Т. Сумма смежных углов = 180°
Т. Вертикальные углы равны (общая вершина, стороны одного сост. продолжение сторон друг. ) Две прямые наз-ся параллельн. , если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются. Акс. (осн. св-во паралл. прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной. Сл. : 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую. 2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу. Признаки параллельности прямых. Е А В В А А В С Д Д Д С С РВАС РДСА внутр. одностор. (1рис) РВАС РДСА внутр. накрест лежащ. (2) РЕАВ РАСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр. накрест лежащ. Р =, то прямые параллельны. Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны, рпрямые| |. Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Р1=Р2 Но Р1=Р3 (вертикальные)рР3=Р2. Но Р2 и Р3-накрестлежщие. рПо Т 1 a | | bn Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Р=180°, то прямые | |n Для ТТ 1-3 есть обратыные. Т4. Если 2 паралл. прямые пересечны 3-й прямой, то внутр. накрестлеащие Р=, со ответств. Р=, сумма внутр. одностР=180°. Перпедикулярные пр-е пересек-ся Р90°.
1. Через кажд. тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1. 2. Из любой тчки (П данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1. 3. две прямые ^ 3-й параллельны. 4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой. Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис. , r- впис. ) R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоС пересек. в 1 тчке (ортоцентр). 2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2: 1 (счит. От вершины). 3. Все 3 биссектр. С пересек. в 1 тчке центр впис. Круга.
4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон С, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга. 5. Средняя линия | | и = Ѕ основания H(опущ. на стор. a) = 2vp(p-a)(p-b)(p-c) a M(опущ на стор a) = Ѕ v 2b2+2c2 -a2 B (-‘’-)= 2v bcp(p-a) / b+c p - полупериметр aІ=bІ+cІ-2bx, х-проекция 1-й из сторон Признаки равенства С: 2С=, если = сотв. 1. 2 стороны и Р между ними. 2. 2 Р и сторона между ними. 3. 2 Р и сторона, противолеж. 1-му из Р 4. три стороны 5. 2 стороны и Р , лежащий против большей из них. Прямоугольный С C=90° aІ+bІ=cІ NB! TgA= a/b; tgB =b/a; sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c Равносторонний С H= v3 * a/2 S С= Ѕ h a =Ѕ a b sin C Параллелограмм dІ+d`І=2aІ+ 2bІ S =h a=a b sinA(между а и b) = Ѕ d d` sinB (между d d`) Трапеция S= (a+b) h/2 =ЅuvsinZ= Mh Ромб S=a h =aІsinA= Ѕ d d` Окружность L= pRn° / 180°, n°-центрР Т. Впис. Р= Ѕ L , L-дуга, на ктрую опирР S(cектора)= Ѕ RІa= pRІn° / 360° Векторы... Скалярное произведение `а`b=|`a| |`b| cos (`a Щ`b), |`a| |`b| - длина векторов
Скалярное произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, = |`a| |`b| = x` Ч y` + x`` Ч y`` Преобразование фигур 1. Центр. Симметрия 2. Осевая симметрия (^) 3. Симм. Отн-но плоскости (^)
4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К . 5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры) 6. Поворот 7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда: - все точки оси переходят сами в себя - любая точка АП оси р АрА` так, что
А и А` О a, a^р, РАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р. Результвт 2-х движений= композиции. 8. Паралeн. перенос (x, y, z)р(x+a, y=b, x=c)
9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз К=1 - движение. Св-ва подобия. 1. АВСО(а); A`B`C` О(a`) 2. (p) р (p`); [p)р[p`); aрa`; РAрРA` 3. Не всякое подобие- гомотетия NB! S` = kІ S``; V ` = k 3 V `` Плоскости.
Т. Если прямая, П к. -л. плоскости a , | | к. -л. прямой, О a, то она | | a Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч. | | (а)и (b) T. (Признак парал. 2-х плоск. ). Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b, то a | | b. Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |. Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1. Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =. Т. Признак ^ прямой и пл-сти. Если прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^. Т. 2 ^ к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости. Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти. Дано [a)^ b, [a) Оa, a Иb= (p). Д-ть: a ^ b
Док-во. [a)^ b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Щ(b) - линейный Р двугранного угла между a и b. Так как [a)^ bр(a)^(b)р (a)Щ(b)=90°рa ^ bn Т. Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая 1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.
Т. О 3-х ^... Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти, , была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной. Многогранники Призма. V = S осн Ч a - прямая призма a - боковое ребро , S пс- S ^-го сечения V = S пс Ч а - наклонная призма V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед. V=h Sосн. ; Vпрямоуг. параллел-да = abc S=2(ab+ac+bc) Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех С. Фигуры вращения Цилиндр V=pRІH; S= 2pR (R+H) Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pRІH S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая Сфера “оболочка” S= 4pRІ Шар М= 4/3 pR3 ARCSIN a -p/2Јarcsin a Јp/2 sin(arcsin a)=a arcsin (-a)= -arcsin a a 0 1/2 Ц2/2 Ц3/2 1 arcsin a 0 p/6 p/4 p/3 p/2 SIN X= A x=(-1)n arcsin a +pk sin x=0 x=pk sin x=1 x=p/2+2pk sin x=-1 x=-p/2+2pk ARCCOS a 0 Јarccos a Јp cos(arccos a)=a arccos (-a)=p -arccos a a 0 1/2 Ц2/2 Ц3/2 1 arccos a p/2 p/3 p/4 p/6 0 COS X= A x=± arccos a +2pk cos x=0 x=p/2+pk cos x=1 x=2pk cos x=-1 x=p+2pk ARCTG a -p/2Јarctg a Јp/2 tg(arctg a)=a arctg (-a)= -arctg a a 0 Ц3/3 1 Ц3 tg a 0 p/6 p/4 p/3 TG X= A x=± arctg a +pk sina*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)] sina*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)] cosa*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)] sina*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)] sina*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)] cosa*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)] sina+sinb=2sin(a+b)/2 * cos(a-b)/2 sina-sinb=2sin(a-b)/2 * cos(a+b)/2 cosa+cosb=2cos(a+b)/2 * cos(a-b)/2 cosa-cosb=-2sin(a+b)/2 * sin(a-b)/2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2+2ab+b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc a2-b2=(a-b)(a+b) (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2) 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p 2/3p 3/4p 5/6p 3/2p 0 30° 45° 60° 90° 180 120° 135° 150° 270° sin 0 1/2 Ц2/2 Ц3/2 1 0 Ц3/2 Ц2/2 1/2 -1 cos 1 Ц3/2 Ц2/2 1/2 0 -1 -1/2 -Ц2/2 -Ц3/2 0 tg 0 1/Ц3 1 Ц3 0 -Ц3 -1 -1/Ц3 ctg Ц3 1 1/Ц3 0 -1/Ц3 -1 -Ц3 0 sin2+cos2=1 sin=±Ц1-cos2 sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga
tg•ctg=1 cos=±Ц1-sin2 cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2
sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2a=2sina•cosa cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2a=cos2 a-sin2 a cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin3a cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos3a-3cosa sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb 2cos2a/2=1+cosa 2sin2a/2=1-cosa 0 p/6 p/4 p/3 p/2 p 2/3p 3/4p 5/6p 3/2p 0 30° 45° 60° 90° 180 120° 135° 150° 270° sin 0 1/2 Ц2/2 Ц3/2 1 0 Ц3/2 Ц2/2 1/2 -1 cos 1 Ц3/2 Ц2/2 1/2 0 -1 -1/2 -Ц2/2 -Ц3/2 0 tg 0 1/Ц3 1 Ц3 0 -Ц3 -1 -1/Ц3 ctg Ц3 1 1/Ц3 0 -1/Ц3 -1 -Ц3 0 sin2+cos2=1 sin=±Ц1-cos2 sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga
tg•ctg=1 cos=±Ц1-sin2 cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2
sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2a=2sina•cosa cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2a=cos2 a-sin2 a cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin3a cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos3a-3cosa sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb sin(2p-a)=-sina sin(3p/2-a)=-cosa cos(2p-a)=cosa cos(3p/2-a)=-sina tg(2p-a)=-tga tg(3p/2-a)=ctga sin(p-a)=sina ctg(3p/2-a)=tga cos(p-a)=-cosa sin(3p/2+a)=-cosa sin(p+a)=-sina cos(3p/2+a)=sina cos(p+a)=-cosa tg(p/2+a)=-ctga sin(p/2-a)=cosa ctg(p/2+a)=-tga cos(p/2-a)=sina sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2 tg(p/2-a)=ctga sina-sinb=2sin(a-b)/2*cos(a+b)/2 ctg(p/2-a)=tga cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2 sin(p/2+a)=cosa cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2 cos(p/2+a)=-sina Y = S I N x 1). ООФ D(y)=R 2). ОДЗ E(y)=[-1; 1] 3). Периодическая с периодом 2p 4). Нечётная; sin (-x)=-sin x 5). Возрастает на отрезках [-p/2+2pk; p/2+2pk], kОZ Убывает на отрезках [p/2+2pk; 3p/2+2pk], kОZ 6). Наибольшее значение=1 при х=p/2+2pk, kОZ Наименьшее значение=-1 при х=-p/2+2pk, kОZ 7). Ноли функции х=pk, kОZ 8). MAX значение=1 х=p/2+2pk, kОZ MIN значение=-1 х=-p/2+p+2pk, kОZ 9). x>0 на отрезках [2pk; p+2pk], kОZ x Y = C O S x 1). ООФ D(y)=R 2). ОДЗ E(y)=[-1; 1] 3). Периодическая с периодом 2p 4). Чётная; cos (-x)=cos x 5). Возрастает на отрезках [-p+2pk; 2pk], kОZ Убывает на отрезках [2pk; p+2pk], kОZ 6). Наибольшее значение=1 при х=2pk, kОZ Наименьшее значение=-1 при х=p=2pk, kОZ 7). Ноли функции х=p/2+pk, kОZ 8). MAX значение=1 х=2pk, kОZ MIN значение=-1 х=p+2pk, kОZ 9). x>0 на отрезках [-p/2+2pk; p/2+2pk], kОZ x Y = T G x 1). ООФ D(y)-все, кроме х=p/2+pk kОZ 2). ОДЗ E(y)=R 3). Периодическая с периодом p 4). Нечётная; tg (-x)=-tg x 5). Возрастает на отрезках (-p/2+pk; p/2+pk), kОZ 6). Ноли функции х=pk, kОZ 7). x>0 на отрезках (pk; p/2+pk), kОZ x