Обозначения: {file393}AВС — треугольник с вершинамиА, B, С. а = BC, b = AС, с = АB — его стороны, соответственно, медиана,биссектриса, высота, проведенные к стороне а, Р - периметр, {file394} — полупериметр, R и r — радиусысоответственно описанном и вписанной окружностей. S -- площадь фигуры, d
1,d
2-— диагонали четырехугольника, {file395} — угол между прямыми a и b; {file396} — знаки, параллельности. пендикулярности,подобия соответственно. О — определение, Т — теорема. Т—1. (Признаки параллельности прямых, рис.(6). {file397} Две прямые параллельны, если:
- внутренние накрест лежащие углы равны: < 3 = < 5;
- внешние накрест лежащие УГЛЫ равны: < 1 = < 7;
- соответственные углы равны: <1 = < 5;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°:< 2 + < 5= 180°;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°:< 1 + < 6= 180°.
О-1. {file393}А
1В
1С
1',~ {file393}АВС (k - коэффициент подобия),если их стороны пропорциональны, а соотиетствепныг углы равны (рис. 7): {file398} Т—2 (признаки подобия).Два треугольника подобны, если:
- дня угла одного {file393} равныдвум углам другого {file393};
- дне стороны одного {file393} пропорциональныдвум сторонам другого {file393}, ауглы, заключенные между этими сторонами, равны;
- три стороны одного {file393} пропорциональнытрем сторонам другого {file393}.
Т—3. В подобных треугольниках пропорциональнывсе их линейные элементы (с одним и тем же k): стороны, медианы, биссектрисы,высоты, радиусы вписанных и описанных окружностей и пр. Т—4 (Фалеса). Параллельные прямые, пересекающиестороны угла, отсекают от них пропорциональные отрезки (рис. 8): {file399} Т—5. Сумма углов треугольника равна 180
°. Т—6. Три медианы треугольника пересекаютсяв одной точке, которая делит каждую медиану на части в отношении 2 : 1,считая от вершины (см. рис. 9): {file400} Т—7. Средняя линия треугольника, соединяющаясередины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине(рис. 10): {file401} Т—8. Биссектриса внутреннего угла треугольникаделит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: BD : СD = АВ : AС (см. рис. 11). {file402} Т—9. Вписанный угол (образованный двумя хордами,исходящими и:> одной. точки окружности) измеряется половиной дуги,на которую он,опирается (рис. 12): {file403} Т-10. Центральный угол, образованный двумярадиусами окружности, измеряется дугой, на которую он опирается (см. рис.12): {file404} Т—11. Угол между касательной и хордой, проведеннойчерез точку касания, измеряется половиной дуги, заключенной между егосторонами (рис. 13): {file405} Т—12. Угол между двумя секущими с вершинойвне окружности измеряется полуразностыо двух дуг, заключенных между егосторонами (рис. 14): {file406} Т—13. Касательные, проведенные к окружностииз общей точки, расположенной вне окружности, равны: В А = ВС. Угол междудвумя касательными (описанный угол) измеряется полуразностыо большей,и меньшей дуг, заключенных между точками касания (рис. 15): {file407} Т—14. Угол между двумя хордами с вершинойвнутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых заключенамежду его сторонами, {file408} другая — между их продолжениями (рис. 16): {file409} Т—15. Если две хорды пересекаются внутрикруги, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезковдругой (см. рис. 16): АО
• ОB =СО
• OD. Т—16. Если из точки вне круга проведеныкасательная и секущая, то квадрат касательной равен произведению отрезкасекущей на ее внешнюю часть (рис. 17): {file410} Т—17. В прямоугольном треугольнике (а, b-- катеты, с — гипотенуза. h — высота, опущенная на гипотенузу, а
c,b
c— проекции катетов па гипотенузу) имеют место (рис. 18): {file411} 1. формула Пифагора: c
2= a
2+ b
2 2. формулы {file412} 3. определение тригонометрических величин (функций) острых углов: {file413} 4. формулы решения прямоугольного треугольника: {file414} 5. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежитна середине гипотенузы и {file415} Т—18 (теорема синусов). В произвольном треугольнике (рис. 19) {file416} Т-19 (теорема косинусов). В произвольном треугольнике (рис. 19): {file417} {file418} Т—20. Сумма квадратов длин диагоналей параллелограммаравна сумме квадратов длин его сторон: {file419} Т—21. Центр окружности, описанной в угол,лежит на биссектрисе этого угла. Радиус окружности перпендикулярен сторонеугла и точке касания. Центр окружности, вписанной в треугольник, находитсяв точке пересечения биссектрис углов треугольника. Т—22. Центр окружности, описанной околотреугольника, расположен в точке пересечения серединных перпендикуляровк сторонам. Т—23. В описанном около окружности четырехугольникесуммы противоположных сторон равны. В частности, если равнобочная трапецияописана около окружности, то ее средняя линия равна боковой стороне. Т—24. Во вписанном в окружность четырехугольникесуммы противоположных углов равны 180
°. Т—25. Площадь треугольника равна {file420} T—26. В правильном треугольнике со сторонойa: {file421} Т—27. В правильном n-угольнике (a
n— сторона n-угольника, R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности): {file422} Т—28. Площади подобных треугольников относятсякак квадраты сходственных сторон. О-2. Две фигуры называются равновеликими,если их площади одинаковы. Т—29. Медиана делит треугольник на две равновеликиечасти. Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. Отрезки,соединяющие точку пересечения медиан с вершинами, делят треугольник натри равновеликие части. Т—30. В произвольном треугольнике длинамедианы вычисляется следующим образом (рис. 19): {file423} Т—31. Формулы площадей четырехугольников: • квадрата со стороной a: S = a
2; • прямоугольника со сторонами н. н li: S = a • b; • параллелограмма со сторонами а и b: {file424} • ромба со стороной а и острым углом {file425}между сторонами: {file426} • трапеции с основаниями a и b: {file427} • выпуклого четырехугольника: {file428} Т-32. Другие формулы: • площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r: S = p
• r; • площадь круга радиуса R: {file429} • площадь сектора раствора {file425}
°({file430} рaд): {file431} • длина окружности радиуса R: {file432} • длина дуги и {file425}
°или {file430} рад: {file433}