Реферат по предмету "Математика, физика, астрономия"


Сферическая астрономия и кватернионы


Ось мира и отвесная линия задают плоскость небесного меридиана.


В этой плоскости расположены направления на полюса мира, зенит, надир, и, кроме того, выделяют ещё четыре направления: на север и юг, а также наивысшую и наинизшую точки небесного экватора.


Направления на север и юг перпендикулярны отвесной линии, при этом направление на север ближе (в угловой мере) к Северному полюсу мира, чем к Южному полюсу.


Направления на наивысшую и наинизшую точку небесного экватора перпендикулярны оси мира, при этом направление на наивысшую точку экватора ближе (в угловой мере) к зениту, чем к надиру.


3. Горизонтальная система координат.


Любое произвольное направление задаём кватернионом:


q = sinθ′ · cosφ′ · i + sinθ′ · sinφ′ · j + cosθ′ · k,


Теперь определимся с направлениями i, j, k, составляющими правую тройку.


Пусть k = kг - направление на зенит, тогда θ′ - угол между направлениями на зенит и на светило, иначе говоря, это зенитное расстояние светила. Астрономы обозначают его буквой z.


Итак θ′ = z.


Отсюда z = 0° - направление на зенит,


z = 180° - направление на надир.


Множество направлений, удовлетворяющих условию z = 90° задаёт плоскость математического горизонта.


Во всех остальных случаях условие z = const задаёт тот или иной альмукантарAт.


Наконец, вместо зенитного расстояния, z, нередко применяется высота светила, h, которая удовлетворяет условию


h + z = 90°,


таким образом, высота отсчитывается не от Северного полюса мира, а от математического горизонта.


В частности, для математического горизонта h = 0°.


Если h>0°, то светило находится над математическим горизонтом, h < 0°, наоборот, под горизонтом.


Примем, что i = iг задаёт направление на юг. Тогда при z = 90° и φ′ = 0°, φ′ = 90°, φ′ = 180°, φ′ = 270° получим направления на юг, на восток, на север и на запад соответственно, лежащие в плоскости математического горизонта.


Однако, в астрономии принято обратное направление возрастания величины углов в плоскости математического горизонта, а именно, углы возрастают от точки юга по направлению движения небесной сферы, т.е. к западу.


Поэтому следует положить φ′ = - А; угол А называется азимутом.


Тогда направление на светило в горизонтальной системе координат будет задаваться кватернионом:


q = sinz · cosA · iг - sinz · sinA · jг + cosz · kг.


Плоскость небесного меридиана содержит все направления, удовлетворяющие условиям А = 0° и А = 180°.


Множество направлений, удовлетворяющих условию А = const, называется вертикалом или кругом высоты.


Плоскость первого вертикала содержит все направления, удовлетворяющие условиям А = 90° и А = 270°.


4. Первая экваториальная система координат.


Она вводится аналогично горизонтальной системе координат.


Снова определимся с направлениями i, j, k, составляющими правую тройку.


Пусть k = kэ - направление на Северный полюс мира, тогда θ′ - угол между направлениями на Северный полюс мира и на светило, иначе говоря, это полярное расстояние светила.


Астрономы редко пользуются полярным расстоянием, вместо него они предпочитают склонение δ, которое аналогично высоте h в горизонтальной системе координат:


δ + θ′ = 90°.


Множество направлений, удовлетворяющих условию θ′ = 90° или δ = 0°, задаёт плоскость небесного экватора. Теперь понятно, что склонение, - это угол, отсчитываемый от небесного экватора, и, следовательно, является аналогом географической широты.


Поэтому δ = +90° - направление на Северный полюс мира,


δ = -90° - направление на Южный полюс мира.


Во всех остальных случаях условие δ = const задаёт небесные параллели.


Условие δ>0°, означает, что светило находится в Северном полушарии неба, а условие δ < 0°, наоборот, - в Южном полушарии неба.


Примем, что i = iэ задаёт направление на наивысшую точку экватора. Тогда при δ = 0° и φ′ = 0°, φ′ = 90°, φ′ = 180°, φ′ = 270° получим направления на наивысшую точку экватора, на восток, на наинизшую точку экватора и на запад соответственно, лежащие в плоскости небесного экватора.


Однако, в астрономии принято обратное направление возрастания величины углов в плоскости небесного экватора, а именно, углы возрастают от точки наивысшей точки экватора по направлению движения небесной сферы, т.е. к западу.


Поэтому следует положить φ′ = - t. Угол t называют часовым углом.


Тогда направление на светило в первой экваториальной системе координат будет задаваться, после замен θ′ = 90° - δ и φ′ = - t кватернионом:


q = cosδ· cost · iэ- cosδ· sint · jэ+ sinδ· kэ.


Плоскость небесного меридиана содержит все направления, удовлетворяющие условиям t = 0° и t = 180° или что, то же самое, t = 0h и t = 12h (часовой угол традиционно измеряется в часовой мере, 12h - 12 часов).


Плоскость первого вертикала содержит все направления, удовлетворяющие условиям t = 6h и t = 18h .


Наконец, множество направлений, удовлетворяющих условию t = const, называется кругом склонений.


5. Высота Северного полюса мира над горизонтом численно равна географической широте.


Ось Земли и ось мира параллельны (или совпадают, если наблюдатель находится на полюсе Земли).


Почему?


Из классической механики известно, что:


1. Вращение характеризуются вектором угловой скорости. Длина этого вектора задаёт угловую скорость вращения, а его направление - ось вращения.


2. Все точки абсолютно твёрдого тела вращаются с одинаковой угловой скоростью, а точнее, вектор угловой скорости одинаков для любой точки абсолютно твёрдого тела. Поэтому оси, вокруг которых вращаются все точки тела, параллельны (или, в частных случаях, совпадают).


Как известно, вращающуюся вокруг своей оси Землю можно считать абсолютно твёрдым телом, поскольку она практически не деформируется в результате осевого вращения. Поэтому все точки поверхности Земли вращаются вокруг параллельных или, в частном случае, вокруг совпадающих осей.



Итак, ось Земли и ось мира параллельны.


На рисунке изображены высота полюса Северного мира над горизонтом, hсп, и географическая широта, φ, согласно их определениям.


Из рисунка следует, что высота полюса мира над горизонтом численно равна географической широте наблюдателя.


hсп = φ ,


как углы с взаимно перпендикулярными сторонами: отвесная линия перпендикулярна горизонту, а ось мира перпендикулярна земному экватору.


6. Связь между горизонтальной и первой экваториальной системой координат.


Посмотрите на рисунок, где плоскость небесного меридиана показана со стороны востока.


Если ось мира повернуть вокруг оси j, направленной из центра, т.е. от наблюдателя, в сторону востока, в положительном направлении на угол 90° - hсп = 90° - φ, то она совпадёт с отвесной линией. При этом направление из центра, т.е. от наблюдателя, к востоку не изменится.


На языке кватернионов это можно записать так:


kг = (cosα + jэ · sinα) · k э · (cosα - jэ · sinα),


jг = jэ,


Очевидно, что направление iэ тоже должно преобразовываться аналогично:


iг = (cosα + jэ · sinα) · iэ · (cosα - jэ · sinα),


здесь буквой α обозначена половина угла поворота, α = (90° - φ)/2, чтобы короче записывать формулы.


Выполним необходимые вычисления:


iг = (cosα + jэ · sinα) · iэ · (cosα - jэ · sinα) =


cos2α· i э + sinα · cosα · jэ · iэ - cosα · sinα · iэ · jэ - sin2α · jэ · iэ · jэ =


cos2α · iэ - sin2α · kэ = sinφ · iэ - cosφ · kэ


т.к. jэ · iэ = - iэ · jэ = - kэ, jэ · iэ · jэ = - jэ2 · iэ = iэ .


Аналогично


kг = cosφ · iэ + sinφ · kэ.


Выполним подстановки, и группируя подобные слагаемые, получаем:


q = sinz · cosA · iг - sinz · sinA · jг + cosz · kг =


sinz · cosA · (sinφ · iэ - cosφ · kэ) - sinz · sinA · jэ + cosz· (cosφ · iэ + sinφ · kэ) =


(cosz · cosφ + sinz · sinφ · cosA) · iэ - sinz · sinA · jэ · (cosz · sinφ - sinz · cosφ · cosA) · kэ


С другой стороны


q = cosδ · cost · iэ - cosδ · sint jэ + sinδ · kэ.


В результате получаем формулы перехода от горизонтальной системы небесных координат к первой экваториальной системе:


cosδ· cost = cosz · cosφ+ sinz · sinφ· cosA,


cosδ· sint = sinz · sinA,


sinδ= cosz · sinφ- sinz · cosφ· cosA.


Теперь обратим эти равенства, но сначала обратим равенство


kг = (cosα + jэ · sinα) · kэ · (cosα - jэ · sinα) = QkэQ*,


здесь


Q = (cosα + jэ · sinα) = (cosα + jг · sinα), т.к. jэ = j г.


Умножим обе части равенства на сопряжённые кватернионы:


Q*kгQ = Q*QkэQ*Q = kэ.


Отсюда


kэ = (cosα - jг · sinα) · kг · (cosα + jг · sinα).


jэ = jг ,


iэ = (cosα - jг · sinα) · iг · (cosα + jг · sinα).


Здесь последнее равенство получено аналогично первому.


И далее, выполняя вычисления, аналогичные приведённым выше, получим формулы перехода от первой экваториальной системы небесных координат к горизонтальной системе:


sinz · cosA = - sinδ· cosφ+ cosδ· sinφ· cost,


sinz · sinA = cosδ· sint,


cosz = sinφ· sinδ+ cosφ· cosδ· cost.


Их рассмотренных примеров понятно, что можно не вводить понятие небесной сферы, а все задачи сферической астрономии решать с привлечением кватернионов.


Список литературы


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://vestishki.ru/


Дата добавления: 28.07.2013



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.