечить предпосылки их функционирования в оптимальном с позиций некоторых требований режиме.

ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ

Рассмотрим поведение организатора, который сталкивается с некоторой ситуацией. Ему известно о ней достаточно много; он наблюдал за ней в течение нескольких лет и, выполняя предшествующие задания приобрел достаточный опыт по аналогичным системам, порождающим аналогичные ситуации. В таких случаях мы говорим, что организатор обладает знаниями и опытом. Поэтому у него в голове возникает картина несколько иного рода - свое собственное понимание ситуации. Эта вторая картина гораздо более точно учитывает ситуацию, чем любое ее изображение на листе бумаги, однако она, тем не менее, не без недостатков. Мы не в состоянии получить достаточно многого с помощью только собственного мозга, так, чтобы можно было понять сущность и охватить с необходимой полнотой все детали взятой из реальной жизни ситуации любого характера и размера. Поэтому то понимание, которое существует в голове организатора, может рассматриваться как взятая оттуда своеобразная модель ситуации. Его представление ситуации моделирует ситуацию и соответствует ей.

Эта модель вовсе не макет в натуральную величину; в действительности она совсем невидима для глаза. Это - идея. По этой причине ее удобно называть умозрительной моделью. Если имеет место полное соответствие между реальностью и умозрительной моделью, то организатор в состоянии проникнуть глубоко в ситуацию и решение, которое он принимает, обязательно окажется рациональным. И наоборот, плохие и невыгодные решения возникают неизбежно в результате неправильного понимания принципов действия системы. Деятельность в процессе управления может рассматриваться как игра с неполной информацией.

Теперь целесообразно ввести понятие об отображении. Под отображением ученый понимает процесс, который имеет место при попытках поставить в соответствие одной картине другую, одному элементу - другой. Сам термин "отображение" выбран достаточно удачно, правда, строго говоря, он взят из математического жаргона. Если ничему ставится в соответствие что-то, то отображения нет. В то же время если отображение достаточно совершенно, то получаемую умозрительную модель считают изоморфной по отношению к окружающей действительности. (Слово "изоморфный" взято из греческого языка и означает "одинаковый по форме").

Изоморфная модель может быть отображена в любом предмете, если между моделью и предметом наблюдается полное поэлементное соответствие. Мы уже предположили возможность игр с неполной информацией и несовершенного отображения. В действительности получается, что полные комплексы предметов и событий запечатляется в модели, как одиночные сущности вместо сложного комплекса. Поэтому организатор может размышлять о части крупного предприятия (которое в действительности состоит из большого количества участков, причем, руководство каждым из них в отдельности может осуществляться неправильно и может быть осложнено), как о заводе А. Для того чтобы прийти к такому упрощенному пониманию, организатор пользуется некоторыми количественными оценками, такими, например, как средний выход продукции Он стремится не обращать внимания на отклонения от среднего выпуска продукции и на виды выпускаемых изделий. Конечно же, упрощения подобного рода, которые делает организатор, зависят от его роли в управлении.

Разновидность отображения, которая предполагает преобразования типа, «многое - в одном», мы будем в дальнейшем называть не изоморфным, а гомоморфным отображением. Хорошая модель всегда является гомоморфной. Гомоморфное отображение сохраняет определенные структурные зависимости моделируемого предмета.

Ст. Бир

Процесс познания человеком окружающего мира в значительной мере связан с созданием моделей, построенных по принципу аналогий с изучаемым объектами. Концепция модели использовалась людьми для выражения как реальных объектов (наскальная живопись, идолы), так и абстрактных понятий (системы дифференциальных уравнений). Мир моделей беспредельно обширен и разнообразен. Многочисленны определения модели, используемые различными исследователями. Достаточно общим, но содержательным представляется следующее определение.

Модель - представление системы, объекта, понятия в некоторой форме, отличной от формы их реального существования.

В кибернетическом моделировании доминирующую роль играет сходство поведения и/или структуры оригинала и модели, различие в содержании не играет определяющей роли, поскольку аналогичные зависимости между входами и выходами могут быть, по определению, реализованы объектами различной природы.

Оценка адекватности пары "оригинал-модель" может быть осуществлена с использованием понятий изоморфизма и гомоморфизма.

Изоморфизм.

В строго математическом смысле изоморфизм двух систем: означает, что между входами и выходами обеих систем существует взаимно однозначное соответствие:

, (2.1)

где , - отношения изоморфизма, или

(2.2)

такие, что

. (2.3)

Понятие изоморфизма систем распространяется и нa структурные, и на поведенческие характеристики систем.

Пусть , - структура систем и , , - множество состояний систем и .

Изоморфизм структур систем и означает, что:

. (2.4)

Изоморфизм состояний:

. (2.4)

Системы и , между которыми существует отношение изоморфизма, называются изоморфными.

Так, например, изоморфны местность и географическая карта, объект съемки и фотография, снимок и негатив и т.д.

Наличие изоморфизма между системой-оригиналом и системой-моделью характеризует весьма высокую степень адекватности, обеспечение которой при построении модели сопряжено с большими трудностями и, вообще говоря, не является необходимым. При построении моделей исследователь, руководствуясь конкретными целями, выделяет лишь наиболее существенные факторы, присущие реальной системе, которые в модели должны быть отражены с максимальной полнотой и точностью, требуемой в данном исследовании. Остальные, несущественные факторы могут отражаться в модели либо с меньшей точностью, либо могут быть исключены. Это является преимуществом модели, поскольку позволяет проводить исследование на более простом, по сравнению с реальным, объекте. Отсутствие полного совпадения всех характеристик модели и оригинала, особенно в области экономико-математического моделирования, не позволяет утверждать наличие изоморфизма между реальной системой и ее моделью.

Важным частным случаем соотношения "оригинал-модель" является отношение гомоморфизма, при котором между системами и , существует однозначное прямое и неоднозначно-обратное соответствие. Так, модель, полученная из реальной системы путем ее упрощения (например, за счет уменьшения числа переменных путем их объединения) является гомоморфной моделью.