Билеты по математическому анализу

Билеты по математическому анализу Осн. понятия Грани числовых мн-в Числовые последовательности Непр. ф-ции на пр-ке 1. Осн. понятия
Мат. модель –любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.
Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. – число, которое можно представить в виде p/q где p и q – цел. числа. Иррац. – всякое вещественное число, которое не явл. рационал. Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1, а2…аn… где а–люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач. Некоторые числовые множества.
Мн-ва –первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.
Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={хЅ вып-ся усл S(x)}. Подмн-ва –если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АМВ. А=В- мн-ва совпадают.
Операции с мн-воми А В={х! х принадл. либо А, либо В} – обьединение мн-в А и В. АЗ В={хЅхОА и хОВ} пересечение мн-в А и В. А\ В={хЅхОА, но хПВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А Числовые мн-ва
R, N, Z, Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а, в)= {хЅа (а, в] – полуинтервал.
Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную. 2. Грани числовых мн-в Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.
Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство сіх(хіс). Число с наз-ся верхн. (нижн. ) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-сяограниченым
Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во. Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено. Точные грани числовых мн-в
Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т. е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х Пример Х=[0, 1) то max[0, 1) не $. min [0, 1)=0
Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва. Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*
Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.
Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел. 3. Числовые последовательности
Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1, х2, … , хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .
! Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти. Основные способы задан. посл-ти:
а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т. е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.
б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти. Пример: а) xn=5n x1=5, x2=10 б) x1=-2 xn=4n-1 –3, n=2, 3… х2=-11, х3=-47 Ограниченные последовательности(ОП)
Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xnЈM "n (xnіm "n) посл-ть наз-ся огранич. , если она огранич. сверху и снизу. Посл-ть {xn} наз-ся неогранич. , если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенствуЅxnЅ>А. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти Св-ва сходящихся посл-тей Теорема “Об единственности пределов” Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена” Теорема “О сходимости монотон. посл-ти” 4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти
Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет. Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N: Ѕxn-aЅ Связь сходящихся посл-тей и б/м. Дает сл. теорему
ТеоремаДля того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+an, где посл-ть {an}®0, т. е. является б/м. Док-во
а) Допустим, что xn®a и укажем посл-ть an удовл. равенству xn=a+an. Для этого просто положим an=xn-a, тогда при n®ҐЅxn-aЅ равно растоянию от xn до а ® 0 => an б/м и из равенства преобразования определяю an получаем xn=a+an. Свойство б/м
Если {xn}, {yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением. Т-ма о св-вах б/м а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м 1) их сумма, разность и произведение являются б/м 2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м
! О частном не говорят, т. е. частное б/м может не быть б/м.
Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>NЅxnЅ>c.
! Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич. , но не является б/б.
Пример1, 1/2, 3, 1/4, 5, 1/6, 7… явл. неогранич. , т. е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю. Св-ва сходящихся посл-тей Теорема “Об единственности пределов”
Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного)
{xn} имеет два разл. Предела a и b, а№b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиусаe= (b-a)/2, т. к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на. Теорема “Сходящаяся посл-ть ограничена”
Пусть посл-ть {xn}®а e >о N: "n>NЅxn-aЅN => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуЅxnЅЈ c = max {Ѕa-eЅ, Ѕa+eЅ, ЅxnЅ, …, Ѕxn-1Ѕ} Теорема “Об арифметических дейсьвиях”

Пусть посл-ть {xn}®a, {yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем: а) предел lim(n®Ґ)(xn±yn)=a±b б) предел lim(n®Ґ)(xn*yn)=a*b в) предел lim(n®Ґ)(xn/yn)=a/b, b№0 Док-во:
а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва. б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn an*b – это произведение const на б/м а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м.
=> поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b
Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния Посл-ть {xn} наз-ся возр. , если x1
неубывающей, если x1Јx2Ј…ЈxnЈxn+1Ј…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр. , если x1іx2і…іxnіxn+1і… Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху. Теорема “О сходимости монотон. посл-ти”
Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т. е. имеет пределы. Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X –все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич. , поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xn®supX (обозначим supX через х*). Т. к. х* точная верх. грань, то xnЈx* " n. " e >0 вып-ся нер-во $ xm(пусть m- это n с крышкой): xm>x*-e при " n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-eЈxnЈx*+e при n>m эквивалентно Ѕxn-x*Ѕm. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти. Экспонента или число е Ф-ции одной переменной Обратные ф-ции 6. Экспонента или число е

Р-рим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2, 7128… Док-ть сходимость посл-ти (1)
Для док-ва введем вспом-ю ф-цию y=(1+x)^1/x, x>0 Ясно что при знач. x=1, 1/2, 1/3, …, 1/n, … значение ф-ции y совпадает с соответствующими эл-ми (1). Док-м что ф-ция у монотонно убывает и огран. сверху => монотонное возр. посл-ти (1) и ограниченность ее сверх. Поскольку lg x явл-ся монотонно возр. , но монотонное убыв. ф-ции у и ее огранич. сверху эквивалентны том, что ф-ция lgy, которая равняется 1/хlg(1+x) (2) имеет те же самые св-ва, т. е. 01/x2* *lg(1+x2) (3). Огранич. сверху $ M: 1/xlg(1+x)ЈlgM "x>0 (4). Возьмем любую лин. ф-цию вида y=kx которая превосходит lg(1+x) при всех x>0. tga1=(lg(1+x1))/x1 a1>a2=>tga1>tga2 tga2=(lg(1+x2))/x2

Поскольку a1>a2, то tga1>tga2, а это равносильно равенству (3). Поскольку y>lg(1+x) "x>0 => kx> >lg(1+x) "x>0
Принимая во внимания ф-ции у с пос-ть xn приходим к нужному утверждению. Число е явл-ся неизбежным спутником динамических процессов: почти всегда показатели изменяющиеся во времени характеризующие такие процессы зависят от времени через экспонициальную ф-цию y=e^x и ее модификации.
Пр-р: если ставка сл-ных % равна r и инвестор положил в банк первоначальный вклад равный Р причем % начисляются m раз в год (r- годовая ставка) тогда через n- лет наращенная сумма нач-ся по ф-ле сл. % при m кратном их начислению. Sn=P(1+r/m)^mn (5) Предположим теперь % нач-ся непрерывным образом, т. е. число периодов нач-ния неограничено ув-ся. Мат-ки это соотв-ет тому, что выражение (5) надо р-равать, как общий член посл-ти Xm, а непрерывному нач-нию соот-ет наращенная ф-ция lim(n®Ґ)P(1+r/m)^mn=Pe^rn Lg(e)x имеет спец. Обозначение lnx. Принцип вложенных отрезков
Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1, b1], [a2, b2], …, [an, bn], … Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл. :
1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т. е. [an+1, bn+1]М[an, bn], "n=1, 2, …; 2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т. е. lim(n®Ґ)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются.
Док-во {an}-посл-ть левых концов отрезков явл. монотонно не убывающей и ограниченной сверху числом b1.
{bn}-посл-ть правых концов монотонно не возрастающей, поэтому эти посл-ти явл. сходящимися, т. е. сущ-ют числа с1=lim(n®Ґ)an и с2=lim(n®Ґ)bn => c1=c2 => c - их общее значение. Действительно имеет предел lim(n®Ґ)(bn-an)= lim(n®Ґ)(bn)- lim(n®Ґ)(an) в силу условия 2) o= lim(n®Ґ)(bn-an)=с2-с1=> с1=с2=с Ясно что т. с общая для всех отрезков, поскольку "n anЈcЈbn. Теперь докажем что она одна. Допустим что $ другая с‘к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые не пересекающиеся отрезки с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” посл-тей {an}, {bn} должен нах-ся в окрестностях т-ки с‘‘(т. к. an и bn сходятся к с и с‘ одновременно). Противоречие док-ет т-му. Принцип вложенных отрезков
Т-ма. Любая пос-ть вложенных отрезков содержит единств. т-ку сОвсем отрезкам посл-ти одновременно, к которой они стягиваются. Док-во. {an} пос-ть левых концов явл. монотонно неубыв. И огран. свеху числом b1; посл-ть правых концов {bn} монотонно не возр. и ограничена снизу а1, поэтому эти посл-ти сходящ. , т. е. $ числа c1=lim(n®Ґ)an и c2=lim(n®Ґ)bn. Докажемчто с1=с2 и сл-но их общая знач. может обозначить через с. Действ. имеется предел lim(n®Ґ)(bn-an)= lim(n®Ґ)bn® lim(n®Ґ)an=c2-c1=c ясно что с общая для всех отрезков поскольку для " n anЈcЈbn. Осталось доказать единство данной т-ки (от противного). Допустим есть c‘№c к которой стягиваются все отрезки. Если взять любые пределы окр. точек с и с‘, то с одной стороны весь “хвост” {an}, {bn}, должен нах-ся в окрестности т-ки с, а др. в с‘, т. к. an и bn® c и c‘ одновр. Противореч. док-ет т-му. 7. Ф-ции одной переменной
Если задано правило по которому каждому значению перем. Величины х из мн-ва Х ставится соответствие 1 значению перем. У то в этом случае говорят, что задана ф-ция 1-й переменной. Y=f(x); x –аргумент независ. перемен. , y- зав. пер. X=Df=D(f) y={y; y=f(x), xОX} x1ОX1, y1=f(x1) 1) аналит. способ; 2)Табличный способ; 3) Графический способ;
4)Min и max ф-ции: ф-ция f(x) ограничена, если огран. ее мн-во знач У, т. е. $ m, M: mЈf(x)ЈM "xОX mЈf(x) "xОX => огр. сн. ; f(x)ЈM, "xОX=> огр. св. Обратные ф-ции
Если задано правило по которому каждому значению yОY ставится в соответствие ®ед. знач. х, причем y=f(x), то в этом случае говорят, что на мн-ве Y определена ф-ция обратная ф-ции f(x) и обозначают такую ф-цию x=f^-1(y). Предел ф-ции в точке Свойства предела ф-ции в точке Односторонние пределы ф-ции в т-ке: Предел ф-ции в т-ке Предел и непрерывность функции Предел. Односторонний предел. Предел ф-ции в точке y=f(x) X опр. " {xn} МX, xn®x0 f(xn)®A, => f(x) в т. x0 (при , xn®x0) предел = А А=lim(x®x0)f(x) или f(x)®A при x®x0 Т-ка x0 может О и П мн-ву Х. Свойства предела ф-ции в точке 1) Если предел в т-ке сущ-ет, то он единственный 2) Если в тке х0 предел ф-ции f(x) lim(x®x0)f(x)=A
lim(x®x0)g(x)ЈB=> то тогда в этой т-ке $ предел суммы, разности, произведения и частного. Отделение этих 2-х ф-ций. а) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B б) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B в) lim(x®x0)(f(x): g(x))=A/B г) lim(x®x0)C=C д) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Док-во xn®x0, $ lim(x®x0)f(x)=A по опр. f(xn)®A {f(xn)} Односторонние пределы ф-ции в т-ке:
Опр. А - предел ф-ции f(x) справа от точки х0, если f(x)®A при х®х0, и x>x0 Формально это означает, что для любой посл-ти {xn}®x0, вып-ся условие xn>x0, f(x)®A. Обозначим f(x0+0) и f(x0+) lim(x®x0+0)f(x)® И также с минусами. Признак $ предела
Т-ма Для того чтобы f(x) имела предел в т-ке х0 необх. , тогда в этой т-ке ф-ция f имеет совпадающ. Между собой одностор. предел (f(x0+)=f(x0-) (1), которые равны пределу ф-ции. Док-во. f(x) имеет в т-ке х0 предел А, тогда f(x)®A независимо от того приближается ли х к х0 по значению больше х0 или меньше это означает равенство (1) Предел ф-ции в т-ке
Число А наз-ся пределом ф-ции в т-ке х0 если "e>0 найдется такое число В>0, для всех х отличных от х0 и (х-х0)0 из Ѕх-х0Ѕ Пусть Ѕf(x)-x0Ѕ Ѕf(x)-x0Ѕ Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Ф-ция f(x) непрерывна в т-ке х0 если предельное значение в этой т-ке равно самому знач. в этой точке. Предел и непрерывность функции
Пусть ф-ция f(x) определена на некотором пр-ке Х* и пусть точка х0ОХ или х0ПХ. Опр. Число А наз-ся пределом ф-ции f(x) в точке х=х0, если для " e>0 $ d>0 такое, что для всех хОХ, х№х0, удовлетвор. неравенству Ѕх-х0Ѕ0. Тогда для любого числа d>0 выполняется треюуемое неравенство Ѕf(x)-CЅ=ЅC-CЅ=0 lim(x®x0)C=C Свойства пределов. Непрерывность ф-ции.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) имеют в т-ке х0 пределы В и С. Тогда ф-ции f(x)±g(x), f(x)g(x) и f(x)/g(x) (при С№0) имеют в т-ке х0 пределы, равные соответственно В±С, В*С, В/С, т. е. lim[f(x)±g(x)]= B±C, lim[f(x)*g(x)]= B*C, lim[f(x)/g(x)]= B/C Теорема также верна если х0 явл. +Ґ, -Ґ, Ґ
Опр. Ф-ция f(x) наз-ся непрерыной в точке х=х0, если предел ф-ции и ее значение в этой точке равны, т. е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)
Теорема Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в т-ке х0. Тогда ф-ции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) также непрерывны в этой т-ке. 10. Предел. Односторонний предел.
Опр. Числом А наз-ся предел f(x) в т-ке х0, если для любой окрестности А$ окрестность (х0): "xОокрестности (x0) выполняется условие f(x)Оокрестности. Теорема Все определения предела эквивалентны между собой.
Опр. Число А называется пределом ф-ции f(x) справа от т. х0(правым предело f(x0)) если f(x)®A при х®х0, х>x0
Формально это означает, что для любой посл-ти сходящейся к х0 при xn>x0 выполняется условие f(xn)®A
Запись: f(x0+o), f(x0+ ). lim(x®x0+o)f(x) где запись x®x0+o как раз означает стремление к х0 по мн-ву значений >чем х0. Опр. Предел слева аналогично и исп-ся запись f(x0-o); f(x0-) Теорема. Для того чтобы ф-ция f(x) имела предел в точке х0 необходимо и достаточно когда в этой т-ке ф-ция имеет совпадающие между собой одностороние пределы (f(x0+)=f(x0-)) значение которые равны пределу ф-ции, т. е. f(x0+)= f(x0-)=lim(x®x0)f(x)=A Док-во
а) допустим ф-ция имеет в точке х0 предел равный А, тогда f(x)®А независимо от того, приближается ли х к х0 по значению > x0 или
б) пусть односторонние пределы сущ-ют и равны f(x0+)=f(x0-) докажем, что $ просто предел. Возьмем произвольную {xn}®х0 разобьем если это необходимо эту последовательность на две подпоследовательности. 1. члены которые нах-ся слева от х0 {x‘n}; 2. члены которые нах-ся справа от х0 {х‘‘n};
x’n®x0-o x’’n®x0+o, т. к. односторонние пределы $ и равны, то f(x‘n)®A и f(x‘‘n)®A поэтому посл-ть значений ф-ций {f(xn)} которая также след. справа: 1){f(x‘n)} и {f(x‘‘n)} имеет f(xn)®A на основании связи между сходимостью последовательностей Пределы ф-ции на бесконечности Два замечательных предела Б/м ф-ции и их сравнения Непрерывные ф-ции. Непрерывность. 11. Пределы ф-ции на бесконечности Они нужны для исследования поведения ф-ции на переферии.
Опр. ф-ция f(x) имеет предел число А при x®+Ґ если " {xn} которая ®к +Ґ соответствующая ей последовательность {f(xn)}®A в этом случае мы пишем lim(x®+Ґ)f(x)=A. Совершенно аналогично с -Ґ. Опр. Будем говорить что ф-ция f(x) имеет пределом число А при x®Ґ {f(xn)} сходится к А Бесконечные пределы ф-ции
Вводятся как удобные соглашения в случае, когда конечные пределы не $-ют. Р-рим на премере: lim(x®o+)(1/x)
Очевидно не сущ-ет, т. к. для " {xn}®+о посл-ть {f(xn)}={1/xn}, а числ. посл-ть сводятся к +Ґ. Поэтому можно записать lim(x®o+)1/x=+Ґ что говорит о неограниченных возрастаниях предела ф-ции при приближении к 0. Аналогично с -Ґ.
Более того символы +Ґ и -Ґупотребляются в качестве предела ф-ции в данной т-ке лишь условно и означают например, что если {xn}®x0 то {f(xn)}®±Ґ, Ґ 12. Два замечательных предела 1) lim(x®0)sin/x=1
2) Явл. обобщением известного предела о посл-ти. Справедливо сл. предельное соотношение: lim(n®Ґ)(1+1/n)^n=e (1) lim(n®0)(1+x)^1/x=e (2)
t=1/x => при х®0 t®Ґ из предела (2) => lim(x®Ґ) (1+1/x)^x=e (3) Док-во 1)x®+Ґ n x: n=[x] => nЈx 1/(n+1)

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^nЈ(1+1/n)^xЈ (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+Ґ, n®Ґ)
lim(n®Ґ)(1+1/(n+1))=lim(n®Ґ)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®Ґ)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®Ґ)1/(1+1/(n+1))=e lim(n®Ґ)(1+1/n)^n+1= lim(n®Ґ)(1+1/n)^n* lim(n®Ґ)(1+1/n)=e*1=e 2) x®-Ґ. Сведем эту ситуацию к пред. Случаю путем замены переменной y=-x => y®+Ґ, при x®-Ґ. lim(x®-Ґ)(1+1/x)^x=lim(y®+Ґ)(1-1/y)^-y= lim(y®+Ґ)((y-1)/y)^y=lim(y®+Ґ)(1+1/(y-1))^y=e 3) Пусть x®Ґпроизвольным образом это означает при любом любом выборе посл-ти xn сходящихся ꮥ мы должны иметь в силу (3) соотношение lim(x®Ґ)(1+1/xn)^xn=e (5) Условие 5~3, т. е расшифровка 3 на языке посл-ти. Выделим из посл-ти xn 2 подпосл-ти: {x‘n}®+Ґ,
{x‘‘n}®-Ґ. Для каждой посл-ти по доказанному в п. 1 и п. 2 справедливо предельное соотношение 5 если заменить xn®x‘nx‘‘n. По т-ме о связи 13. Б/м ф-ции и их сравнения
Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции. б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т. е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С: Ѕj(х)ЅЈС)=> j(х)a(х)®0 при х®х0 Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие: 1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b. 2) Если a(х)/b(х)®A№0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка. 3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0. 4) Если a(х)/b^n(х)®А№0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х). Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-Ґ, х®+Ґ и х®Ґ. 14. Непрерывные ф-ции. Непрерывность.
Опр. f(x) непрерывны Х0 и при этом ее предел в этой т-ке сущ-ет и равен знач. ф-ции в этой т-ке, т. е. lim(x®x0)f(x)=f(x0)-непрерывность ф-ции в т-ке. Из определения вытекает что в случае непрерывности ф-ции в данной т-ке вычитание пределов сводится к вычит. знач. ф-ции в данной т-ке. Равенство lim(x®x0)x=x0 (1‘). Т. е знак предела у непрерывной ф-ции можно вносить в аргумент ф-ции. Геометрически непрерывность ф-ции в т-ке х0 означает что ее график в этой т-ке не имеет разрыва. Если обозначить черезDу приращение ф-ции, т. е. Dу=f(x0+Dx)-f(x0) (приращение ф-ции в т. х0). “D” - символ приращения. Приращение аргумента в т-ке х0 это соответствует тому, что текущая т. х, то условие непрерывности в т-ке х0 записывается сл. образом lim(Dx®0)Dy=0~ Dу®0 (1‘‘). Если в т-ке х0 ф-ция непрерывна, то приращение ф-ции ®0 приращение аргумента. f(x) непрерывна в т-ке х0 Dy®0 при Dх®0.

Если понятие предела приводит к понятию непр. Ф-ции то понятие одностороннего предела приводит к понятию односторонней непр. точки.
Опр. Если f(x) имеет предел справа в т-ке х0(=f(x0+)) и этот предел равен значению ф-ции ф-ции в т-ке х0, т. е. f(x0+)=lim(x®x0, x>x0)f(x)=f(x0), то ф-ция f(x) наз-ся непр. справа в т-ке х0. Аналогично при вып-нии усл. f(x0-)=lim(x®x0, x
Опр. Ф-ция f(x) непрерывна на некотором пр-ке D, если в каждой т-ке этого пр-ка при этом, если пр-ток D содержит граничную т-ку, то будем подразумевать соотв. одностор. непр. ф-ции в этой т-ке. Пример Р-рим степенную производст. ф-цию
Q=f(k)=k^1/2 Q-объем выпуска продукции, к – объем капитала. D(f)=R+=>f(0)=0 и очевидно f(0+) $и равно 0 => что данная ф-ция непр. на своей обл. опр-ния. Большинство ф-ций исп-мых в эк-ке непр. Например непр. ф-ции означает, что при малом изменении капитала мало будет меняться и выпуск пр-ции (DQ®0 при Dk®0). Ф-ции которые не явл. непр. наз-ют разрывными соотв. т-ки в которых ф-ция не явл. непр. наз-ся т-кой разрыва Классификация т-ки разрыва Непр. ф-ции на пр-ке Теорема ВЕЙЕРШТРАССА 15. Классификация т-ки разрыва
Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода.
а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но № f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р-рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f.
б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)№f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода. При исслед. Ф-ции на непр. классификации возможных т-к р-рыва нужно применять во внимание сл. замечания:
1) Все элементарные ф-ции непрер. во внутренних т-ках своих областей определения => при исл. элементарных ф-ций нужно обращать внимание на гранич. т-ки обл-ти опр-ния.
2) Если ф-ция задана кусочно, т. е. различными соотношениями на частях своей обл. опр. , то подозрительными на разрыв явл. граничные т-ки частей обл-ти опр. 3) Св-ва непр. ф-ций. Многие св-ва непр. ф-ций легко понять опираясь на их геометр. св-ва:
график непр. ф-ции на пр-ке D представляет сплошную(без р-рывов) кривую на пл-тях и след-но может отображена без отрыва ручки от бумаги. I) Ф-ция непр. в т-ке х0 обязательно ограничена в окрестностях этой т-ки. (св-во локал. огранич-ти)
Док-во использует опр-ние на языке e и d. Если f непр. в т-ке х0 то взяв любое e>0 можно найти d>0 Ѕf(x)-f(x0)Ѕ CО(A, B) $ cО(a, b): f(c)=C f(c)=f(c‘)=f(c‘‘). IV)Теорема о прохожд. непр. ф-ции через 0. Если f(x) непр. на отрезке (a, b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то$ т-ка сО(a, b).

Док-воОдновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана.
Пусть f(d)№0 [a, d] или [d, b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a, d] обозначим через [a1, b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2, d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1, b1]>[a2, b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с: f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)№0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой dокрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an, bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков. Непр. ф-ции на пр-ке
f непр. в т-ке х0 => f непрер. в т-ке х0 и f(x0)№0 => f непр. на [a, b] и f(x)*f(b)=0 (f(x)*f(b)>0 в окр-ти х0) => $ сО(a, b). f(c)=0 сл-но 2 св-ва непр. ф-ции на отрезке обоснованны. Т-ма1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a, b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т. е. $ с>0: Ѕf(x)ЅЈc "xО(a, b).
Т-ма 2( о $экстр. непр. ф-ции на отр. ). Если f(x) непр. на [a, b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т. е. $ т-ка max X*: f(x*)іf(x) "xО[a, b], т-ка min X_: f(x_)Јf(x) "xО[a, b]. Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки Контрпример 1. f(x)=1/2 на (0; 1] ® f – неогр. на (0; 1] хотя и непрерывны. Контрпример 2. f(x)=x; на (0; 1) f(x) – непр. inf(xО(0; 1))x=0, но т-ки x_О(0; 1): f(x_)=0, т-ки x*, хотя sup(xО(0; 1))x=1 Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a, b], разделим его, т. е. тогда отрезки [a; c][c; b] f(x) неогр. Обозн. [a1, b1] и педелим отрез. [a2, b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an; bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a, b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an, bn], но с др. стороны f непр. на [a, b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an; bn] с достаточно большим 0.
Док-во т-мы 2. Обозначим E(f) –множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a, b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хО[a, b])=M(-Ґ). Для опр. докажем [a, b] f(x) достигает макс. на [a, b], т. е. $ х*: f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $ и сл-но f(x)0

! 0 1Јc(M-f(x)) => f(x) ЈM-1/c "xО[a, b] Однако это нер-во противор. , т. к. М-точная верхн. грань f на [a, b] а в правой части стоит “C”

Следствие: если f(x) непр. [a, b]тогда она принимает все знач. заключ. Между ее max и min, т. е. E(f)=[m; M], где m и M–max и min f на отрезке. Дифференцирование ф-ций Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.
Теорема Ферма Теорема Ролля Теорема Логранджа Теорема Коши Правило Лопиталя 16. Дифференцирование ф-ций
Центральная идея диффер. ф-ций явл-ся изучение гладких ф-ций (без изломов и р-рывов кривые) с помощью понятия пр-ной или с помощью линейных ф-ций y=kx+b обладает простейшими наглядн. ф-циями; у=k‘ => k>0 то у возр. при всех х, k
1) Пусть ф-ция y=f(x) определена по крайней мере в окр-тях т-ки х0, таким приращенияDх эл-нт. Составим соотв. ему приращения ф-ции т-ки х0. Dy=Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) Образуем разностное отношение Dy/Dx=Df(x0)/Dx (1) (это разностное отношение явл. ф-цией Dх, т. к. х0-фиксирована, причем при Dх®0 мы имеем дело с неопр. 0/0). Опр. Пр-ной ф-ции y=f(x) наз-ся предел разностного отношения 1 (при условии если он$), когда Dх®0. Производная это предел отношения приращения в данной т-ке к приращению аргумента при усл. , что посл-ть® к 0. Эта производная обозначается через df(x0)/dx или f‘(x0), у‘(если данная т-ка х0 подразумевается или же речь идет о пр-ной в любой текущей т-ке х. Итак согласно определению f‘(x0)=lim(Dx®0) (f(x0+Dx)-f(x0))/Dx (2) Если ф-ция f(x) имеет в т-ке х0 пр-ную, т. е. предел в правой части (2) $, то говорят что f(x) дифференц. в т-ке х0. 2) Непрерывность и дифференцируемость
Т-ма. Если ф-ция f(x) дифференц. в т-ке х0 то она непрерывна в этой т-ке, причем имеет место разложенияDf в т-ке х0 Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)= f‘(x0)Dx+a(Dx)Dx (3), где a(Dx)-б/м ф-ия при Dх®0 Док-во. Заметим, что разложение (3) верно, что из него сразу следует что при Dх®0 Df(x0)®0, => в т-ке х0 ф-ция непр. Поэтому осталось док-ть рав-во (3). Если пр-ная $ то из определения (2) и связи предела с б/м =>, что $ б/м ф-ция a(Dх) такая что Df(x0)/Dx=f‘(x0)+a(Dx) отсюда рав-во (3) пол-ся умножением на Dx. Примеры.
1)Пр-ная постоянная и ф-ция равна 0, т. е. y=c=const "x, тогда y‘=0 для "х. В этом случае Dy/Dx числитель всегда равен пустому мн-ву, сл-но это отношение равно 0, => значит эго отн-ние = 0.
2)Пр-ная степенной ф-ции, у=х^k, y‘=kx^(k-1) " kОN. Док-м для к=0 исходя из опр-ния пр-ной. Возьмем " т-ку х и дадим приращение Dх составим разностное отношение Dу/Dх=(х+Dх)^2-x^2/Dx=2х+ Dх => lim(Dx®0)Dy/Dx=2x=y‘. В дейст-ти док-ная ф-ла р-раняется для любых к. 3)Пр-ная экспон-ной ф-ции, у=е^x => y‘=e^x. В данном случае Dy/Dx=(e^x+Dx-e^x)/Dx=e^x(e^Dx-1)/ Dx. Одеако предел дробного сомножителя = 1. 4)y=f(x)=ЅxЅ=(x, x>0; -x, x0 y‘=-1 при x0 Dy/Dx=Dx/Dx=1=>lim(Dx®0, Dx>0)Dy/Dx=1 А левый предел разн-го отн-ния будет –1. Т. к. одностор. пред. Не совпадают пр-ная не $. В данном случае $ одностор. пр-ная. Опр. Правой(левой) пр-ной ф-ции в т-ке х0, наз-ся lim отношения (2) при усл. что Dх®0+(Dх®0-). Из связи вытекает утвержд. , если f(x) дифференц. в т-ке х0, то ее одностор. пр-ная также$ и не совпадает f‘(x0-) и f‘(x0+) обратно для $ пр-ной f‘(x0) необходимо, чтобы прав. и лев. пр-ные совпад. между собой. В этом случае они не совпад. 17. Пр-ные и дифференциалы выс. Порядков.

Пр-ная f‘(x) – первого порядка; f‘‘(x) – второго; f‘‘‘(x)-третьего; fn(x)=(f(n-1)(x))‘. Пр-ные начиная со второй наз-ся пр-ными выс. порядка. Дифференциал выс. порядков
dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т. е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.
Теорема Ферма. Пусть ф-ция f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой т-ке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее знач. Тогда если в т-ке х0$ пр-ная, то она = 0, f‘(x0)=0. 2)Теорема Ролля. Пусть на отрезке [a, b] определена ф-ция f(x) причем: f(x) непрерывна на [a, b]; f(x) диф. на (a, b); f(a)=f(b). Тогда$ т-ка сО(a, b), в которой f‘(c)=0. 3)Теорема Логранджа. Пусть на отрезке [a, b] определена f(x), причем: f(x) непр. на [a, b]; f(x) диф. на [a, b]. Тогда$ т-ка cО(a, b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/b-a= f‘(c). 4)Теорема Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непр. на [a, b] и диф. на (a, b). Пусть кроме того, g`(x)№0. Тогда $ т-ка сО(a, b) такая, что справедл. ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c). Правило Лопиталя.
Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный. Раскрытие Ґ/Ґ. Второе правило.
Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=Ґ, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®Ґ, x®-Ґ, x®+Ґ, x®a-, x®a+. Неопред-ти вида 0Ґ, Ґ-Ґ, 0^0, 1^Ґ, Ґ^0.
Неопр. 0Ґ, Ґ-Ґ сводятся к 0/0 и Ґ/Ґ путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^Ґ, Ґ^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0 Выпуклые и вогнутые ф-ции Т-ки перегиба Выпуклость и вогнутость. Б/б пол-ти Гладкая ф-ция Эластичность ф-ций Выпуклые и вогнутые ф-ции
Для хар-ки скорости возр. или убыв. ф-ции, а также крутезны гр-ка ф-ции на участке монотонности вводится понятия вогн. вып-ти ф-ции на интервале, частности на всей числ. приямой.
Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой ф-ции имеет сл. вид у f(x) возр. для x>0. На инт. От (0, a) ф-ция возр. все быстрее. Его можно р-ривать, как этап образования фирмы вначале которого выпуск растет медленно, поскольку первые рабочие не прошли период адаптации, но с теч. времени эффект привл. доп. раб. рабочих становится все больше, и соотв. ув-ся крутизна графика. На (Ґ, a) ф-ция возр. все медл. и гр. становится все более пологой. а –это пороговое знач. числ. раб. силы начиная с которого привл. доп. раб. силы начиная с которого привл. раб. силы дает все меньший эффект в объемке вып-ка. А(х) возр. f‘(x)>0 $xі0, но на интервале от 0 до а (0; а) f‘(x) возр. в то время как (0; Ґ) f‘ убыв. , а в т-ке а-max. По критерию монотонности это означает на (0; а) f‘‘(x)і0 (f-выпукла), а на (a; Ґ) f‘‘(x)Ј0 (f-вогнута). Опр. Пусть f(x) дважды диф. ф-ция на (a, b), тогда:
1)назовем ф-цию f(x) выпуклой(вогн) на интервале (a, b), если 2-я пр-ная не отриц, т. е. f‘‘(x)і0 (f‘‘(x)Ј0) на (a, b)
2)Если в пункте 1 вып-ся строгие нер-ва 2-й пр-ной, то ф-ция наз-ся строго выпуклой(вогнутой) на интервале (a, b) Т-ки перегиба
Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум. Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т-ки графика по разные стороны. Выпуклость и вогнутость.
Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a, b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции.
y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) –линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)іf(x0)+ f‘(x0)(x-x0) " x, x0О(a; b) f вогнута на (а, b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн. ) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой. Б/б пол-ти
Посл-ть {xn} наз-ся б/б, если для " пол-ного числа А $ номер N такой, что при n>N вып-ся нер-во ЅxnЅ>A Возьмем любое число А>0. Из неравенства ЅxnЅ=ЅnЅ>A получаем n>A. Если взять NіА, то " n>N вып-ся ЅxnЅ>A, т. е. посл-ть {xn} б/б. Замечание. Любая б/б посл-ть явл. неограниченной. Однако неогранич. Посл-ть может и не быть б/б. Например 1, 2, 1, 3, 1, …, 1, n… не явл. б/б поскольку при А>0 нер-воЅxnЅ>A не имеет места " xn с нечет. номерами. Гладкая ф-ция
Сл. ф-ция f(x) тоже явл. гладкой, т. е. f‘ $ и непрерывна причем имеет место сл. ф-ла F‘(x)=f‘(j(x))*j‘(x) (4). Используя ф-лу (4) получаем y‘=(lnf(a))‘=f‘(x)/f(x) (5) – логарифмической пр-ной. Правая часть это скорость изменения у (ф-ция f(x)) приходится на ед-цу абсол. значения этого пок-ля поэтому логарифм. Произв. наз-ют темпом прироста показателя y или f(x). Пусть известна динамика изменения цены на некотором интервале, причем P(t) гладкая ф-ция. Что можно назвать темпом роста этой ф-ции, при t=R. Темп роста№приросту.
Пр-р y=e^ax. Найдем темп прироста. f‘/f=темп прироста=ae^ax/e^ax=a. Экспонициальная ф-ция имеет постоянный темп прироста. Эластичность ф-ций
Опр. Пусть гладкая ф-ция y=f(x) описывает изменение экономической переменной у от эк. пер. х. Допустим f(x)>0 => имеет смысллог. пр-ная. Эл-ностью ф-ции f(x) или у наз-ся сл-щая вел-на опред-мая с помощью лог. пр-ной.
Ef(x)=x*f‘(x)/f(x)=x(lnf(x))‘(6). Выясним эк. смысл этого показателя для этого заменим в (6) пр-ную ее разностным отношениемDf(x0)/Dx и будем иметь Ef(x)»x(Df(x)/Dx)/f(x)=(Df(x)/f(x))/(Dx/x). В числителе стоит относит. Прирост ф-ции f в т-ке x, в знаменателе относ. прир. аргумента. => эл-ность ф-ции показывает на сколько % изменяется пок-ль y=f(x) при изменении перем. х на 1%. Эластичность– пок-ль реакции 1-й переменной на изменение другой. Пр-р. р-рим ф-цию спроса от цены, пусть D=f(p)=-aP+b – линейная ф-ция спроса, где а>0. Найдем эластичность спроса по цене. Ed(P)=P*D‘/D=P*(-a)/(-aP+b)=aP/(aP-b)=> эл-ность линейной ф-ции не постоянна Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций Т-ма Ферма Т-ма Коши Интервалы монотонности ф-ции
Т-ма Логранджа. Т-ма Ролля Т-ма Тейлора Т-ма Коши Правило Лопиталя. Производная обратной ф-ции Применение 1й пр-ной в исслед. ф-ций
Все применения базируются на опред-нии пр-ной, как предела разностного отношения, а также на сл-щей т-ме.
Т-ма Ферма. Если диф. на интервале (a, b) f(x) имеет в т-ке ч0 локальный экстремум, то пр-ная этой ф-ции обращается в 0, т. е. f‘(x0)=0 (8). Это необходимое усл. локал. экстр. , но недостаточное. Опр. Все т-ки в которых пр-ная ф-ции f(x) обращается в 0 наз-ся крит. т-ми f(x). Из т-мы Ферма => экстремум надо искать только через крит. т-ки. Т-ма Коши. Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны на [a, b] и диф. на (a, b). Пусть кроме того, g‘(x)№0, тогда $ т-ка cО(a, b) такая, что справедлива ф-ла (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f‘(c)/g‘(c) Интервалы монотонности ф-ции
Т-ма. Пусть f(x) диффер. На интервале (a, b), тогда справедливы сл. утверждения f(x) монотонно возр. (убывает) на интервале (a, b) тогда, когда f‘(x)і0 на интервале (a, b) и f‘(x)>0 (f‘(x) при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С “алгоритм” выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a, b) не запрещены. Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа. (f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1)

Док-восводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)* (x-a) Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a, b] А)Непрерывна на [a, b] Б) Дифференц. на (a, b) В) g(a)=g(b)=0
Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a, b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений. Т-ма Ролля. Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл. А)Непрерывна на [a, b] Б) Дифференц. на (a, b)
В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a, b) $ т-ка такая что f‘(c)=0, т. е. с-крит. т-ка. Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a, b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x О (a, b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f№const на [a, b], т. к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сО(a, b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть. Т-ма Тейлора. “О приближении гладкой ф-ци к полиномам”
Опр. Пусть ф-ция f(x) имеет в т-ке а и некоторой ее окрестности пр-ные порядка n+1. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, х№а. Тогда между т-ми а и х надутся т-ка e такая, что справедлива ф-ла Тейлора. f(x)=f(a)+f‘(a)/1! (x+a)+ f‘‘(a)/2! (x+a)^2+f^(n)(а)/n! +f^(n+1)(e)/(n+1)! (x-a)^(n+1). Док-во. Сводится к Роллю путем введения вспом. переменной g(x). g(x)=f(x)-f(a)-f‘(x)(x-a)-…-1/n! *f^n(x)(x-a)^n-1/(n+1)! (x-a)^n+1*l. По т-ме Роляя $ т-ка с из (a, b), такая что g(c)=0 l=f^(n+1)(c) Правило Лопиталя.
Пусть ф-ция f(x) и g(x) имеет в окр. т-ки х0 пр-ные f‘ и g‘ исключая возможность саму эту т-ку х0. Пусть lim(х®Dх )=lim(x®Dx)g(x)=0 так что f(x)/g(x) при x®x0 дает 0/0. lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) $ (4), когда он совпадает с пределом отношения ф-ции lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x®x0)f‘(x)/g‘(x) (5) Док-во.
Возьмем " т-ку х>х0 и рассмотрим на [x0; x] вспом ф-цию арг. t h(t)=f(t)-Ag(t), если tО[x0; x], т. к. удовл. этому св-ву в окр-ти т-ки х0, а т-ку х мы считаем достаточно близкой к х0. Ф-ция h непрерывна на [x0; x], поскольку lim(t®x0)h(t)=lim(t®x0)[f(t)-Ag(t)]=lim(t®x0)-A lim(t®x0)g(t)=0=h(0)=> непр. t=x0 По т-ме Логранджа (x0, x)$ c: h‘‘(c)=0 Производная обратной ф-ции
Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции. Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)№0.
Пусть Dу№0 – приращение независимой переменной у и Dх – соответствующее приращение обратной ф-ции x=j(y). Напишем тождество: Dx/Dy=1: Dy/Dx (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при Dу®0 и учитывая, что при этом также Dх®0, получим: lim(Dy®0)Dx/Dy=1: lim(Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции. Производная обратной ф-ции
Т-ма. Для диф. ф-ции с пр-ной, не равной нулю, пр-ная обратной ф-ции равна обратной обратной величине пр-ной данной ф-ции. Док-во. Пусть ф-ция y=f(x) диф. и y‘x=f‘(x)№0.
Пусть Dу№0 – приращение независимой переменной у и Dх – соответствующее приращение обратной ф-ции x=j(y). Напишем тождество: Dx/Dy=1: Dy/Dx (2) Переходя к пределу в рав-ве (2) при Dу®0 и учитывая, что при этом также Dх®0, получим: lim(Dy®0)Dx/Dy=1: lim(Dx®0)Dy/Dx => x‘y=1/y‘x. Где х‘у – пр-ная обратной ф-ции. Теорема Больцано-Вейерштрасса Теорема Больцано-Коши Теорема Вейерштрасса
Теорема Больцано-Вейерштрасса Из любой огран. посл-ти можно выбрать сход. подпосл-ть. Док-во
1. Поскольку посл-ть ограничена, то $ m и M, такое что " mЈxnЈM, " n. D1=[m, M] –отрезок, в котором лежат все т-ки посл-ти. Разделим его пополам. По крайней мере в одной из половинок будет нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. D2 –та половина, где лежит бесконечное число т-к посл-ти. Делим его пополам. По краней мере в одной из половинок отр. D2 нах-ся бесконечное число т-к посл-ти. Эта половина - D3. Делим отрезок D3 … и т. д. получаем посл-ть вложенных отрезков, длинны которых стремятся к 0. Согластно о т-ме о вложенных отрезках, $ единств. т-ка С, кот. принадл. всем отрезкам D1, какую-либо т-ку Dn1. В отрезке D2 выбираю т-ку xn2, так чтобы n2>n1. В отрезке D3 … и т. д. В итоге пол-ем посл-ть xnkОDk. Теорема Больцано-Коши Пусть ф-ция непр-на на отрезке [a, b] и на концах отрезка принимает зн-ния равных знаков, тогда$ т-ка с М (a, b) в которой ф-ция обращается в 0. Док-во
Пусть Х – мн-во таких т-к х из отрезка [a, b], где f(x)n. Имеем посл-ть т-к xn. По т-ме Больцано-Коши из посл-ти xn можно выбрать сходящиюся подпосл-ть xnk$®x0. По т-ме о предельном переходе к неравенству. aЈxnkЈb aЈx0Јb x0О[a, b]

Если посл-ть xnk сходится к x0, то f(xnk) будет сходится f(x0) Ѕf(xnk)Ѕ>nk, a nk®ҐЮЅf(xnk)Ѕ®Ґ, т. е. f(xnk) б/б посл-ть.
С одной стороны f(xnk) стремится к опр. числу, а с др. стороны стремится к Ґ, пришли к противоречию, т. к. мы предположим, что ф-ция не ограничена. Значит наше предположение не верно.