Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): ао+а1(х-х0)+а2х2(х-х0) 2+...+апхп(х-х0) n+...,
говорят, что он расположен соответственно по степеням х, или по степеням х - х0.
Постоянные а0, a1, ... , ап, ... называются коэффициентами степенного ряда.
Если обозначить х-х0 через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х=0.
Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая
4) степенной ряд может расходится во всех точках, кроме х=0, например,
11х1+22х2+33х3+…+ппхп+ ...,
5) степенной ряд может сходиться во всех точках, например,
6) степенной ряд может сходиться в одних точках и расходится в других.
Промежуток и радиус сходимости степенного ряда,