Основные сведения из стереометрии

1. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярнойплоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей и этой плоскости. 2. Дана плоскость{file434} , прямаяa € {file434}, прямая b, пересекающая {file434}, ипусть с - проекция прямой b на плоскость {file434}.Eсли b{file435}a, то с {file435}a. Обратно, если с {file435} a, то b {file435}а (теорема о трех перпендикулярах) (рис. 20). {file436} 3. Даны две плоскости {file437} и {file438},пересекающиеся по прямой a. Пусть b₁- прямая. лежащая в {file437} , и b₁{file435}{file438}; b₂ - прямая, лежащая в {file438}, и b₂{file435}{file437}.Тогда угол между {file437} и {file438}определяется как угол между b₁и b₂. {file439} (рис. 21). Если {file440} {file441} 4. Две прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются ино лежат в одной плоскости. Расстоянием между ними называется длина, ихобщего перпендикуляра, равного расстоянию между параллельными плоскостями,проходящими через эти прямые. Угол между скрещивающимися прямыми равенуглу между пересекающимися параллельными им прямыми (рис. 22). {file442} 5. Элементы призмы (рис. 23): параллельные основания (многоугольники),параллельные боковые ребра, боковые грани — параллелограммы, высота —расстояние между основаниями. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярныоснованиям. Правильная призма — это прямая призма, основания которой —правильные многоугольники. Объем призмы V = S_осн• Н Площадь боковой поверхности S_бок= S_осн• H_бок.гр Площадь полной поверхности S_n= S_бок+ 2 • S_осн. Четырехугольная призма называется параллелепипедом, а если у него квадратныеграни, то это куб. 6. Элементы пирамиды (рис. 24): основание - многоугольник, боковые ребра- отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, боковыеграни — треугольники. У правильной пирамиды основание - правильный многоугольник,боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота боковой грани называетсяапофермой. {file443} Треугольная пирамида называется тетраэдром. Тетраэдр, все грани которого — правильные треугольники, называется правильным. a) Если все боковые ребра пирамиды образуют с основанием ранные углыили если все боковые ребра равны, то высота пирамиды проходит через центрокружности, описанной около основания. b) Коли все двугранные углы при основании равны а. то высота пирамидыприходит через центр окружности, вписанной в основание, и {file444} c) Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то: • получится новый многогранник — усеченная пирамида; • боковые ребра пирамиды и высота разделятся на пропорциональные части; • в сечении получится многоугольник, подобный основанию; • площадь сечения и площадь основания относятся как квадраты их расстояниидо вершины пирамиды. Объем пирамиды {file445} Объем усеченной пирамиды {file446} 7. Элементы прямого кругового цилиндра: основание — круг радиуса R,образующая — отрезок, соединяющий две точки окружностей оснований и перпендикулярныйоснованиям. Объем, площадь боковой и полной поверхностей цилиндра вычисляютсяпо формулам: {file447} 8. Элементы прямого кругового конуса: основание — круг радиуса R, образующая— отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания (L— длина образующей). {file448} Объем усеченного конуса {file449} Площадь боковой поверхности усеченного конуса (L — образующая усеченногоконуса) {file450} 9. Объем тара радиуса R равен {file451} Площадь поверхности шара {file452}