Ввиду трудности интегрирования дифференциального уравненияупругой линии стержня часто применяют различные приближенные методы определениякритической силы. Одним из таких методов является энергетический, основанныйна исследовании изменения потенциальной энергии при переходе стержня изпрямолинейной в криволинейную форму равновесия. Поскольку критическим считается то значение сжимающей стерженьсилы, при котором равновозможны как прямолинейная, так и бесконечно близкаяк ней криволинейная формы устойчивого равновесия, то согласно рис. 8.4 формыравновесия I и II равноценны и при переходе из состояния I в состояние IIнет изменения энергии системы в этом случае безразличного равновесия, т.е. {file1233} где изменение полной потенциальной энергии системы складываетсяиз уменьшения потенциала силы Р при переходе из состояния I в состояниеII и приобретения стойкой в состоянии II потенциальной энергии изгиба. Отсюда {file1234} Потенциальная энергия деформаций при изгибе {file1235} Перемещение точки приложения силы Р {file1236} Из этих выражений получаем {file1237} Поскольку в числителе этого выражения - величина, пропорциональнаяпотенциальной энергии деформаций при изгибе, то интеграл в числителе беретсяпо всей длине изогнувшегося при потере устойчивости стержня. Если имеютсяучастки различной жесткости Е, J, то следует взять сумму интегралов по всемn участкам {file1238} В знаменателе выражения для Ркрнаходится величина, пропорциональная перемещению точки приложения нагрузки.Если на стержень действует несколько продольных сил, то следует умножитькаждую j-ю силу (Рj)на перемещение точки ее приложения) {file1239} здесь Ij- расстояние от точки приложения сжимающей силы до нижней опоры, т.е. длинасжимаемого этой силой участка; N - число I продольных сил. {file1240}
Рис. 8.4 {file1241}
Рис. 8.5 Так, например, для стержня, изображенного на рис. 8.5, балансэнергии имел бы вид: {file1242} {file1243} где n - число участков различной жесткости, здесь n = 3. Во всех этих выражениях у = f (z) - функция прогибов, которуюподбираем (поэтому метод приближенный) с учетом граничных условий. Это можетбыть, например, тригонометрическое выражение, алгебраическое выражение илиполином, степень которого равна числу граничных условий. Если функция у= f(z) соответствует истинной форме изогнутой оси, то и решение будет точным. Анализируя граничные условия, следует, изобразив стерженьв деформированном после потери устойчивости состоянии, провести обязательнооси координат и относительно этих координатных осей продумать, где будутравны нулю: у - перемещение, уII- угол поворота оси стержня, уIII- кривизна, т.е. величина, пропорциональная изгибающему моменту. Последнее граничное условие (по уII) обычно вызывает наибольшие трудности. Основная идея: поскольку изгибающиймомент пропорционален кривизне оси бруса уII, то уIIравно нупю там, где равен нулю изгибающий момент, это свободные и шарнирноопертые концы стержня. Следует обратить внимание на то, что на промежуточной шарнирнойопоре в общем случае уII# 0 (так как там не равен нулю изгибающий момент).
Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
С помощью нашего сервиса Вы можете собрать свою коллекцию шпаргалок по нужному предмету, и распечатать готовые ответы в удобном для вырезания виде. Для этого начните собирать ответы, добавляя в "Мои шпаргалки".