Касательная плоскость к шару

Сферой радиуса R > 0 называется поверхность, все точкикоторой равноудалены от данной точки О на расстояние R. Данная точка называетсяцентром сферы. Множество всех точек пространства, расположенных на, сфере и внутринее, называется шаром. Сечение сферы с плоскостью может быть

• а) окружностью,
• б) состоять из одной точки;
• в) пустым множеством.

В случае б) плоскость называется касательной к сфере, а общая их точканазывается точкой касания. Теорема. Плоскость касается шара в том итолько и том случае, если расстояние от центра до плоскости равно радиусушара. При этом плоскость перпендикулярна радиусу в точке касания. Пусть А - проекция на плоскость {file498}центра М₀шара (рис. 27). Тогда М₀А{file499} {file498},а значит, М₀Аобозначает расстояние от М₀до {file498}. Если М₀А= R, то то точка A лежит на сфере (по определению). Следовательно, А -общая точка плоскости и сферы (шара). Для любой точки В плоскости {file498}имеем М₀В> М₀А= R, т.к. М₀Внаклонная к плоскости. Таким образом, точка В не принадлежит шару. Темсамым плоскость и шар имеют только одну общую точку А и М₀А{file499} {file498}.