2

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физико-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Курсовая работа

Методика обучения школьников планиметрии

с использованием объектных моделей

Выполнила студентка IV курса

физико-математического факультета

(специальность 050201.65 Математика)
Лукьяненко Оксана Александровна

Научный руководитель:

Ст. преп. кафедры дидактики физики и математики
Горев П. М.

Киров

2007

СОДЕРЖАНИЕ

• 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ 5
• • 1.1 Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике 5
  • 1.2 Объектные модели как наглядность обучении геометрии 6
  • 1.3 Классификация моделей 8
  • 1.4 Требования, предъявляемые к наглядным пособиям и правила их применения в обучении математике 10
• 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ 12
• • 2.1 Статистические модели при изучении планиметрии 13
  • • 2.1.1 Плоскостные модели 13
    • 2.1.2 Пространственные модели 14
  • 2.2 Использование динамических геометрических моделей 22
  • • 2.2.1 Подвижные геометрические модели 22
    • 2.2.2 Геометрический конструктор 29
    • 2.2.3 Конструирование фигур из бумаги 34
  • 2.3 Изготовление моделей 42
  • 2.4 Применение моделей на этапах урока 43
  • 2.5 Недостатки использования моделей 48
  • 2.6 Опытное преподавание 49
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ 57
• БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 58
• ВВЕДЕНИЕ
• Одним из важных предметов курса математики является геометрия. В процессе изучения у учащихся должны сформироваться глубокие и прочные знания предмета, а также умения осмысленно их применять. Однако опыт работы учителей математики показывает, что качество геометрических знаний и умений учащихся основной школы остается невысоким. Это объясняется тем, что геометрия по сравнению с другими дисциплинами математического цикла является относительно сложным предметом, на ее изучение традиционно отводится небольшое количество времени. И поэтому существует проблема: как в таких условиях обеспечить высокий уровень знаний учащихся. Одним из направлений решения данной проблемы является эффективное использование объектных моделей на уроках изучения планиметрии. Однако наблюдение за работой учителей математики, анализ методической литературы, периодических изданий по вопросам методики математики показывают, что объектные модели на уроках геометрии используются недостаточно и в основном используются при показе моделей пространственных тел на уроках стереометрии. Способность же учащихся мысленно представлять себе фигуры их положения в пространстве нужно развивать задолго до того, как приходит пора изучать стереометрию. Но при изучении планиметрии применению моделей уделяется еще меньше внимания.
• Это можно объяснить тем, что методика их использования недостаточно разработана и учителя математики часто недооценивают возможностей применение объектных моделей, хотя они могут существенно повысить эффективность усвоения материала, а также служить развитию и поддержанию интереса к предмету.
• Основная цель работы - изучить теоретические аспекты и разработать практические рекомендации к применению моделей на уроках планиметрии в средней школе. Задачи данной работы:
• - рассмотреть объектные модели, как наглядность в обучении;
• - разработать методику работы с моделями по учебнику «геометрия 7 - 9 класс»;
• - показать, применения моделей на разных этапах урока;
• - показать, применения моделей на уроке, опираясь на опытное преподавание.
• Методы исследования:
• - изучение учебных пособий и методических материалов по планиметрии;
• - анализ психологической, педагогической и методической литературы по рассмотренной проблеме;
• - наблюдение за деятельностью учащихся;
• - опытное преподавание.
• В работе представлена классификация объектных моделей, требования, предъявляемые к моделям. Показана связь между наглядными пособиями и объектными моделями. Будет предложен подробный план использования моделей на уроках, в соответствии с приведенной классификацией. В работе также показаны некоторые методические аспекты по изготовлению моделей, с привлечением учащихся и конспект урока, проведенного 7 классе средней школы № 21 с углубленным изучением отдельных предметов города Кирова, на котором использовались объектные модели. А также анализ проведенного урока.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

1.1 Понятие наглядности и ее роль в процессе обучения математике

К понятию наглядности в процессе обучения обращались известные ученые, психологи, специалисты в области теории и методики обучения математике, ученые-математики.

Наглядность как принцип обучения ввел в теорию и практику обучения Я. А. Коменский [20].

Русский педагог К.Д. Ушинский указывал, что наглядность отвечает психологическим особенностям детей, мыслящих «формами, звуками, красками, ощущениями» [20].

Педагогика заимствовала идеи Коменского, Ушинского и их последователей, поэтому объяснения учителя связывались с необходимостью демонстрировать предмет усвоения, представленный в чувственной форме, в виде вещи, картины и т.п., с помощью наглядных пособий.

Психолог А.Н. Леонтьев одним из первых в мировой педагогике и психологии поставил вопрос о том, что совершенно недостаточно действовать с помощью наглядных пособий на органы чувств. Необходимы встречные, активные действия учеников. Только в этом случае, воздействующие на органы чувств наглядные пособия трансформируются в психические образы. То есть, воспринимают не органы чувств человека, а человек с помощью своих органов чувств [28].

О роли наглядности в математике говорил крупнейший математик Д. Гильберт: «В математике встречаются две тенденции: тенденция к абстракции - она пытается выработать логическую точку зрения на основе различного материала и привести этот материал в систематическую связь, другая тенденция - тенденция к наглядности, которая в противоположность этому стремиться к живому пониманию объектов и их внутренних отношений» [7].

Наглядность используется для получения знаний о внешних свойствах математических объектов, о взаимосвязи объектов, об их сходстве и различии. Роль наглядности заключается в том, что она дает возможность показать учащимся глубинные связи между свойствами математических объектов.

Психологи считают, что для того чтобы правильно подобрать и использовать наглядность на уроке необходимо определить действия учащихся по отношению к средствам наглядности, а также действия, которые должны будут выполнить учащиеся, чтобы овладеть материалом сознательно [36].

Таким образом, первоначально понятие наглядности относилось лишь к зрительным восприятиям предмета или явления. Затем оно выросло в понятие чувственного восприятия вообще (слух, зрение, осязание). Позднее к наглядному методу обучения были отнесены наблюдение, опыт и практические приложения математики, а учебные модели, таблицы, картины, схемы и т.п. стали считать наглядными пособиями.

1.2 Объектные модели как наглядность обучении геометрии

Изучить форму тела, изображать тело на плоскости, на доске, на бумаге, научиться анализировать, рассуждать, доказывать, развивать пространственное мышление - это основные задачи обучения математики в школе.

Для представления пространственных образов и их изображения используют наглядные пособия, к которым относятся окружающие предметы, техническое оборудование и изготовленные моделей.

Планиметрия играет особую роль в развитии пространственных представлений, так как ее образы проще представить. Работа с моделями не только помогает ученику представить форму, но развить пространственное мышление. После работы с моделями учащиеся лучше строят и конструируют на плоскости.

Слово «модель» происходит от латинского «modelus», что означает «мера» [3].

Методист Давыдов В.В. понимал «модель» как образ (в том числе условный или мысленный) или прообраз (образец) какого-либо объекта или системы объектов («оригинала» данной модели), используемый при определенных условиях в качестве их «заместителя» или «представителя» [3].

Под моделью понимают отображение фактов, вещей и отношений определенной области знаний в виде простой, более наглядной материальной структуры [3].

Все модели наглядны для их создателя, для тех, кто их построил, разработал, обладают свойством наглядности. Они наглядны и для тех, кто понимает их, понимает, что они являются моделью определенного объекта.

Материальные объекты наглядны потому, что, во-первых, они чувственны, воспринимаемы, ибо представляют собой объективно существующие предметы или конструкции, аппараты или реальные явления, живые существа, во-вторых, человек, выбравший или сконструировавший ту или иную модель, предварительно создал у себя наглядный образ [3].

В планиметрии широко используются плоскостные модели - отрезки, углы, треугольники и пространственные - пирамида, куб, и другие.

Особенность таких наглядных пособий в том, что они имею постоянную форму. С методической точки зрения это имеет положительное значение. В действительности: модели постоянной формы, будь они из бумаги, из картона, из проволоки или из деревянных планок разных размеров, например два вырезанных треугольника, дают учителю возможность на доске и в короткий срок показать наложение одного треугольника на другой, рассмотреть расположение основных элементов обоих треугольников.

Анализ методической литературы [20, 26, 16 и др.] по проблеме обучения планиметрии, разработки конкретных уроков геометрии в 7-9 классах [21, 31, 41, 11, 9 и др.] показали, что самыми распространенными средством обучения планиметрии в школе являются различные модели плоских и пространственных фигур.

1.3 Классификация моделей

В преподавании достаточно широко используются планиметрические модели, стереометрические модели (каркасные, стеклянные, деревянные, картонные), стереометрический набор, тригонометрический круг, стереометрический ящик.

Изучив методическую литературу [11, 13, 5, 6, 14, 23 и др.] можно составить следующую классификацию.

Модели можно поделить на две большие группы: статистические (неподвижные) и динамические (действующие). В свою очередь статистические модели можно разделить на следующие виды:

1. Плоскостные модели - модели отрезков, углов, параллельных прямых, треугольников и т. п.

2. Пространственные модели - модели куба, призмы, усеченной пирамиды, конуса, и так далее. Они применяются при изучении пропедевтического курса так и для выделения на них какого-нибудь геометрического образа (например, в прямоугольном параллелепипеде выделяют конкретные образы: точки, отрезка, прямого угла), или при непосредственном измерении (например, при определении площади).

В динамических моделях можно выделить следующие виды:

1. Подвижные модели. Это подвижные модели углов, параллельных прямых, и так далее (сделанных из картона и бумаги). Особенностью подвижной модели состоит в том, что при помощи ее можно легко показать многие частные случаи фигуры одной и той же формы, одного и того же свойства фигуры, называемые предельными случаями (например, преобразование трапеции в треугольник, треугольника в отрезок).

2. Геометрический конструктор. Он состоит из набора целого ряда отдельных деталей: шарнирных палочек, шпилек, картонных моделей замкнутых фигур, из которых на уроке собирается и составляется нужная фигура. Такие конструкторы часто носят название стереометрического ящика.

Например, раздвижная шарнирная модель угла, выглядит следующим образом:

Рис. 1. Раздвижная шарнирная модель угла

3. Конструирование из бумаги - к ним относят модели фигур, образованных перегибанием листа бумаги. С помощью перегибания листа ровной бумаги, можно получить образ отрезка, двойным перегибанием - образ угла, смежных и вертикальных углов, тройным перегибанием можно получить образ треугольника, ромба.

1.4 Требования, предъявляемые к наглядным пособиям и правила их применения в обучении математике

Преподавание курса планиметрии без моделей едва ли можно себе представить. Для того, чтобы использование их в обучении приносило положительный эффект к ним и их изготовлению предъявляются следующие требования.

Следует помнить, что использование моделей должно быть в той степени, в которой она способствует развитию мышления, формированию знаний и умений. Демонстрация и работа с наглядными пособиями должны вести к очередной ступени развития, стимулировать переход от конкретно-образного и наглядно-действенного мышления к абстрактному, словесно-логическому.

Наглядные пособия должны быть просты, свободны от лишнего, заслоняющего существенно важное.

Например, на модели если есть вспомогательные линии, то все они должны быть бледными (или пунктирными). Равные углы следует сделать одинаковым цветом.

Однако стоит помнить, что пособия не должны быть излишне красочными, чтобы этой стороной не отвлекать внимания учащихся.

Наглядные пособия должны быть удобны для обозрения, то есть модели и надписи на них должны быть достаточных размеров, чтобы были видны с дальних парт. Наглядные пособия должны быть выполнены аккуратно

Модели должны по возможности изготавливаться самими учащимися, это создает у них некоторые практические навыки. Изготовление наглядных пособий развивает конструктивные способности. Пользование наглядными пособиями должно быть продуманным и оправданным.

Нельзя привлекать наглядные пособия в таких случаях, когда они не содействуют пониманию учебного материала.

Например, иногда учителя пытаются иллюстрировать формулу куба суммы двух величин. Для этого они модель куба с ребром, равным a + b, разбивают на параллелепипеды и малые кубы с ребрами a и b.

Разбор такого наглядного пособия отнимает много времени, создает излишние трудности для учащихся, в то время как после вывода формулы сокращенного умножения (a + b)2 вывод формулы (a + b)3 не представляет для учащихся никакой трудности.

Применение наглядных пособий в обучении подчинено ряду правил:

- необходимо ориентировать учащихся на всестороннее восприятие предмета с помощью разных органов чувств;

- обратить внимание учащихся на самые важные, существенные признаки предмета;

- по возможности показать предмет в его развитии;

- предоставить учащимся возможность проявлять максимум активности и самостоятельности при рассмотрении моделей;

- использовать модели ровно столько, сколько это нужно, не допускать перегрузки обучения наглядными пособиями, не превращать наглядность в самоцель.

Следовательно, умелое применение моделей в обучении всецело находится в руках учителя. Учитель в каждом отдельном случае должен самостоятельно решать, когда и в какой мере надо применять модели в процессе обучения, так как от этого в определенной степени зависит качество знаний учащихся [20].

2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОБЪЕКТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПЛАНИМЕТРИИ

При изучении курса геометрии могут и должны применятся объектные модели. Одни из этих пособий могут создаваться на самом уроке, как учителем, так и самими учащимися (пригибанием листа бумаги) и тотчас же использоваться. Другие пособия типа конструктора служат для создания той или иной фигуры или комбинации фигур тоже на уроке, но только самим учителем или одним из учащихся, для последующей демонстрации полученного пособия и проведения работы с ним.

Подвижные модели служат преимущественно для демонстрации процесса изменения формы или размеров фигуры. Такие пособия могут изготовлять и сами учащиеся (в порядке выполнении программы по практическим занятиям в учебных мастерских или домашней самостоятельной работы).

Наконец, модели фигур постоянной формы имеют наиболее широкое применение для создания отчетливого представления той или иной фигуры, для демонстрации таких операций, как наложение или приложение, и т.п.

Многие наглядные пособия, даже большинство их, могут быть плодотворно использованы перед изучением той или иной темы или отдельной теоремы, чтобы ознакомить учащихся с общим содержанием темы или теоремы; в этом случае наглядные пособия могут служить источником, из которого вытекает новая тема или отдельная теорема.

По окончании изучения темы или отдельной теоремы тоже иногда полезно воспользоваться наглядным пособием, чтобы на нем проиллюстрировать ту или иную теорему.

А также применятся при решении некоторых задач и при доказательстве некоторых теорем.

Рассмотрим подробно, какие модели и как можно использовать на уроках геометрии в соответствии данной классификации в пункте 1.3. этой работы.

2.1 Статистические модели при изучении планиметрии

2.1.1 Плоскостные модели

К ним относят модели отрезков, углов, параллельных прямых, треугольники, изготовленные из картона, бумаги, из проволоки, из деревянных планок. Особенностью таких моделей состоит в том, что они имеют постоянную форму. Рассмотрим, как можно использовать такие модели на уроке.

На уроке измерения длин отрезков. Можно предложить такие модели: два отрезков изготовленных из бумаги. Длину одного из них обозначить за единицу и предложить ребятам измерить длину второго. Сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в отрезке, такую длину будет иметь данный отрезок. Часто такие модели используют при изучении равенства фигур. Например, модели треугольников, имеющих по 2 соответственно равные стороны, позволяют отчетливо и в короткий срок на классной доске осуществить фактическое наложение одного треугольника на другой и показать возможные случаи расположения основных элементов обоих треугольников, что в значительной мере поможет учащимся понять доказательство теоремы. Такие модели помогают представить расположение фигур относительно друг друга. Например, на уроках взаимное расположение двух окружностей, прямой и окружности. Нам понадобятся 3 модели: двух окружностей и модель прямой (полоска, вырезанная из бумаги), лучше, если эти фигуры будут разного цвета. Зададим вопрос: «Как могут располагаться две окружности. Учащиеся отвечают: «Они могут пересекаться». Учитель на моделях показывает пересечение (наложение двух фигур друг на друга) и так далее, аналогично и расположение прямой и окружности.

2.1.2 Пространственные модели

Геометрические понятия формируются в процессе наблюдения форм, размеров и взаимного расположения окружающих предметов. С другой стороны, в поисках практических приложений планиметрических знаний мы вынуждены рассматривать пространственные ситуации и выделять в них плоские объекты, на которых действуют изученные нами закономерности.

Эти два обстоятельства объясняют необходимость пространственной точки зрения при изучении планиметрии. Говоря о геометрических телах на первом уроке геометрии необходимо указать геометрические тела, которые будут изучаться в курсе математики - это куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус. Можно сообщить здесь и названия, не давая определений; предварительно полезно убедиться, какие термины известны, какие, не известны детям. Также в беседе с учащимися устанавливаются особенности этих форм, их отличительные признаки [7].

Можно рассмотреть классификацию моделей мотивируя, следующим примером. Первого сентября собрались все учащиеся нашей школы, все перепутались - семиклассники рядом со старшеклассниками и тому подобное. Ставится вопрос:

«С чего начнет руководство школы?»

Ответ:

«Распределить всех по классам».

«А почему?»

Ответ:

«Так как все ученики одного класса одинокого подготовлены.

«Вот так разбиваются все тела на классы, на группы, чтобы найти законы и свойства не отдельного тела, а всего семейства тел данной группы, данного класса».

После этого тела расставляются на столе в некотором порядке. В беседе подводятся итоги наблюдений и устанавливаются черты сходства и различия, устанавливается общее и частное.

На моделях этих тел желательно, чтобы ученики показали поверхности кривые и плоские, линии прямые, кривые и ломаные, точки. Здесь же попутно напомнить термины «грань», «ребро», «вершина».

Можно выполнить серии упражнений на подсчет числа граней, вершин, ребер у куба, пирамиды и т. д. Интересно сопоставить число граней, вершин, ребер куба и прямоугольного, прямого наклонного параллелепипедов (термины не сообщаются). Поможет сделать правильный вывод модель куба, у которой вертикальные ребра сделаны из резинок. В руках учителя модель трансформируется из куба в прямоугольный, затем в наклонный параллелепипед.

Познакомившись с понятиями плоской и пространственной фигур, намечаем мелом на моделях геометрических тел различные плоские и пространственные фигуры (на кубе, на цилиндре, на шаре и др.). Полезно модели этих фигур изготовить из проволоки: окружность и спираль (кривые на цилиндре), квадрат и пространственная ломаная линия из ребер куба и т. п.

Введя понятие равных и неравных отрезков, исследуем, какие отрезки равны и какие не равны у куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. Вместе с кубом можно рассмотреть прямой параллелепипед, в основании у которого лежит ромб и высота равна стороне основания, и тетраэдр. Выясняется, что не только у куба все ребра равны [7].

При введении понятий «окружность», «круг» сопоставляем плоские кривые замкнутые линии и пространственные (на шаре и цилиндре). Здесь доступны для школьников вопросы типа: «В чем сходство и различие между плоскими и пространственными замкнутыми кривыми на шаре?». Доступен пониманию учащихся показ кругов и окружностей на сечениях шара, цилиндра и конуса. Сечение можно показать наглядно, разрезав яблоко ножом; сечения различной формы получим, налив в стакан цилиндрической формы воду и постепенно наклоняя его. Показав сечение цилиндра в форме эллипса, учитель обращает внимание учащихся, что эту фигуру мы чертим, изображая на плоскости чертежа основание цилиндра или конуса. Дело в том, что если круг наблюдать под разными углами зрения (показывает), то он меняет свою форму от «круглой» до «приплюснутой». Это можно использовать на уроке изучения фигуры эллипса.

При изучении темы ломанные и многоугольники необходимо обратить внимание учащихся, что, пересекая плоскостью конус и цилиндр, можем получить в сечении не только кривые линии, но и ломаные. Демонстрируем соответствующие каркасные или стеклянные модели с выделенными на них сечениями. Понятие «многоугольник» хорошо иллюстрируется на многогранниках. Например, рассматривая пирамиды различных видов, ученики делают вывод, что основание этих тел может являться треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т. д. (отсюда соответственно и названия: треугольная, четырехугольная, пятиугольная пирамиды). Зато боковые грани пирамид всегда имеют форму треугольников[7].

Познакомившись с понятием угла (образованного лучами и образованного отрезками), рассматриваем различные углы на моделях геометрических тел, подсчитываем, сколько углов сходится в вершинах этих тел, находим на моделях тупые, прямые и острые углы.

Виды треугольников также хорошо иллюстрируются на пирамидах и треугольных призмах. Приложение понятий «равнобедренный треугольник», «равные стороны», «равные углы» к изучению особенностей правильных в неправильных пирамид позволяет моделировать своеобразный естественнонаучный метод исследования. Напомним, что ученикам неизвестны определения правильных и неправильных пирамид. Эти названия учитель сообщил им методом показа: «Вот эта группа тел - правильные пирамиды, а вот эта неправильные»

Уже в процессе измерения размеров пирамиды и определения формы их граней ученики находят общие признаки пирамид: в основании лежит многоугольник, боковые грани - треугольники, сходящиеся в одной общей вершине. Затем находятся признаки, которые отличают правильную пирамиду от неправильной.

Имея достаточный набор пирамид (по одной паре на парту), можно организовать наблюдения (и запись в тетрадях) по следующей форме (см. таблицу 1):

Таблица 1

Форма для записи наблюдений [38]

Конечно, сводить результаты наблюдений в одну таблицу нет необходимости. Коллективное подведение итогов может быть организовано так. По вызову учителя ученики сообщают классу о результатах своих измерений (сначала в отношении правильных пирамид, затем неправильных). После нескольких ответов учитель спрашивает, каковы общие черты одноименных пирамид. Опрос продолжается. Еще после 2 - 3 ответов ребята делают вывод: правильные пирамиды обладают следующими общими свойствами: у них боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники, а в основании лежит многоугольник с равными сторонами и равными углами.

«Подтверждается ли это наблюдение для остальных правильных пирамид?» спрашивает учитель у тех, кто еще не был опрошен. «У кого правильная пирамида не обладает такими признаками?» (В «спорных» случаях измерение повторяется вновь).

Рассматриваем точно так же результаты измерений неправильных пирамид (во избежание недоразумений правильные и неправильные пирамиды должны отличаться цветом). Выясняется, что равнобедренная форма граней, равенство сторон основания и равенство углов основания также могут наблюдаться у неправильных пирамид. (Правда, не одновременно), но эти признаки не являются обязательными для каждой такой пирамиды [38].

При изучении темы «Треугольники» можно рассматривать сечения треугольной формы куба, параллелепипеда и вообще призм. Для удобства проведения измерений лучше брать каркасные модели. При этом, кроме иллюстраций планиметрических понятий и опознания планиметрических объектов на стереометрических моделях, они могут быть использованы как своеобразные объемные чертежи к планиметрическим задачам. В самом деле, любой чертеж, помещенный в задачнике, можно показать в виде соответствующей грани или разреза стереометрической модели.

Особый интерес представляет рассмотрение двух или трех плоскостных объектов, которые не находятся на одной плоскости. Например, ученикам предлагается доказать, что основания треугольной призмы представляют собой равные треугольники. (Какие элементы оснований необходимо для этого сравнить? Какие возможны при этом варианты?).

Возможен и обратный ход мысли: создание пространственной ситуации после рассмотрения планиметрической задачи. Например, после решения задачи: в треугольнике АDС (рис. 2) . Что можно доказать? Выясняется, что равенство сторон АС и АD, а также отрезков СВ и ВD можно доказать и в случае, если и лежат в разных плоскостях (треугольник АСD сгибаем по линии AB).

И наоборот, вращая некоторые грани пространственной модели, превращаем пространственную задачу в плоскую. Рисунок 3, изображающий 2 треугольника АВС и АСD, причем АВ=7 см, ,, мог быть получен из двух граней пирамиды АВСD путем вращения боковой грани АСВ вокруг ребра АС. Другие 2 грани, не участвующие в задаче, можно на чертеже не показывать [38].

При изучении параллелограммов учитель демонстрирует параллелепипед и задает вопросы: «Являются ли параллелограммами грани модели параллелепипеда?», «Как показать, что противоположные ребра параллелепипеда, лежащие на одной грани, параллельны?» т. д.

При изучении темы «Частные виды параллелограмма» (прямоугольник, ромб, квадрат) учитель на этих уроках демонстрирует объемные наглядные пособия, на которых ученики наблюдают эти фигуры на телах и их сечениях. Путем измерений выясняется, чем куб отличается от прямоугольного параллелепипеда, а этот последний - от прямого и наклонного параллелепипедов.

Изучение понятия «трапеция» можно провести при помощи усеченной пирамиды, а также рассматривая трапециевидные сечения стереометрических тел. Задание доказать, что какое-то сечение или грань усеченной пирамиды имеют форму трапеции, приводит учеников к необходимости найти признак трапеции. Весьма удобны на стереометрических моделях практические работы, связанные с непосредственным измерением элементов плоской фигуры, например вычисление площади у трапеции [38].

Модель пирамиды с сечением, параллельным ее основанию, прекрасное пособие для изучения пропорциональных отрезков и подобных треугольников.

Точно так же тригонометрические функции острого угла можно рассматривать не только для прямоугольных треугольников, начерченных на доске, но и являющихся гранями или сечениями трехмерных тел.

Очевидно, описанный здесь наглядно-интуитивный выход в пространство при изучении курса планиметрии может сопровождаться также обобщением некоторых вводимых понятий. На это уйдет не очень много времени. Выше уже было рассказано о введении не только плоских, но и пространственных ломаных линий.

При изучении перпендикуляра к прямой находим взаимно перпендикулярные ребра на моделях куба и прямоугольного параллелепипеда. Рассматривая модель перпендикуляра к прямой, убеждаемся в единственности перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную на ней точку, если речь идет о плоскости и о бесчисленном множестве перпендикуляров к данной прямой, если речь идет о пространстве [38].

Изучение параллельных прямых лучше начать с анализа возможного расположения прямых в пространстве. Так вводятся параллельные и скрещивающиеся прямые; два вида прямых, не имеющих общих точек. Из наблюдений обнаруживается тот факт, что теорема две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг к другу справедлива и для пространственного расположения прямых (оговариваемся, что доказано это будет в свое время).

При доказательстве теоремы: если две прямые АВ и CD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, то они параллельны. На каркасной модели куба показываем, что это предложение верно только для прямых, лежащих в одной плоскости.

Далее вместе с понятием плоского четырехугольника вводится понятие пространственного четырехугольника. Доказывается теорема: сумма внутренних углов четырехугольника равна 180⁰. Эта теорема верна для плоских четырехугольников. А для пространственных? Наблюдение покажет, что нет. Неплоские четырехугольники можно наблюдать на каркасных моделях параллелепипеда, соединяя четыре вершины, не лежащие на одной плоскости. Или с помощью четырех палочек и пластилина демонстрируются подвижные пространственные четырехугольники, в которых, сохраняя значение двух углов, можно уменьшать два других угла, что опровергает возможность обобщении теоремы о сумме внутренних углов четырехугольника [38].

Итак, используя стереометрические модели и их разрезы для изучения элементов планиметрии, мы достигаем сразу нескольких целей, главными из которых являются:[38].

1) обеспечение всестороннего, более глубокого понимания планиметрических зависимостей;

2) развитие пространственны представлений учащихся при изучении планиметрии;

3) применение знаний по планиметрии при решении пространственных задач, т. е., сближение обучения с возможными приложениями в жизни;

4) приложение измерительных и конструктивных навыков к естественнонаучным методам изучения особенностей пространственных фигур;

5) подготовка к изучению систематического курса стереометрии.

Можно привести еще целый ряд примеров весьма эффективного использования геометрических моделей постоянной формы.

Однако такие модели в настоящее время не могут полностью удовлетворять современным требованиям методики преподавания геометрии, когда идея движения и связанные с нею геометрические преобразования прочно входят в курс элементарной геометрии.

Возникает необходимость при изучении геометрии вводить подвижные наглядные пособия, окружающие идею движения в геометрии.

2.2 Использование динамических геометрических моделей

2.2.1 Подвижные геометрические модели

Подвижные геометрические модели в настоящее время широко используются в преподавании геометрии при открытии понятий, теорем и доказательств. Например, для демонстрации смежных, вертикальных углов, высот, медиан, биссектрис треугольника, параллелограмма, с помощью моделей удобно иллюстрировать движения на плоскости (поворот, параллельный перенос, осевую и центральную симметрию). Гораздо реже используются подвижные модели при изучении различных зависимостей между сторонами и углами треугольника, между величинами проекций и наклонных и т. п. Это изучение чаще всего ведется статично, т. е., рассматривается один частный случай, который характеризуется определенным чертежом. В сознании школьника вместо великого разнообразия случаев, которые описывает изучаемая зависимость, нередко запечатлевается ее «фотография» -- застывший неподвижный чертеж. Создается своего рода противоречие между закономерностью общего характера и конкретным чертежом, который вынужден показывать один из частных случаев этой зависимости. Такое положение чревато многочисленными ошибками учеников [38].

Изображая вместо произвольной фигуры ее частный вид, ученик сам создает себе помехи в решении задач, ибо он невольно пользуется теми особенностями чертежа, которые не входят в условие задачи.

Например, изображая вместо произвольного прямоугольного треугольника равнобёдренный прямоугольный треугольник, ученик нередко использует при решении задачи навеянное чертежом дополнительное условие: острые углы треугольника равны 45°.

По-видимому, возникновению таких серьезных логических ошибок (неверное обобщение) содействует неправильная постановка преподавания геометрии. Иногда учителя, используя при доказательстве чертеж к теореме, не останавливаются на условиях, допускающих обобщение, и ученики невольно усваивают такое «правило»: по одному чертежу можно судить об общих закономерностях. Естественно поэтому, что при решении задач они стремятся брать наиболее «удобные» случаи. Конечно, говоря об условиях, позволяющих высказать общий вывод при рассмотрении одного чертежа, мы в известной мере нейтрализуем стремление учеников к «удобным» случаям. Но этого мало: необходимо также устранять причины, приводящие к ошибкам.

Как показал опыт, результаты в этом отношении обеспечивает изучение планиметрических зависимостей на подвижных моделях своего рода «подвижных чёртежах» [38].

У многих учащихся отсутствует правильное представление о размерах углов. Говоря об угле в 30°, чертится угол в 50° и т. п. Недостаток глазомера, отсутствие навыка в обращении с ходовыми углами значительно осложняет работу по решению задач, а также тормозит дальнейшую практическую деятельность учащихся [7].

Для развития у учащихся правильных навыков рекомендуется во время изучения углов, построения их, вывесить в классе на небольшой срок (неделю) образцы часто встречающихся в практике углов: 30°, 45°, 60°, 135°. (см. рис. 4.)

Рис. 4. Образцы часто встречающихся углов

Модели могут быть двух типов: деревянные и картонные.

Ученику дома предлагается изготовить набор небольших моделей различных углов, наклеить их на листе, сделать надписи, поместить в конверт.

Интерес учащихся 7 класса вызывает планиметрическая модель, которая иллюстрирует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Углы 1 и 3 треугольника подвижные. Для того чтобы учащиеся выдвинули гипотезу о сумме углов треугольника, учитель эти углы разворачивает на подвижной модели, так как показано на рис. 5

Рис. 5. Модель разворота подвижных углов

При изучении свойства хорды: хорда, не проходящая через центр круга, меньше диаметра, проведенного в том же круге.

Рис. 6. Модель для изучения свойств хорды

Можно использовать следующую подвижную модель. Модель представляет собой лист картона, на котором начерчена окружность. Вдоль дуги АВD может передвигаться точка В (пуговица) (рис.6). При движении точки В по дуге окружности образуются различные треугольники, обладающие одной общей особенностью, - две стороны (радиусы) не меняют своей длины. Вспоминая свойство отрезка, приходим к выводу, что любая хорда, не проходящая через центр круга, меньше его диаметра. На модели, кстати, видно, почему приходится вводить ограничение «не проходящая через центр круга». В этом случае ломаная АОВ выпрямляется и свойство отрезка применить уже нельзя [38].

При изучении темы перпендикуляр и наклонная можно на модели показать их зависимость: перпендикуляр, проведенный из какой-либо, точки к прямой, меньше всякой наклонной проведенной из той же точки в этой прямой.

На листе картона (рис.7) начерчены две взаимно перпендикулярные линии АВ и KD. Точка С подвижная, АС - резинка. Передвигая «точку» С (пуговица), получаем различные прямоугольные треугольники, у которых меняющая свою длину наклонная АС служит гипотенузой, а катет АВ не меняется. Так как гипотенуза больше катета, отсюда следует утверждение теоремы.

При доказательстве признака параллелограмма (Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника) можно использовать следующую модель [38]:

Параллелограмм (рис. 8), сделанный из деревянных реечек. Диагональ ВС - резинка, точки А, В, С и D - оси вращения.

При любых положениях модели треугольники АВС и BDC равны друг другу.

При изучении зависимости между дугой окружности и хордой (Большая дуга стягивается большей хордой, большая хорда стягивает большую дугу). Можно использовать следующую модель: на листе картона начерчена половина окружности АСК (рис. 9). Так как равные дуги стягиваются равными хордами и наоборот, то, не теряя общности рассуждений, будем откладывать, сравниваемые хорды и дуги, из точки А. По дуге ВК, могут передвигаться подвижные точки С и Е. Хорды АС и АЕ резинки, радиусы ОС и ОА - нити [38].

При движении модели видно, что если увеличивать дугу, то и стягивающая ее хорда увеличивается (резинка растягивается) и, обратно, увеличение хорды вызывает увеличение дуги. Но это можно не только показать, но и доказать. Каковы бы ни были хорды АС и АЕ, через точки С и Е можно провести прямую (накладываем на точки С и Е прямую стержень, на рисунке он показан пунктиром). Тогда можно видеть, что АЕ больше АС (наклонная, имеющая большую проекцию). Так как дуга АЕ также больше дуги АС и так как это положение модели мы могли получить, либо увеличивая дугу, либо увеличивая хорду, то отсюда и вытекает сделанный вывод. Рассматривая одно из положений модели, приходим к формулировкам учебника.

После того как ученики познакомятся со вписанными углами, можно объяснить тот факт, что перпендикуляр АО будет все время находиться по одну сторону от наклонных АЕ и АС при любых положениях точек С и Е. Этот факт, наблюдаёмый на модели непосредственно, объясняется тем, что вписанный угол АСЕ опирается на дугу, большую полуокружности, и поэтому он всегда тупой, а высота, опущенная в тупоугольном треугольнике из вершины острого угла, всегда лежит вне его [38].

Можно разобрать такую задачу с использованием модели: доказать, что если медиана треугольника равна половине основания, то этот треугольник прямоугольный.

2

Используем для иллюстрации условия той задачи модель смежных углов (рис. 10). От точки А откладываем равные отрезки АВ, АС и АD), в точках , С и D просверливаем отверстия и прикрепляем резинки СВ и СD.

Доказательство получаем, замечая, что при любом положении модели треугольники АВС и АСD равнобедренные.

После изучения вписанных углов можно разобрать и другое доказательство, основанное на том, что через точки В, С и D при любом положении подвижной модели можно провести окружность с центром в точке А [38].

В случаях, когда доказательство по модели было по каким-то причинам неудобно, все равно изучаемую зависимость мы наблюдали на модели, а уже затем переходили к чертежу - фиксированному положению этой модели.

Для теоремы Пифагора можно использовать следующую модель.

Картонную модель «египетского» треугольника (а = 3; 6 = 4; с=5). С построенными квадратами на его сторонах.

Приведём лишь небольшую деталь в порядке демонстрации этой модели.

Желательно показать модель не всю сразу в развёрнутом виде, а постепенно, так, как производится построение: «Построим квадрат на стороне треугольника а» (и из-за треугольника, обращённого к учащимся, показывается квадрат с площадью, разграфлённой на клетки). Так последовательно появляются все три квадрата. Загибание квадратов за плоскость треугольника требует широких швов присоединения квадратов, что снижает демонстративную ценность прибора. Поэтому целесообразно сохранять картонную модель теоремы Пифагора в более глубокой коробке, вынимание модели производить постепенно, отчего квадраты будут появляться из футляра последовательно: с площадью 32; 42; 52 [38].

При изучении суммы углов треугольника и свойство внешнего угла треугольника можно использовать модели, где имеются накладные углы , которые равны основным углам. Подробно использование таких моделей можно посмотреть далее в опытном преподавании.

Еще одну группу динамических моделей образует группа наглядных пособий, которая называется геометрическим конструктором.

Рассмотрение подвижных моделей следует сочетать с созданием мысленных подвижных образов. Например, решая задачу на построение треугольника по одной заданной стороне, можно мысленно убедиться, что решений здесь бесконечное множество. Достаточно представить в уме подвижную вершину, противоположную данной стороне, чтобы убедиться, что существует множество различных треугольников, имеющих одно и то же основание. Некоторые случаи различного положения вершины можно фиксировать мелом на доске [7].

Мысленное (а затем в случае необходимости фактическое) движение осуществляется, например, когда ученикам предлагается опознать, какие фигуры являются симметричными относительно оси (относительно точки), какие нет.

2.2.2 Геометрический конструктор

Как уже было сказано, к ним относятся шарнирные палочки, шпильки и так далее. Шарнирные модели демонстрируют виды углов (острые, тупые, прямые; вертикальные, смежные; углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей и др.) [38]

При знакомстве с углом существенным является представить себе правильно, что эта фигура характеризует степень отклонения угла. В частности такого угла может и не быть, в этом случаи лучи совпадают и угол равен 0. В то же время учащемуся трудно уяснить процесс непрерывного изменения угла. При использовании раздвижной шарнирной модели это явление становится наглядным и очевидным.

2

Опишем следующий порядок использования такой модели. Сперва учитель показывает некоторый угол, медленно уменьшает его до нуля, затем увеличивает до угла больше 900. Учащиеся во время демонстрации делают зарисовки в тетради и видят множество углов, среди которых, заданный является частным случаем. Полезно также показать, что удлинение стороны угла не изменяет его величины, это можно сделать, если растянуть или сдвинуть штабики (рис.11), образующие стороны угла [7].

Шарнирные подвижные модели углов встречаются либо набором моделей, либо в виде отдельных пособий. Недостатками модели являются:

1. Плохая конструкция муфты, дает грубое представление геометрическому образу-прямой линии.

2. Неудачный шарнир не позволяет образовать ни малых углов, ни нулевого положения.

3. Модель искажает понятие вершины угла.

Но это можно разрешить, если использо вать вместо планки металлическую трубку и стержни, входящие в них [7].

Другие шарнирные модели из набора восьми моделей показывают смежные, вертикальные углы, углы при параллельных прямых и др. Эти модели также найдут себе применение для того, чтобы помочь учащимся выявить динамическую сущность вопросов.

Фигура треугольника настолько проста для представления и настолько знакома учащимся из окружающей обстановки, что не нуждается ни в другом изображении, кроме чертежа. Речь может идти иллюстрации на моделях преобразования треугольника из одного вида в другой. В этом смысле чертежи указывают лишь, очень небольшое количество образов; один вид переходит в другой разрывно, скачкообразно. На модели же форма изменяется непрерывно, и перед глазами учащихся проходит множество видов треугольников [7].

Вместе с углами и сторонами в треугольнике приходится изучать такие элементы, как медиана, перпендикуляр к стороне в её середине (медиатриса), высота и биссектриса. Было бы недостаточно выучить их определения и построить эти линии, в одном - двух треугольниках; необходимо пронаблюдать на подвижной модели, как располагается каждая из них в равнобедренном, правильном, прямоугольном, тупоугольном треугольниках и как они располагаются друг относительно друга.

При трансформации треугольника указанные элементы расположатся иначе: в прямоугольном треугольнике (рис. 12 б) высота 1 совпадёт со стороной (катетом), биссектриса остаётся левее медианы. По мере приближения треугольника к равнобедренному, внутренние элементы его сближаются и, наконец, совпадают: в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса угла при вершине сливаются (рис. 12 в). Перемещая вершину В вправо, мы увидим, что биссектриса переместится и станет вправо от медианы, а высота, постепенно смещаясь, займёт крайнее правое место по отношению к ним (рис. 12 г) [7].

Перечисленные сопоставления помогут глубже представить себе существо дела и свободнее разобраться в задачах, где встречаются различные построения; например, построить равнобедренный треугольник по медиане и высоте, опущенной на боковую сторону, и т. п.

В этом случае исследование задачи, указание на два возможных решения при остром и тупом угле при вершине легче даются учащимся, которые связывают положение внутренних линий в треугольнике с его формой. К данной модели полезно вернуться в VII классе после изучения темы «Углы в окружности» и предложить обосновать конструктивные предпосылки анализируемого пособия. Такого рода упражнение можно рассматривать как несложную задачу на доказательство по данным, полученным учащимися самостоятельно из рассмотрения прибора, а также как упражнение в анализе конструкции технического приспособления [7].

Большой интерес вызывают зарисовки и наблюдения движения некоторых элементов фигуры. В качестве примера можно привести демонстрацию шарнирного треугольника или треугольника, образованного резиновыми жгутами, в которых при постоянном основании перемещается вершина и изменяется высота фигуры или, наоборот, при сохранении высоты растягивается или сокращается основание, наконец, одновременно меняются оба элемента. После такого рода наблюдений функциональная зависимость периметра или площади от линейных элементов очевидна из геометрических представлений, а не только из формулы. Подобные размышления чрезвычайно способствуют математическому развитию.

Однако с демонстрацией моделей надо быть очень осторожным, так как приспособления, раскраска, разметка, могут отвлечь учащих от геометрической сущности [7].

Рис. 13 (а и б)

Наблюдения «замечательных точек треугольника» может, происходит следующим образом. Выводы существования единых точек пересечения медиан, «биссектрис, перпендикуляров из середин сторон проводятся по отношению к некоторому треугольнику; далее из того, что треугольник берётся произвольный, следует, что полученные свойства присущи треугольникам всех видов. Такого рода обобщение учащиеся иногда принимают на веру, не будучи до конца в этом убеждены. Оказывается, если после логического доказательства подтвердить вывод демонстрацией моделей, представления получаются более осмысленными (рис. 13 а, б) [7].

Вершины резиновой модели треугольника медленно перемещаются, в это время трансформируется самый треугольник, а металлические стержни, изображающие медианы, показывают общую точку пересечения трёх линий. Для случая перпендикуляров стержни закрепляются одним концом в середине стороны, а другой конец остаётся свободным.

Изображение биссектрис основано на свойстве равноудалённости их точек от сторон угла.

Приведем еще одну модель теоремы Пифагора, кроме описанной выше картонной модели.

2

Квадратный футляр содержит четыре равных прямоугольных треугольника, которые на рис. 14 ( а, б) сложены так, что свободными от них остаются два квадрата, построенные на катетах треугольников [7].

Другая конфигурация вкладышей-треугольников оставляет открытой площадь квадрата на гипотенузе.

Таким образом, модель наглядно демонстрирует, как из одной и той же площади квадрата-футляра два раза отнималась одинаковая площадь четырёх треугольников, вследствие чего оставались равные площади. А так как последние представлялись в одном случае в виде суммы площадей квадратов, построенных на катетах, а в другом - квадратом на гипотенузе, то и получалась модель для иллюстрации связи на основании теоремы Пифагора.

Особенно удобно демонстрировать сразу два таких прибора с указанными построениями.

Общепринятое геометрическое доказательство теорему после приведённых наблюдений проводится только при помощи чертежа.

Многолетний опыт и отзывы учителей убеждают, что небольшая затрата времени на демонстрацию пособий окупает себя вполне [7].

Следует отметить еще один вид наглядных пособий, который может применятся в процессе изучения некоторых тем курса планиметрии это модели из полосок, конструирование фигур из бумаги, перегибание листа бумаги.

2.2.3 Конструирование фигур из бумаги

Результаты психолого-педагогических исследований показывают; эффективное обучение невозможно без активной и сознательной деятельности самих учащихся, С целью ее активизации, формирования и развития у школьников познавательного интереса на уроках математики используются различные приемы, Один из них - конструирование фигур из бумаги.

Конструирование из бумаги относится как к познавательной, так и к эстетической, художественной деятельности. Воплощая в своих работах реально существующие предметы, сказочные фигурки и т.д., дети всегда стараются украсить их, придать им необычные формы, сохраняя при этом основной образ [32].

Конструирование из бумаги учит детей совершать последовательные действия, концентрировать внимание, слушать и воспринимать устные инструкции учителя; способствует развитию мелкой моторики, памяти, формированию пространственного воображения и умения мысленно оперировать плоскими и объемными предметами; стимулирует развитие творческих способностей. Существуют разные техники работы с бумагой: сминание, скручивание, разрывание, разрезание, сгибание. Последние две, хотя и являются самыми сложными, наиболее распространены в педагогической практике используются на уроках математики (как на этапе изучения нового материала, так и на этапе его обобщения и повторения), делая процесс изучения предмета более доступным, занимательным и творческим.

Полоски служат моделями прямых линий, лучей отрезков. С помощью полосок можно составить угол. Из трех полосок скрепляя их в концах гвоздиками можно построить единственный треугольник. Стороны его нельзя ни сдвинуть, ни раздвинуть [32].

Можно задать вопрос: «Из всяких ли трех полосок можно составить треугольник?» Попробуй построить треугольник из полосок, данных на рис. 15.

2

Рис. 15. Полоски для построения треугольника

Как ни верти правую и левую полоски, они друг до друга не достанут. Треугольник из них не построишь. Тут возникает проблема, а когда же треугольник можно построить. Этот пример можно использовать как мотивации при изучении темы соотношение между углами и сторонами треугольника [32].

При изучении видов треугольника можно использовать модель, образованную из двух полосок и цветного растягивающегося шнурка. Здесь же следует обратить внимание учащихся на то, что при увеличении угла увеличивается и противолежащая сторона.

Модель ромба, образованную четырьмя равными полосками и надев на противолежащие вершины шнурки. Замечаем, что при раздвигании модели свойство ромба сохраняются [32].

Рассмотрим известную головоломку «Танграм» [22]

Напомним, что «Танграм» состоит из семи частей: одного квадрата, одного параллелограмма, двух больших, одного среднего размера и двух маленьких прямоугольных треугольников (рис. 16),

2

Замечательной особенностью головоломки является то, что из нее можно собрать около 1700 различных фигур, среди которых фигурки животных, растений и людей, буквы, цифры, геометрические фигуры и т.п.

«Танграм» имеет свои правила.

Во-первых, в каждую фигурку должны входить все семь фрагментов головоломки.

Во-вторых, кусочки должны тесно примыкать друг к другу без пробелов и никогда не налегать друг на друга даже краешком.

Использование головоломки позволяет объединить наглядно-образные и конструктивные методы в обучении математике. «Танграм» можно применять, с одной стороны, в качестве интересного наглядного материала при объяснении отдельных тем курса геометрии, ас другой - как средство развития логического и образного мышления учащихся [22].

Работу с головоломкой можно начать в любом классе с учащимися разного возраста. Для этого достаточно взять квадрат из бумаги и разрезать его на части, как показано на рис. 16.

Но для того чтобы по-настоящему увлечь школьников рассматриваемой головоломкой, предлагаем поступить так.

Раздать ученикам по листу бумаги формата А4 и попросить сделать из него квадрат. Затем начать рассказывать следующую сказку, сопровождая повествование разрезанием исходного квадрата на части и складыванием из частей разных фигур.

Геометрическая сказка [22].

Давным-давно существовал такой мир, в котором все состояло из квадратов: дома, звери, птицы, деревья и т.д. В этом квадратном мире жил очень любознательный мальчик по имени Никита.

Однажды, прогуливаясь по улице и наблюдая за всем, что происходило вокруг, Никита подумал: интересно, неужели существует только одна геометрическая фигура - квадрат? Он тут же побежал домой и спросил у мамы: «Почему все вокруг состоит только из квадратов?» Мама никогда не задумывалась над этим вопросом и быстро ответила: «Потому что так было всегда».

Такой ответ не устроил мальчика, и он решил понаблюдать за тем, что происходит вокруг. Каково же было удивление Никиты, когда однажды утром он увидел бабочку, и она была такой (рис.17).

(составлена из двух частей исходного квадрата)

Очень обрадовался Никита, когда познакомился с новой фигурой треугольником, и понял, что в мире существуют не только квадраты, но и другие геометрические фигуры.

В другой раз, играя на берегу реки, Никита увидел кораблик (рис. 18).

(составлен из двух частей исходного квадрата).

А затем и рыбу, которая выглядела так (рис. 19). (составлена из трех частей исходного квадрата) [22].

Когда в следующий раз Никита гулял в лесу, он увидел ель (рис.20.).

Каждый раз, выходя на прогулку, Никита надевал свои любимые башмачки (рис. 21.).

Но однажды, гуляя по лесу, мальчик споткнулся, упал и порвал любимые башмачки. У одного оторвался каблучок, а у другого - расклеился мысок, и башмачки стали выглядеть так (рис. 22.).

Таким образом, Никита узнал, что существует много различных геометрических фигур, не только квадраты, но и треугольники, трапеции, параллелограммы и др.

Закончив рассказ, следует предложить детям задание; кто сможет быстрее остальных собрать из получившихся фигурок большой квадрат, который был у всех до начала истории?

Когда дети сложат исходный квадрат (см. рис. 16.), им сообщается, что этот квадрат носит название древней китайской головоломки «Танграм» [22].

Приведенный пример показывает, как в занимательной форме учащиеся изготавливают из листа бумаги геометрическую головоломку.

«Танграм» можно использовать и при изучении отдельных тем и разделов школьного курса геометрии. Например, при изучении свойств геометрических фигур разного вида и отношений между элементами одной и той же фигуры; при рассмотрении понятий площади и периметра многоугольника; при решении задач, связанных с теоремой Пифагора.

На первых уроках целесообразно предлагать учащимся простые задания, которые позволят ребятам освоиться с головоломкой и ее частями, научиться узнавать различные геометрические фигуры, входящие в «Танграм». Например, задания на составление фигурок животных: кенгуру, зайца, утенка и др.

После этого можно обратить внимание учащихся на геометрические свойства фигур, составляющих головоломку: исходный квадрат состоит из пяти треугольников, квадрата и параллелограмма (рис. 23) [22].

В частности, указать на следующие свойства.

1. Все пять треугольников - прямоугольные и равнобедренные.

2. Два больших треугольника (на рис. 23 они обозначены буквой Т) равны, их гипотенузы равны стороне исходного квадрата, а катеты - равны половине диагонали исходного квадрата.

3. У среднего по размерам треугольника (обозначен буквой ) катеты равны половине стороны исходного квадрата, а гипотенуза - равна половине диагонали исходного квадрата.

4. Маленькие треугольники (обозначены буквой t) равны, их гипотенузы равны половине стороны исходного квадрата, а катеты - равны четвертой части диагонали исходного квадрата.

5. Сторона квадрата, обозначенного буквой q, равна четвертой части диагонали исходного квадрата.

6. Одна из сторон параллелограмма, обозначенного буквой р равна половине стороны исходного квадрата, а другая - четвертой части диагонали исходного квадрата [22].

Укажем некоторые темы, при изучении которых можно использовать «Танграм»:

1. Многоугольники

2. Периметр треугольника и четырехугольника

3. Площади многоугольников

4. Построения с помощью циркуля и линейки

5. Подобие.

Примеры заданий на конструирование из фрагментов «Танграма» различных фигур и возможные графические решения к ним прилагаются в приложении [22].

Заслуживающим серьёзного внимания методом построения моделей геометрических фигур, является метод перегибания (складывания) листка бумаги, разработанный индийским математиком Роу Сундара [13].

Геометрические построения циркулем и линейкой основаны на свойстве окружности как геометрического места точек. Геометрические построения посредством перегибания листка бумаги основаны на принципе осевой симметрии.

Листок бумаги, сложенный вдвое и образующий прямую линию перегиба, является моделью двойной полуплоскости, каждая точка которой есть двойная точка, отстоящая от оси перегиба на единственном определённом расстоянии.

2

Раскроем листок: две полуплоскости превращаются в одну плоскость, а двойная точка превращается точки, лежащие на общем перпендикуляре АВ перегиба на равных от неё расстояниях, т. е. две точки, А и В, симметричные относительно перегиба (рис.24), где линии АВ и СD линии сгиба.

Перегибая такой сложенный вдвое листок бумаги различным направлениям и образовав из рёбер перегибания фигуру, мы, расправив листок, получаем на нём две симметричные фигуры.

Складывая листок вчетверо, мы образуем на нем простейшим способом четыре прямых угла. Перегибание листка бумаги даёт простые и наглядные способы деления угла пополам, деления отрезка пополам, восставления и опускания перпендикуляров и, следовательно, проведения параллельных прямых, биссектрис, медиан и высот треугольников, построения ромба, параллелограмма и других фигур [13].

Приём перегибания листка бумаги удобен при демонстрации всему классу свойств геометрических фигур, а особенно углов.

Вырезая фигуры (треугольники, параллелограмм и др.), полученные перегибанием листка бумаги на бумаге, учитель может, делая дальнейшие перегибания, показать некоторые свойства геометрических фигур. Так как основные построения; деление отрезка и угла пополам восстановление и опускание перпендикуляра, посредством перегибания листка бумаги проще, чем циркулем линейкой, то демонстрации учителя сильно упрощаются и становятся более наглядными.

Демонстрацию способов вычисления площадей прямоугольного остроугольного и тупоугольного треугольников, параллелограмма, ромба и трапеции на моделях, образованных пригибанием листа бумаги. Особенно ценным при этом будут самостоятельные упражнения учащихся на своих листках. Коллективный опыт всегда более продуктивен и более убедителен, чем простое наблюдение.

Рассмотрение подвижных моделей следует сочетать с созданием мысленных подвижных образов. Например, решая задачу на построение треугольника по одной заданной стороне, можно мысленно убедиться, что решений здесь бесконечное множество. Достаточно представить в уме подвижную вершину, противоположную данной стороне, чтобы убедиться, что существует множество различных треугольников, имеющих одно и то же основание. Некоторые случаи различного положения вершины можно фиксировать мелом на доске.

Мысленное (а затем в случае необходимости фактическое) движение осуществляется, например, когда ученикам предлагается опознать, какие фигуры являются симметричными относительно оси (относительно точки), какие нет [13].

Особое внимание нужно уделить изготовлению наглядных пособий самим учащимся. Приведу в качестве примера высказывание известного методиста:

«К наглядности надо присоединить активную деятельность самого ученика…Активность ученика достигает высшего предела тогда, когда он сам что - либо делает, когда в работе участвует не только голова, но и руки, когда происходит всестороннее (не только зрительное)восприятие материала, когда он имеет дело с предметами, которые он может по своему усмотрению перемещать, по - разному комбинировать, ставить их в определенном отношении и делать из наблюдений выводы» [11].

2.3 Изготовление моделей

Изготовление наглядных пособий силами самих учащихся в настоящее время может широко применяться при изучении геометрии, так как в начальной школе закладывается прочный фундамент развития трудовых навыков учащихся на уроках ручного труда (работы с бумагой и картоном, с тканью, с глиной или пластилином и на учебно-опытном участке), в V-VII классах - в учебных мастерских (по дереву и металлу). Получив задание на изготовление того или иного наглядного пособия или прибора, учащиеся могут дома или в учебной мастерской под руководством инструктора выполнить требуемую работу [32].

Процесс изготовления наглядных пособий имеет большое воспитательное и образовательное значение.

Чтобы работа носила творческий, учащемуся следует указать лишь название модели, которую он должен изготовить. В этом случае учащийся сначала выступает в роли конструктора, который должен вычертить заданную фигуру, сообразуясь с имеющимся материалами, рассчитать и проставить необходимые размеры на чертеже, вычертить наглядное изображение. После утверждения чертежа учителем учащийся приступает к изготовлению модели, выступая уже в роли квалифицированного рабочего, исполнителя идеи конструктора [32].

Итак, приемы и навыки самостоятельной работы учащихся должна вырабатывать и развивать школа на уроках геометрии. А закрепление этих навыков большей частью проводится вне класса - дома или в группах продленного дня. В последнем случае обеспечивается наблюдение за самостоятельной работой учащихся со стороны руководителя группы, который следит за выполнением задания и в необходимых случаях может оказать и помощь.

2.4 Применение моделей на этапах урока

Модели можно использовать на всех этапах процесса обучения: на этапе актуализации знаний, при объяснении нового материала учителем, при закреплении изученного материала, при формировании умений и навыков, при выполнении домашних заданий, на этапе контроля степени усвоения учебного материала.

Рассмотрим применение средств наглядности, при изучении курса планиметрии, на основных этапах урока: актуализации знаний, изучения нового материала, закрепления изученного материала, контроля усвоения изученного материала.

Этап актуализации знаний направлен главным образом на подготовку учащихся к усвоению нового материала, применению имеющихся знаний в стандартных и новых ситуациях, овладению определенными умениями, стимулированию познавательной деятельности учащихся, проверку учителем уровня усвоения знаний. С этой целью в начале урока используются стереометрические модели, подвижные модели планиметрические модели.

Этап актуализации необходим для установления связей нового материала с ранее изученным, неизвестного с известным. Это способствует систематизации материала, более глубокому пониманию его, формированию прочных знаний [17].

На этапе актуализации знаний наиболее уместно использовать следующие модели

Пример 1. При изучении темы «Взаимное расположение двух окружностей» можно использовать модели двух окружностей.

Для этого перед учащимися ставится вопрос: «Как могут располагаться две окружности относительно друг друга?» В руках учителя две модели. Один из учащихся говорит, что окружности могут пересекаться. Учитель наглядно показывает им это на моделях и задает следующий вопрос (здесь же учитель рассматривает случай, когда окружности совпадают): сколько общих точек имеют окружности?

Следующий случай, когда окружности касаются. Учитель снова наглядно демонстрирует и задает вопрос: сколько общих точек имеют окружности?

Следующий случай, когда окружности не пересекаются. Учитель снова ставит тот же вопрос.

Далее делается вывод, как могут располагаться окружности. И переходят к изучению нового материала.

Этап изучения нового материала. Это ключевой этап в структуре урока. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроке вопросы закрепления нового материала и контроля степени усвоения изученного материала.

Целью данного этапа урока является овладение учащимися новым материалом. Среди различных способов ознакомления с новым материалом выделим три: новый материал может быть объяснен самим учителем, в ходе совместной деятельности с учащимися либо отработан учащимися самостоятельно [17].

При изучении нового материала начинают решаться вопросы, связанные с усвоением, т. е., пониманием, запоминанием, умениями его применять.

Также при изучении нового материала необходимо обеспечить учащимся «ориентировку» в нем. Она достигается фиксированием основного содержания, которое необходимо усвоить. Система ориентиров должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно воспользоваться ими с первого же раза. Для этого используются краткие схематические записи (опорные конспекты), соответствующие образцы применения нового материала при решении задач и т. д [17].

Пример 2. Изучая тему «Площадь трапеции» можно использовать шарнирную модель (рис. 25) при осуществлении поиска доказательства формулы

2

Рис. 25.

На этой модели ?АDМ = ?ЕСМ.

Точка М закреплена на стороне DС, а ?МСЕ подвижный. Ученикам демонстрируется, что трапеция АВСD состоит из ?AMD и ?АВЕ без ?МСЕ, а ?АВЕ состоит из ?MCE и трапеции АВСD без ?АМD.

Но ?МСЕ = ?АDМ и из этого учащиеся делают вывод о равенстве площадей трапеции ABCD и треугольника ABE.

Поэтому

В процессе изучения нового материала курса планиметрии могут применяться модели, образованные перегибанием листа бумаги. Так, например, можно получить образ отрезка, перегнув лист бумаги. Если его перегнуть дважды нужным образом, то можно получить образ угла, смежных и вертикальных углов, параллельных прямых и т. д. [40] Также для мотивации решения той или иной задачи можно использовать перегибание моделей (например, треугольника, трапеции и т. п. (см. опытное преподавание)).

Пример 3. При изучении темы «Длина окружности и площадь круга» учащимся выдается тонкая нить и различные круги, вырезанные из картона и такое задание: «С помощью нити измерьте длину выданной вам окружности и длину ее диаметра. Найдите отношение длины окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с числом р».

На этапе закрепления изученного материала обеспечивается усвоение учащимися учебного материала на уровне, отвечающем программным требованиям.

В ходе закрепления важно обеспечить запоминание учебного материала и формирование умений применять его при решении задач.

Знания усваиваются только в ходе соответствующей собственной работы с ними [19].

Поэтому при закреплении изученного особое внимание следует уделять организации собственной деятельности учащихся в форме, позволяющей учителю проконтролировать ее ход и получаемые результаты. Подготовка к контрольной работе, подготавливающая обучаемых к осмысленной и активной учебной деятельности, должна завершаться постепенным снятием внешнего контроля и переходом к выполнению действий в умственном плане.

Закрепление знаний на уроках планиметрии проходит, в основном, через решение задач, поэтому на этапе закрепления используют подвижные модели.

Пример 4. Доказать, что если медиана треугольника равна половине основания, то это треугольник прямоугольный (пример разобран в п.2.2).

Интересными для школьников могут быть комбинаторно-геометрические задачи, в которых нужно кроить, резать и клеить. Затем для обоснования своих действий школьник должен применить свои познания в геометрии. Элемент нестандартности, который присутствует в таких задачах, возбуждает интерес и желание их решить, а наглядность и минимум знаний, достаточных для их решения, позволит рассматривать эти задачи со школьниками 7-9 классов (на факультативе, на математическом кружке).

Пример 5. В четырехугольнике ABCD сумма углов ABD и BDC равняется 180є, а стороны AD и BC равны. Докажите, что углы при вершинах А и С такого четырехугольника равны [35]

Решение: Разрежем четырехугольник по диагонали BD и, перевернув треугольник ВСD, вновь приложим его к диагонали ВD (рис. 26). Получится равнобедренный треугольник АСD (АD = DС), поэтому А = С.

2

Вообще, при поиске решения задач главное - установить цепочку логических следований, которая приводит к доказываемому утверждению. Чтобы научить школьников логически грамотно рассуждать, надо развивать у них навыки такого мышления, которое помогало бы им выстраивать разрозненные геометрические факты в логические взаимосвязи.

На этапе контроля устанавливается обратная связь в системе учитель - ученик, которая позволяет регулярно получать информацию, используемую для определения качества усвоения учащимися учебного материала, своевременного диагностирования и корректирования их знаний и умений.

Назначением средств наглядности на этапе контроля является то, что они вносят разнообразие в учебный процесс - это позволяет поддерживать познавательный интерес у учащихся. А также средства наглядности облегчают труд учителя на уроке, быстро позволяют демонстрировать учащимся их результаты [19].

Контроль может быть осуществлен с помощью устного опроса. Например после изучения темы параллелограмм и его виды. Учитель показывает фигуру сделанную из картона (параллелограмм, прямоугольник, квадрат, и так далее). Ученики должны назвать эту фигуру и ее свойства.

2.5 Недостатки использования моделей

Как показывает опыт, использование моделей в обучении математике характеризуется рядом недостатков.

Не следует рассматривать наглядные средства как временную опору при начальном усвоении знаний, а также следовать правилу: чем старше учащиеся, тем меньше моделей должно применяться в преподавании математики.

Не следует использовать средства наглядности только в иллюстративных целях. Необходимо не только демонстрировать учащимся готовые модели, но также привлекать их к самостоятельному изготовлению, оперированию с ними.

Например, при изучении темы «Параллелограмм» модель параллелограмма можно использовать не только в иллюстративных целях. С его помощью можно решать с учащимися интересные задачи - на построение параллельных прямых и перпендикуляров, на отыскание биссектрисы угла и т. д.

Неудачная конструкция модели или неумелое обращение с ней могут вызывать недостатки в понимании учащимися учебного материала.

Чрезмерное увлечение наглядными средствами ради иллюстрации выведенных правил, законов, теорем также является значительным недостатком [17].

Первоначальные геометрические сведения сообщаются школьникам еще в начальной школе. Основным методом является наблюдение конкретных форм окружающих ребенка. В - классах эти наблюдения пополняются и систематизируются.

2.6 Опытное преподавание

Опытное преподавание проводилось в ходе педагогической практики в 7 классе средней общеобразовательной школы № 21. Был проведен урок по теме «Сумма углов треугольника».

В данном классе изучение геометрии ведется по учебнику [4].

Урок был проведен 30.01.07, после изучения «параллельности прямых, их свойств и признаков. Урок изучения нового материала

Цели урока:

- повторить признаки и свойства параллельности прямых;

- изучить теорему о сумме углов треугольника, ее доказательство и следствие, с применением моделей;

- научить решать задачи на применение нового материала;

- воспитывать ответственное отношение к учебному труду, аккуратность, последовательность выполнения действий.

Оборудование и средства: учебное пособие «Алгебра 7 кл.» в двух частях А. Г. Мордкович, тетрадь, карандаш, авторучка, подвижные модели, мел, доска и линейка

Структура урока:

1. Постановка домашнего задания(2 мин.).

2. Ознакомление с темой и постановка целей урока (2 мин.).

3. Актуализация знаний(10мин.).

4. Изучение нового материала(15 мин).

5. Первичное осмысление и применение материала (10 мин.).

6. Подведение итогов урока(2мин.).

7. Резервные задачи.

Содержание урока:

I этап. Постановка домашнего задания.

Здравствуйте, садитесь. Открыли дневники, записали домашнее задание. §30 №224, №228(а), №230*, №229. Задания похожи на задачи, какие будем решать в классе. Кому нужна оценка выше, чем 3, решаем под звездочкой.

II этап. Ознакомление с темой и постановка целей.

На предыдущих уроках при решении задач вы использовали теорему о сумме углов треугольника. Но строгого доказательство этого равенства не было, следовательно, пользоваться этим утверждением было нельзя. На этом уроке мы докажем, что равенство верно для любого треугольника и вы смело можете применять это утверждение при решении задач. Также познакомимся, понятием внешнего угла треугольника, сформулируем свойство внешнего угла треугольника. Целью нашего урока будет познакомиться с доказательством теоремы о сумме углов вывести свойство внешнего угла треугольника и порешать задачи по этой теме.

III этап Актуализация знаний учащихся;

2

На доске нарисован треугольник.

Докажем, что BD биссектриса. Что нам для этого нужно показать, Дима?

Нам нужно показать, что прямая BD делит угол пополам.

Что значит, делит угол пополам, Таня?

Это значит, что угол CBD равен углу FBD?

Что нам известно в задаче?

Что прямая AF параллельна BD.

А, что нам известно про параллельные прямые, Саша?

Что у параллельных прямых при пересечении с секущей накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 1800.

Чем мы воспользуемся в задаче, Дима?

Накрест лежащими углы равны.

И так какие углы мы рассмотрим, Стас?

Угол AFB и угол DBF, образованные секущей BF при параллельных прямых AF и BD.

Правильно Стас, из этого мы можем сделать вывод, что эти углы равны. Продлим прямую BD отметим точку L с другой стороны от точки B и рассмотрим секущую АB. Что мы можем заметить?

Что углы ABL и FAB равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей.

Верно ребята. Посмотрим на рисунок, что мы можем сказать про углы ABL и DBC?

Эти углы вертикальные, а значит, они равны.

В итоге мы получим: (записи ведутся на доске учителем)

(1)

Из того, что треугольник равнобедренный

(2)

Из равенства (1) и (2), делаем вывод:

Другими словами BD-биссектриса.

Решим еще одну задачу:

Ребята посмотрите в руках у меня модель сделанная из картона, рисунок такой же, как на доске (рис. 29.). Что мы можем сказать про углы.

Они равны.

Почему?

Эти углы накрест лежащие при параллельных прямыхи AC и секущей AB.

Верно, посмотрим на модель.

(учитель разворачивает угол 1 (рис 30.)и показывает на модели, что углы действительно равны)

По аналогии, что мы можем сказать про углы ABC и CBE?

Они тоже равные.

(Учитель разворачивает угол 2 (рис. 31.) и показывает, что углы действительно равны)

В итоге мы получаем, что:

Это не, что иное, как сумма углов треугольника. А случайно ли сумма углов треугольника равна 180 или этим свойством обладает любой треугольник?

Этим свойством обладает любой треугольник, так как выбор треугольника не изменит равенство накрест лежащих углов. В итоге мы получаем, что:

У каждого треугольника сумма углов равна 1800

Это утверждение носит название: теорема о сумме углов треугольника

И так тема нашего урока: «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника».

Этап изучение нового материала.

Открыли тетради, отступили четыре клеточки, записали число, классная работа и тему нашего урока

Классная работа.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.

Запишем план доказательства:

Максим, Дима, Маша работают у доски.

План доказательства:

Построить DEAC через вершину B,

Доказать, что

Доказать, что если то (рис. 32)

2

Молодцы, ребята, садитесь.

Мы с вами рассмотрели сумму углов треугольника, а теперь введем определение внешнего угла треугольника и запишем его в тетрадь.

Внешним углом треугольника называется угол, несмежный с внутренним.

Посмотрите на доску (рис. 33.).

Назовите внешний угол треугольника.()

Задание классу: докажите, что и сформулируйте свойство.

Доказательство: и смежные и получаем . Угол ACB из суммы углов треугольника равен . Подставляем

.

Запишем свойство в тетрадь.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Посмотрим на модель (рис 34)., на ней нарисован треугольник и внешний угол треугольника. Передвинем угол 1 и развернем угол 2. Получили, что внешний угол треугольника равен сумме двух других углов?

Этап первичного осмысления и применения материала.

Выполним устно №223(б), в), г).), №225, №226.

№223 б)260;

в)1800-3;

г)600.

№225значит

№226. Если бы углы при основании равнобедренного треугольника бы прямыми или тупыми, то сумма этих углов была бы уже равна или больше1800, что противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Письменно: №228(в), №227(б). Один ученик работает у доски, остальные в тетради.

Вопросы: может ли угол треугольника при основании равнобедренного треугольника быть равен 100.

Чему равна сумма углов при основании данного треугольника? А каждый из них?

№227 (б) Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если он в три аза меньше внешнего угла смежного с ним?

Чему равны другие углы данного треугольника?

Этап подведение итогов.

Закрыли тетради. Что мы узнали сегодня нового на уроке.

Мы познакомились с теоремой о сумме углов треугольника, с понятием внешнего угла треугольника.

Какое свойство внешнего угла треугольника мы доказали Даша продиктуй:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника не смежных с ним

Всем спасибо за урок, до свидание.

этап резервные задачи

№ 227 (а), №229.

Краткий анализ проведенного урока.

Проведенный урок по теме «Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника» прошел успешно, учащиеся на уроке работали активно, отвечали на все поставленные вопросы. Немаловажную роль в этом сыграла достаточно хорошая подготовка учащихся, а также использование различных моделей

Использование средств наглядности очень помогло при изучении темы, с их помощью материал стал более доступным и в течение всего урока учащиеся были заинтересованы в его изучении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение наглядности на уроках изучения планиметрии в основной школе занимает особое место. Систематическое применение моделей позволяет решить проблему более качественного и полного усвоения курса планиметрии, а также способствует повышению темпа усвоения учебного материала, развитию и поддержанию интереса к предмету у школьников.

При использовании моделей на уроках планиметрии у учащихся развиваются абстрактные представления и понятия, различные формы мыслительной деятельности, образное и логическое мышление.

В данной работе приведена классификация моделей, сформулированы требования и правила применения моделей в обучении математике. При этом большое внимание уделено использованию различных видов моделей при обучении планиметрии, в частности их применению на различных этапах урока.

Таким образом, приведенные в работе теоретические положения и практические рекомендации по использованию моделей в процессе обучения планиметрии могут быть использованы учителями математики в своей практике, а также студентами математического факультета при подготовке к занятиям по теории и методике обучения математике.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Болтянский В.Г. Формула наглядности - изоморфизм плюс простота [Текст] / В.Г. Болтянский // Советская педагогика. - 1970. - № 5. - с. 46 - 60.

2. Бурмистрова Н.В. Наглядная геометрия [Текст]: тетрадь для учащихся 5-го класса / Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова. - Саратов: Лицей, 2001. - 48 с.

3. Волович М. Б. Наука обучать [Текст]: технология преподавания математики / М.Б. Волович. - М.: LINKA-PRESS, 1995. - 280 с.

4. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. - М.: Просвещение, 1992. - 335 с.

5. Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения в средней школе [Текст]: пособие для учителей / П.Я. Дорф. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва Просвещения РСФСР, 1960.

6. Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике. - М.:1955, 160

7. Дорф П.Я. Наглядные пособия по математике и методика их применения. - М.:1960.-335с.

8. Дудницын Ю.П. Урок математики: применение наглядных пособий и технических средств обучения. - М.: Высшая школа, 1987 - 128.

9. Епишева О. Б. Общая методика преподавания математики в средней школе [Текст]: курс лекций: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / О.Б. Епишева. - Тобольск: Изд. ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997. - 191 с.

10. Ивашев-Мусатов О.С. О первом знакомстве с геометрией [Текст] / О.С. Ивашев-Мусатов // Математика в школе. - 2003. - № 7. - с. 44 - 48.

11. Из опыта преподавания математики (6-8 классы) [Текст]: пособие для учителей / Cост. М.Р. Леонтьева. - М.: Просвещение, 1977. - 175 с.

12. Имранов Б. Никогда не забывайте о наглядности [Текст] / Б. Имранов // Математика в школе. - 2001. - № 2. - с. 49 - 51.

13. Калинин И. А. Электронный учебник [Текст] / И.А. Калинин // Математика в школе. - 2000. - № 8. - с. 75 - 77.

14. Карасев П.А. Элементы наглядной геометрии в школе. - М.-1955.

15. Каченовский М.И. Математический практикум по моделированию. - М.,1958-190.

16. Костицин В.Н. Моделирование на уроках геометрии: Теория и методические рекомендации. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС,2000.-160.

17. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст]: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е.И. Лященко, К.В. Зобкова, Т.Ф. Кириченко [и др.]; под ред. Е.И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988. - 223 с.

18. Манвелов С.Г. Конструирование современного урока математики [Текст]: кн. для учителя / С.Г. Манвелов. - М.: Просвещение, 2002. - 175 с.

19. Метельский Н.В. Дидактика математики [Текст]: лекции по общим вопросам / Н.В. Метельский. - Мн., Изд-во БГУ, 1975. - 256 с.

20. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: общая методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Cост. Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. - М.: Просвещение, 1975. - 462 с.

21. Методика преподавания математики в средней школе [Текст]: общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.Я. Блох, Е.С. Канин. [и др.]; сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.

22. Мищенко Т.М. Индивидуальные карточки по геометрии для VII - IX классов [Текст] / Т.М. Мищенко, А.В. Семенов // Математика в школе. - 2002. - № 2. - с. 19 - 25.

23. Мячина М.В. Конструирование из бумаги на уроках математики в 5-6 кл. /М.В. Мячина // Математика в школе. - 2006. - № 9. - с. 36 - 41.

24. Наглядные пособие по математике». Сборник статей. Под ред.А.М. Пышкало и Е.Г. Гаврилов.: М., 1962-141.

25. Ожегов С.И. Словарь русского языка [Текст] / С.И. Ожегов; под ред. Н.Ю. Шведовой. - 20-е издание. - М.: Изд-во «Русский язык». - 1987. - 752 с.

26. Педагогика [Текст]: учеб. пособие для студентов пед. вузов и пед. колледжей / Под ред. П.И. Пидкасистого. - М.: Педагогическое общество России, 2003. - 608 с.

27. Петрова Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст] / учеб.-метод. пособие для студ. мат. спец.: в 3 ч. Ч. 1. Общая методика / Е.С. Петрова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. - 84 с.

28. Погорелов А.В. Геометрия [Текст]: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - Изд. 3-е. - М.: Просвещение, 1992. - 383 с.

29. Подготовка учителя математики [Текст]: инновационные подходы: учеб. пособие / Под ред. В.Д. Шадрикова. - М.: Гардарики, 2002. - 383 с.

30. Полонский В.Б. Учимся решать задачи по геометрии [Текст]: учеб.-методич. пособие / В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир. - К.: Магистр - S, 1996.-256 с.

31. Применение учебно - наглядных пособий и технических средств обучения на уроках математики. Методические рекомендации. - М., 1972

32. Произволов В.В. Геометрия ножниц в задачах [Текст] / В.В. Произволов // Математика в школе. - 1998. - № 2. - с. 87 - 90.

33. Самодельные наглядные пособия по арифметике для 5-6 классов. / Под редакцией С.В. Пазельского. - Саратов, 1959.

34. Смирнова И.М. Геометрия: Учебник для 7-9 кл. общеобразовательного учреждения./ И.М. Смирнова, В. А. Смирнов. - М.: Просвещение, 2001. -271.

35. Столяр А.А. Педагогика математики [Текст]: курс лекций / А.А. Столяр. - Минск: «Вышэйшая школа», 1969. - 368 с.

36. Трефилов И.П. Как заинтересовать математикой учащихся средней школы [Текст] / И.П. Трефилов. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1957.

37. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе [Текст]: учителю математики о пед. психологии / Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

38. Фридман Л.М. Наглядность и моделирование в обучении. - М.: Знание,1984.- 80с.

39. Хабиб Р.А. О новых приемах обучения планиметрии. - М.: Просвещение, 1969 - 158.

40. Черник О.В. Развитие эстетической воспитанности учащихся при обучении математике [Текст]: дис. … канд. пед. наук: 13. 00. 02. :защищена 22. 02. 03: утв. 15. 06. 03 / Черник Ольга Владимировна. - Киров, 2003. - 158 с.

41. Чичигин В.Г. Методика преподавания геометрии [Текст]: планиметрия: пособие для учителей сред. школы / В.Г. Чичигин. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Мин-ва просвещения РСФСР, 1959.

42. Шубина Т.В. Новый подход к усвоению школьниками понятий геометрии / Т.В. Шубина, Н.А. Резник // Математика в школе. - 2004. - № 3. - с. 55 - 59.