Сложным называется суждение, состоящее из нескольких простых суждений. В зависимости от логического союза (связки) различают конъюнктивные (соединительные), дизъюнктивные (разделительные), импликативные (условные), эквивалентные (равнозначные). Здесь мы будем вторгаться в область математической логики (символической), будем обозначать простые суждения символами p, q, r... Нас будут интересовать их истинность или ложность, а также характер связи между ними. Производя логические (математические) операции, будем отвлекаться от их значения и только в конце расшифровывать результат. Трансформацию суждений или, иначе, высказываний в формулы будем называть формализацией.
1) Конъюнкция - суждение, образованное из простых суждений посредством логического союза «и». Пример: «Платон мне друг, но истина - еще больший друг». p٨ q. Роль логического союза в конъюнктивных суждениях выполняют грамматические союзы «но и; а также; также, как и; вместе с тем; соединенное с; однако». Членами конъюнкции являются простые суждения, их может быть несколько. Если хотя бы одно из них ложно, то вся конъюнкция - ложна (рис. 22). p٨ (q ٨r)= p٨ q٨ r.
Таблица истинности для конъюнкции:
p
q
p^q
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
Л
Рис. 22
2) Дизъюнкция (соединительное суждение) нестрогая, или, иначе говоря, слабая - суждение, образованное из простых суждений посредством логического союза «или», «либо». p ۷ q. p и q не исключают друг друга. Пример. «Я пойду на лекцию или на концерт». Нестрогая дизъюнкция истинна в том случае, если истинно хотя бы одно из составляющих ее суждений (рис. 23).
Таблица истинности для нестрогой (слабой) дизъюнкции:
p
q
p۷q
И
И
И
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Рис. 23
Дизъюнкция строгая (сильная) - p ۷ q - суждение, образованное с помощью логического союза «либо…либо». p и q исключают друг друга. Пример: «Либо я тебя не понимаю, либо ты не хочешь меня понять». Строгая дизъюнкция истинная в том случае, когда одно из составляющих ее суждения истинно, а другое - ложно (рис. 24). Члены строгой дизъюнкции называются альтернативами.
Таблица истинности для строгой дизъюнкции
p
q
p۷q
И
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
Рис. 24
3) Импликация (условное суждение) отражает зависимость явления от каких-либо обстоятельств; она образуется посредством логического союза «если…то». p→q. p - основание-антецедент, q - следствие-консеквент. Пример: «Если ты не контролируешь себя, то тебя контролирует кто-то другой». Импликация ложна только в случае, когда основание истинно, а следствие - ложно (рис. 25).
Таблица истинности для импликации
p
q
p→q
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
И
Л
Л
И
Рис. 25
4) Эквиваленция (выделяющее условное суждение) образуется с помощью логического союза «если и только если… то», «тогда и только тогда… когда». Если и только если человек достиг пенсионного возраста, то он имеет право на получение пенсии по возрасту. p↔q или p≡q. Эквивалентное суждение истинно, когда оба компонента истинны или оба ложны (рис. 26).
Таблица истинности для эквиваленции
p
q
p≡q
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
Рис. 26
5) Отрицание суждений - это логическая операция, в результате которой логическое значения суждения меняется на противоречащее. Если p - истинно, то не-p - ложно; если - p ложно, то не-p истинно. Пример. «Все судьи неподкупны. - Неверно, что все судьи неподкупны». Не-p, или «неверно, что р» обозначается знаком «┐p» (рис. 27).
Таблица истинности для отрицания
р
┐р
И
Л
Л
И
Рис. 27
Отрицание простых суждений осуществляется по диагоналям логического квадрата.
Отрицание сложных суждений осуществляется по формулам Моргана:
┐(А٨ В)= ┐А ۷ ┐В - отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний.
┐(А ۷ В)=┐А ٨┐В - отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний.
┐(А→В) = А٨┐В - отрицание импликации эквивалентно конъюнкции антецедента и ложного консеквента.
Законы отрицания.
1. ┐┐А≡А двойное отрицание А равнозначно А.
2. А٨┐А≡0 А и не-А равносильно лжи.
А۷┐А≡1 А или не-А равносильно истине.
Зная формулы, мы можем определять истинность и ложность любых сложных суждений.