Теорема о трех перпендикулярах

Дана плоскость{file653}и некоторая наклонная а к этой плоскости. Пусть а₁- проекция прямой а на плоскость {file653},причем наклонная а пересекает {file653}в точке О (О - основание наклонной), а значит, проекция а₁также проходит через О. Пусть b — некоторая прямая плоскости {file653},проходящая через О перпендикулярно к а₁(или а). Тогда b перпендикулярна и прямой a (или а₁).Эти утверждения составляют содержание теоремы о трех перпендикулярах (илиобратная к ней теорема). Теорема. Если прямая, проведенная на плоскостичерез основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярнаи самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярнанаклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной. Дана наклонная МО с проекцией NO и MN _|_ {file653},в частности, MN _|_ NO (рис. 63). Дано: PQ _|_ NO (т.е. PQ _|_ а₁). Надо доказать, что PQ _|_ МО (PQ _|_ а). {file654} а) Через точку О проводим прямую ОТ, перпендикулярную плоскости {file653}.Тогда ОТ || MN, т.к. и MN _|_ {file653}и ОТ _|_ {file653}. Прямые ОТ и ON образуютплоскость {file655}, и PQ перпендикулярнаэтой плоскости, ибо PQ _|_ ON и PQ _|_ ОТ. Значит, PQ _|_ ОМ, т. е. b_|_ а, т.к. ОM — прямая из плоскости {file655}. Аналогично доказывается и обратная теорема. Если b _|_ а и b _|_ ОТ,то b _|_ {file655} (проходящей через ОТи ОМ), а значит, и проекции а₁,принадлежащей этой плоскости {file655}.Теорема доказана.