Пусть материальная точка М перемещается по действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину , где х – абсцисса движущейся точки М (рис. 4).
Рис. 4
Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (а < b). Для этого отрезок точками , где , разобьем на n-частичных отрезков .
Сила, действующая на отрезке , меняется от точки к точке. Но если длина отрезка достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Её можно приближенно считать постоянной и равной значению функции в произвольно выбранной точке . Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке , равна произведению (как работа постоянной силы на участке ).
Приближенное значение работы А силы на всем отрезке равно:
. (11)
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина . Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы (11) при условии, что наибольшая длина частичных отрезков стремится к нулю:
. (12)