Тест статьи


Тест статьи

$S = 6 \cdot \sqrt {5 \cdot 8} = 37,95 см²$.

Сначала рассмотрим разницу между понятиями признак, свойство и аксиома.

Замечание 1

Замечание

Определение 1

Признаком называют некий факт, по которому можно определить истинность суждения об интересующем объекте.

Пример 1

Прямые являются параллельными, если их секущая образует равные накрест лежащие углы.

Определение 2

Свойство формулируется в том случае, когда есть уверенность в справедливости суждения.

Пример 2

При параллельных прямых их секущая образует равные накрест лежащие углы.

Определение 3

Аксиомой называют такое утверждение, которое не требует доказательства и принимается как истина без него.

Каждая наука имеет аксиомы, на которых строятся последующие суждения и их доказательства.

Аксиома параллельных прямых

Иногда аксиому параллельных прямых принимают в качестве одного из свойств параллельных прямых, но вместе с тем на ее справедливости строят другие геометрические доказательства.

Теорема 1

Через точку, которая не лежит на заданной прямой, на плоскости можно провести лишь одну прямую, которая будет параллельной заданной.



Рисунок 1.

Аксиома доказательства не требует.

Свойства параллельных прямых

Теорема 2

Свойство1. Свойство транзитивности параллельности прямых:

Когда одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей, то и вторая прямая будет ей параллельна.

Свойства требуют доказательств.

Доказательство:

Пусть имеются две параллельные прямые $a$ и $b$. Прямая $с$ параллельна прямой $а$. Проверим, будет ли в таком случае прямая $с$ параллельна и прямой $b$.



Рисунок 2.

Для доказательства будем пользоваться противоположным суждением:

Представим, что возможен такой вариант, при котором прямая $c$ параллельна одной из прямых, например, прямой $a$, а другую – прямую $b$ – пересекает в некоторой точке $K$.



Рисунок 3.

Получаем противоречие согласно аксиоме параллельных прямых. Получается ситуация, при которой в одной точке пересекаются две прямые, к тому же параллельные одной и той же прямой $a$. Такая ситуация невозможна, следовательно, прямые $b$ и $c$ пересекаться не могут.

Таким образом, доказано, что если одна из двух параллельных прямых является параллельной третьей прямой, то и вторая прямая параллельна третьей прямой.

Теорема 3

Свойство 2.

Если одна из двух параллельных прямых пересекается третьей, то ею будет пересекаться и вторая прямая.

Доказательство:

Пусть имеются две параллельные прямые $а$ и $b$. Также пусть имеется некоторая прямая $с$, которая пересекает одну из параллельных прямых, например, прямую $а$. Необходимо показать, что прямая $с$ пересекает и вторую прямую – прямую $b$.



Рисунок 4.

Построим доказательство методом от противного.

Представим, что прямая $с$ не пересекает прямую $b$. Тогда через точку $К$ проходят две прямые $а$ и $с$, которые не пересекают прямую $b$, т. е. являются параллельными ей. Но такая ситуация противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, предположение было неверным и прямая $с$ пересечет прямую $b$.



Рисунок 5.

Теорема доказана.

Свойства углов, которые образуют две параллельные прямые и секущая: накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, * сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$.



Рисунок 6.

Пример 3

Даны две параллельные прямые и третья прямая, перпендикулярная одно из них. Доказать, что эта прямая перпендикулярна и другой из параллельных прямых.

Доказательство.

Пусть имеем прямые $а \parallel b$ и $с \perp а$.

Поскольку прямая $с$ пересекает прямую $а$, то согласно свойству параллельных прямых она будет пересекать и прямую $b$.

Секущая $с$, пересекая параллельные прямые $а$ и $b$, образует с ними равные внутренние накрест лежащие углы.

Т.к. $с \perp а$, то углы будут по $90^{\circ}$.

Следовательно, $с \perp b$.

Доказательство завершено.

  • 1
  1. 3


Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
С помощью нашего сервиса Вы можете собрать свою коллекцию шпаргалок по нужному предмету, и распечатать готовые ответы в удобном для вырезания виде. Для этого начните собирать ответы, добавляя в "Мои шпаргалки".

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :