Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства

Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действи-тельных чисел. На этом множестве введем две опера-ции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются. Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.Составим линейную комбинацию:система n векторов – линейно-зависима.Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая си-стема n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=nСистема этих n линейно-независимых векторов называ-ется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.Такое представление называется разложение  по базису, а числа  называют координатами вектора.Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.