Модели оценки опционов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема «Модели оценки опционов, их роль в инвестиционном процессе»

Омск 2007

Содержание

Введение

1. Понятие опционов

1.1 Сущность и виды опционов

1.2 Примеры «колл» – и «пут» опционов

2. Модели оценки стоимости опционов

Биноминальная модель

Хеджирование рыночного портфеля

Модель Блека – Шоулза

3. Применение моделей оценки опционов

3.1 Использование модели Блека – Шоулза

3.2 Роль опционов в инвестиционном процессе

Заключение

Список литературы

Введение

В 1973 году в Чикаго была основана опционная биржа. Она имела почти постоянный успех. В течение пяти лет инвесторы заключали опционные сделки на покупку или продажу более 10 млн. акций ежедневно.

Сегодня опционами торгуют на многих биржах. Кроме срочных сделок на покупку или продажу обыкновенных акций заключаются опционные контракты на фондовые индексы, на облигации, товары и иностранную валюту.

Торговля опционами является специализированным бизнесом и его участники пользуются своим особым языком. Они употребляют такие термины как опцион на покупку «колл» (call), опцион на продажу «пут» (put), «двойной» опцион, «бабочка», опцион «в деньгах», опцион «вне денег», «голый» опцион.

Многие инвестиционные предложения содержат опцион на покупку дополнительного оборудования на какую-либо дату в будущем. Например, компания может инвестировать средства в патент, который позволит ей использовать новую технологию или же она может приобрести соседние участки земли, что даст ей возможность расширить производство. В каждом случае компания платит деньги сегодня за возможность осуществить инвестиции в будущем. Компания приобретает возможности роста.

Например, вы думаете приобрести участок бесплодных земель, где, как известно, находится месторождение золота. К сожалению, стоимость добычи превышает текущую цену на золото. Означает ли это, что участок почти ничего не стоит? Нет, вам не обязательно добывать золото, но обладание участком даёт опцион на добычу. Если вы знаете, что цена на золото будет оставаться ниже затрат на разработку месторождения, тогда этот опцион не имеет ценности. Но если будущая цена на золото неизвестна, вы могли бы попытать счастья и разбогатеть.

В курсовой работе описывается сущность и виды опционов, модели оценки стоимости опционов и их роль в инвестиционном процессе.

1. Понятие опционов

1.1 Сущность и виды опционов

Существуют финансовые инструменты, которые сочетают в себе элементы акций и облигаций или являются настолько специфическими продуктами, что их нельзя отнести ни к той ни к другой категории. Такие инструменты получили название производных или специальных. Они охватывают прежде всего различные разновидности обратимых ценных бумаг. Обратимыми называются ценные бумаги, которые по желанию их владельцев в определённый период могут быть либо погашены, либо обменены на другие ценные бумаги. К числу обратимых ценных бумаг относятся опционы и некоторые другие. Производные фондовые ценности только удостоверяют право на ценные бумаги, но таковыми не являются.

Опционом называется контракт, заключённый между двумя лицами, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому лицу право купить определённый актив по определённой цене в рамках определённого периода времени или предоставляет право продать определённый актив по определённой цене в рамках определённого периода времени. Лицо, которое получило опцион и таким образом приняло решение, называется покупателем опциона, который должен платить за это право. Лицо, которое продало опцион, и отвечающее на решение покупателя, называется продавцом опциона.

Наиболее распространённый опционный контракт – это опцион на акции.

Когда владелец опциона пользуется правом купить акции(активы), говорят, что он исполняет опцион (exercising an option); акции(активы), которые можно купить по опциону, называются предметом опциона (underlying asset). Цена сделки называется ценой исполнения («страйк») (exercise price, striking price). Опцион «в деньгах» – если цена акции больше цены исполнения; опцион «вне денег» – если цена акции меньше цены исполнения. Последний день, когда можно купить акции – это дата окончания срока контракта (maturity date). Противоположная сторона контракта называется надписателем (writer). Владелец имеет право купить акции(активы), а надписатель обязан продать их по требованию владельца.

Покупатель опциона имеет право на отказ от сделки. За предоставленную возможность выбора покупатель опциона платит продавцу премию.

С точки зрения сроков исполнения опционы подразделяются на:

американский опцион, который может быть исполнен в любой день до истечения срока контракта или в этот день;

европейский опцион, который осуществляется только в день истечения контракта.

Название опциона не зависит от места совершения сделки.

Существуют два вида опционов:

опцион на покупку – «колл» (call)

опцион на продажу «пут» (put)

Опцион «колл» предоставляет право его владельцу купить ценные бумаги, указанные в контракте, по установленной цене или отказаться от такой покупки.

Опцион «пут» даёт право продать ценные бумаги или отказаться от их продажи.

Инвестор приобретает опцион «колл», если ожидает повышения курса ценных бумаг и опцион «пут», если рассчитывает на их понижение.

При заключении сделок на рынке ценных бумаг лицо, приобретающее ценные бумаги открывает длинную позицию, при продаже бумаг – короткую позицию. Покупатель опциона занимает длинную позицию, продавец – короткую. В сделках с опционами возможны четыре позиции:

длинная по опциону «колл»;

длинная по опциону «пут»;

короткая по опциону «колл»;

короткая по опциону «пут»;

Существует большое разнообразие контрактов, имеющих черты опционов. Много разновидностей можно найти даже среди широко распространённых финансовых инструментов (например, право на льготную покупку акций и варрант). Однако только по отношению к определённым финансовым инструментам используют термин «опционы». Другие же инструменты, хотя и имеют похожую природу, именуются по-иному.

1.2 Примеры опционов «колл» и «пут»

Пример опциона колл

Инвестор купил европейский опцион «колл» на 100 акций компании А по контрактной цене 100 у.е. за акцию. Текущий курс акции в момент заключения контракта составляет 138 у.е. Контракт истекает через 3 месяца. Цена опциона(премия) за одну акцию составляет 5 у.е.

Таким образом, при заключении контракта покупатель опциона заплатил продавцу общую премию в размере 100 акций*5 у.е.=500 у.е.

На момент истечения срока контракта на рынке могут сложиться следующие ситуации:

1) курс акции остался ниже или равен 140 у. е. В этом случае инвестор не использует опцион, т.к. акции он мог бы приобрести на рынке также по цене 140 у.е. Его потери составят 500 у.е., затраченных на покупку опциона.

2) курс акций поднялся до 145 у.е. Инвестор исполнил опцион (т.е. купил акции по 140 у.е. и одновременно их продал по кассовой сделке). Его доход составил (145–140)*5=500 у.е. Но т.к. в качестве премии покупатель уже заплатил 500 у.е., общий итог по сделке для него равен нулю.

3) курс акций поднялся до 150 у. е. Инвестор исполнил опцион, т.е. ему согласно контракта были проданы 100 акций по цене 140 у.е., которые он тут же перепродал по цене 150 у.е. и получил прибыль от сделки в размере (150-140)*100–500=500 у.е.

Таким образом, инвестор получает прибыль, если курс акций превышает 145 у. е.и нулевой результат при курсе 145 у. е. При курсе 140 у. е. и ниже инвестор несёт потери в размере уплаченной премии 500 у. е. В случае если курс акции установится выше 140 у. е., но ниже 145 у. е. инвестор исполнит опцион чтобы уменьшить свои потери. Например, цена бумаги поднялась до 144 у. е. Потери инвестора составят 500 – (144–140)*100 акций=100 у. е.

Продавец опциона будет в выигрыше, если курс акций опустится ниже 145 у. е. Его максимальная прибыль составит 500 у. е. Однако возможные потери могут быть очень большими, если курс акций сильно поднимется. В приведённом примере не учтены комиссионные платежи. При заключении сделки они также учитываются и снижают прибыль инвестора.

Пример опциона пут

Инвестор приобретает европейский опцион «пут» на 100 акций компании А по цене исполнения 90 у. е. Текущий курс акций 88 у. е. Контракт истекает через три месяца. Премия за одну акцию 5 у. е. Следовательно, первоначальные затраты инвестора составят 500 у. е.

На день истечения контракта возможны следующие ситуации:

1) курс акций выше или равен 90 у. е. Опцион не используется и инвестор несёт потери.

2) курс акций снизился до 85 у. е. Инвестор покупает на рынке опцион по этому курсу и исполняет опцион, т.е. обязывает продавца опциона купить у него акции по курсу, предусмотренному в контракте (90 у. е.). В этом случае инвестор имеет нулевой результат: (90–85)*100–500=0;

3) курс акций ниже 85 у. е., например, 82 у. е. Опцион исполняется и инвестор получает прибыль: (90–82)*100–500=300 у. е.

4) курс акций выше 85 у. е., но ниже 90 у. е. Инвестор использует опцион, чтобы уменьшить свои потери. (90–89)*100–500=400 у. е. составят потери инвестора.

Продавец опциона получит прибыль, если курс акций будет выше 85 у. е. Её максимальный размер равен 500 у. е. Потери в случае сильного понижения курса ценных бумаг могут быть значительно больше.

2. Модели оценки стоимости опционов

2.1 Биноминальная модель

Это модель оценки опционов с одним периодом для случая, когда цена акции в следующем периоде может принимать только два значения. В следующем периоде акция, которая сейчас продаётся по цене S, будет продаваться либо по цене S, либо по цене uS, либо по цене dS, причём uS>dS. Величины u и d – это коэффициенты изменения цены акции. Имеется возможность выпустить или купить облигации на сумму В под процент rf, причём r определяется как r = 1+rf. Риск облигации равен нулю. Величина r больше d, но меньше u. Это условие необходимо для того, чтобы не было возможности без всякого риска получить прибыль только на операциях с акциями и облигациями. Например, если бы u и d были бы больше r, покупка акций на деньги, полученные от выпуска облигаций принесла бы гарантированную прибыль (без всякого риска). Никто не захотел бы покупать облигации. Кроме того, если бы r было бы больше u и d, инвестор, вложив свои деньги в облигации, с полной уверенностью получил бы более весомую прибыль, чем держатель акций. Никто не захотел покупать акции. Чтобы таких крайних случаев не было, предположим, что u>r>d. Представим себе опцион покупателя с ценой исполнения K, срок которого истекает через один период. Пусть C‑стоимость опциона в момент 0. Наша цель рассчитать разумную величину C. Начнём с того, что запишем значения стоимости опциона в момент 1. Стоимость опциона к концу срока будет зависеть от цены акции в этот момент. Пусть С – стоимость опциона к концу срока, если цена акции в этот момент достигает uS:

Cu=max (Us – K, 0);

Аналогично пусть Сd – стоимость опциона к концу срока, если цена к этому времени снизится до dS:

Cd=max (dS-K, 0);

Чтобы определить стоимость опциона в момент 1 за один период до окончания срока, покажем, что доходы от опциона покупателя можно в точности промоделировать доходами от соответствующим образом выбранного портфеля акций и облигаций, который называется хеджированным портфелем. Так как опцион покупателя полностью эквивалентен портфелю, их стоимости должны быть одинаковы. Стоимость хеджированного портфеля можно определить, зная рыночные цены акций и облигаций, из которых он составлен. На этом основан расчёт стоимости опциона покупателя.

Формирование хеджированного портфеля

Допустим, инвестор в момент 0 хочет сформировать такой хеджированный портфель, чтобы в момент 1 доходы от него были равны доходам от опциона покупателя. Инвестор:

1. купит А обыкновенных акций по цене S за акцию.

2. купит облигации на сумму В долларов.

Стоимость облигаций через один период будет равна rB. Ставка% равна r‑1.

Нужно найти такие В и А, чтобы доход от портфеля был таким же как от опциона покупателя (рис.).Доходы от опциона зависят от цены акций. Если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена акции растёт, будет выполняться следующее равенство:

АuS + rB = Cu (1);

Рис. Денежные потоки от инвестиций в акции и облигации и от покупки опциона

а) купить АS акций; б) инвестировать сумму В в в) купить облигации (В отрицательно, опцион на если привлекается заёмный покупку капитал); обыкновенных акций.

Если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена акции падает, будет выполняться равенство:

AdS+ rB = Cd (2);

Значения Cu и Cd в момент 1, когда закончится срок опциона известны, так как известны характеристики опциона и стоимость обыкновенных акций. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными. Вычитая уравнение AdS+rB=Cd из AuS+rB=Cu, получим решение относительно u:

As (u-d)=Cu-Cd

Преобразуя, получим:

A=(Cu-Cd)\ S (u-d) (3);

Величина А называется коэффициентом хеджирования, она определяет, сколько обыкновенных акций нужно купить, чтобы получить такой же денежный доход, как и от покупки одного опциона.

Решаем уравнения 1 и 2 относительно В:

B= (uCd – dCu)\(u-d)*r (4)

Портфель, состоящий из одного опциона покупателя, в любом случае принесёт такой же доход, что и портфель из В облигаций и А обыкновенных акций. Поэтому в состоянии равновесия первоначальная стоимость обоих портфелей должна быть одинаковой. Для этого должно выполняться равенство:

C=AS+B(5).

Стоимость опциона покупателя С должна быть равна AS+B, иначе есть возможность получить на операциях с опционом спекулятивную прибыль.

Для того, чтобы рассчитать стоимость опциона покупателя не было необходимости знать вероятности исходов u и d. Вероятности могут повлиять на стоимость опциона покупателя, но только косвенно. Если вероятность u велика, цена акции S, несомненно, выросла бы, и из уравнения (5) можно увидеть, что рост S увеличивает стоимость опциона С. Модель не показывает, как оценивать акции. Она показывает, как оценивать опционы покупателя, зная цену акции. Другими словами, цена опциона покупателя зависит от цены акции.

Кроме того, модель не требует, чтобы инвесторы договаривались о вероятности исхода u. Оптимистично настроенные по отношению к u инвесторы, возможно захотят обладать большим количеством акций (или опционов покупателя). Но при заданной цене акции, они придут к соглашению относительно цены опциона. Покажем, как только что описанная модель используется для формирования хеджированного портфеля и определения стоимости опциона покупателя при заданных условиях.

Пример.

S = 100 $; u = 1,5; d = 1,0; K = 120 $; rf = 0,10; r =1,10;

Cu = max (uS – K, 0) = max (150 $. – 120 $, 0) = 30 $;

Cd = max (dS – K, 0) = max (100 $ – 120 $, 0) = max (-20 $) = 0.

Срок опциона закончится через один период. Сейчас цена акций равна 100 $, а через один период цена будет или 150 $, или 100 $

uS = 1,5* 100 долл. = 150 $;

dS = 1,0*100 долл. = 100 $;

Если цена исполнения опциона 120 $, то стоимость опциона в конце периода будет либо 30 $(при цене акций 150 $), либо 0 (при цене акций 100 $). Чтобы найти А и В, воспользуемся уравнениями (3) и (4):

Так как (u-d) = 0.5 и Cu – Cd = 30 $, то

A = (Cu – Cd)\(u – d)*S = 30 $ /0.5*100 $;

B= (uCd – dCu)\(u-d)*r = (-1)*30 $/0.5 (1.1) = (-60)$/1.1 = (-54.55)$;

Отрицательное значение B показывает, что следует использовать заёмный капитал. На каждый опцион следует купить 0.6 обыкновенных акций на сумму 0.6*100 $ = 60 $ и взять заём 60 $/(1.1) = 54.55 $(в период 1 в счёт погашения долга будет уплачено 60 $).

Если произойдёт событие u, то стоимость портфеля будет:

Доход по опциону будет либо 30 $, либо 0 $. Первоначальная стоимость опциона равна:

C = AS + B = 60 $ – 54.55 $ = 5.45 $.

0.6 акций стоят 60 $, из них 54.55 $ взяты в долг под 10%.

Вне зависимости от того, какое из двух событий произойдёт, инвестор в период 1 получит такую же сумму, как если бы он купил опцион покупателя.

Если опцион продаётся на рынке по цене, отличной от 5.45 $, инвестор, знающий как формировать хеджированный портфель, может без всякого риска получить прибыль на арбитражных сделках. Например, пусть опцион продаётся за 10 $. Так как цена опциона завышена, инвестор будет заключать арбитражные сделки, продавая опционы покупателя. Человек, продающий опционы покупателя, обязан купить акцию или иметь её – ведь акции нужно будет отдать. Чтобы гарантировать себе прибыль, арбитражер купит 0.6 обыкновенных акций и возьмёт в долг 54.55 $ в момент продажи опциона покупателя. В период 0 денежные потоки будут такими:

(– 60)$ + 54.55 $ + 10 $ = 4.55 $

В период 1 арбитражер продаст акции, вернёт долг, и, если опцион исполнен, купит акцию на рынке и отдаст её в обмен на цену исполнения. Если цена акции поднимется, то опцион будет исполнен, и денежный поток в период 1 будет таковым:

1.5*60 долл. – 1.1*54.55 долл. – 1.5*100 долл. + 120 долл. = 90 $ – 60 $ – 150 $ + 120 $ = 0.

Если цена акции составит 100 $, опцион покупателя не будет исполнен и арбитражер продаст акцию и использует полученные деньги на уплату долга. В этом случае денежные потоки в период 1 будут: 60 $ – 60 $ = 0

Следовательно, если цена опциона завышена, то арбитражер может продавать опционы покупателя и без всякого риска получать гарантированную прибыль, равную разнице между рыночной ценой и чистыми расходами на покупку хеджированного рыночного портфеля. Если цена опциона меньше расходов на покупку хеджированного рыночного портфеля, то арбитражер заключит сделки, противоположные только что описанным: продаст 0.6 обыкновенных акций заджированного рыночного портфеля, то арбитражер заключит суделки противоположные только что описанным 60$, выпустит облигации на сумму 54.55$ под 10% купит опцион покупателя. Денежные потоки за период 0 будут равны разнице между истинной стоимостью опциона покупателя и его рыночной ценой, а денежные потоки за период 1 сведутся к нулю.

Короче говоря, у арбитражера есть возможность получить гарантированную прибыль, если только цена опциона отличается от чистых расходов на покупку аналогичного хеджированного портфеля. Арбитражеры продают опционы покупателя, когда цена этих опционов завышена, и покупают их, когда их цена занижена. Тем самым они не дают рыночной цене опциона отклоняться от рыночной стоимости эквивалентного хеджированного портфеля. Такой подход к оценке опциона покупателя известен под названием арбитражной оценки. Если бы мы исследовали случай с несколькими периодами, портфель (акции, облигации и опционы) нужно было бы скорректировать: в нём должно быть столько ценных бумаг каждого вида, чтобы портфель всегда был хеджированным. Если периоды времени сокращаются, и операции совершаются непрерывно, то мы приходим к модели оценки опционов Блека – Шоулза.

2.2 Модель Блека – Шоулза

Модель Блека – Шоулза коренным образом изменила подход к анализу опционов; она позволила отойти от субъективно – интуитивных оценок при определении цены опционов и подвести под неё теоретическую базу.

Блек и Шоулз первыми осознали возможность интерпретировать акцию как опцион на отдельно взятую фирму. По истечении срока кредита, если стоимость фирмы будет меньше номинальной стоимости долга, акционеры имеют право, но не обязательство, погасить кредит. В результате стало возможным использовать данный метод для оценки акций, что важно, если они не торгуются. Блек и Шоулз сделали ряд исходных предположений, над проверкой значимости которых работают многие исследователи. Среди этих постулатов такие:

1. Можно оценить колеблемость (среднеквадратическое отклонение доходности акций(актива));

2. Существует постоянная во времени ставка процента по безрисковым вложениям;

3. Расходов на заключение сделки нет; при заключении сделок без покрытия на срок (сделок с короткой позицией) продавец получает деньги сразу;

4. Налоги не имеют значения;

5. Дивидендов нет;

6. Цена обыкновенной акции случайная величина; цена на период Т имеет логарифмически нормальное распределение.

В основе формулы Блека–Шоулза лежит предположение, что существует такая экономическая среда, в которой арбитражеры могут с точностью воспроизвести будущие доходы по опциону покупателя с помощью хеджированного портфеля, состоящего из акций и облигаций. Они рассчитали, какой должна быть стоимость опциона покупателя, чтобы гарантированная прибыль от арбитражных сделок была невозможной. Модель Блека – Шоулза оценивает так называемую справедливую стоимость опциона. Учитывая историю акции(актива) и вычисляя вероятность будущей цены опциона, можно рассчитать текущее справедливое значение его цены. Модель определяет возможное будущее значение цены базисного актива. Придавая вероятности будущим значениям цены базисного актива, модель позволяет включить эти вероятности в цену.

Модель предполагает, что будущие цены акции(актива) подчиняются логарифмически нормальному (натуральный логарифм этой величины имеет нормальное распределение) распределению вероятности. Волантильность или среднеквадратическое отклонение доходности акции(актива) вычисляется на основе исторических данных. Чем большей волантильностью характеризуется акция, тем выше вероятность того, что в момент окончания действия опциона цена будет сильно отличаться от сегодняшней. Чтобы компенсировать подобный риск, продавец должен получить больше за опцион на такую акцию, а покупатель больше заплатить за возможность использования опциона.

Вычисленная справедливая рыночная стоимость опциона может как совпадать, так и не совпадать с текущим значением цены.

Концептуально модель Блека – Шоулза очень проста:

Цена опциона колл = ожидаемая будущая цена за акцию – ожидаемая стоимость исполнения опциона.

Однако практическую ценность имеют поправки, учёт которых может существенно изменить цену. Блек и Шоулз дополнили это уравнение следующими поправками:

1. на вероятность разброса будущей цены акции(актива);

2. на чистое значение стоимости исполнения;

3. на вероятность того, что цена исполнения может быть выше, чем цена базисного актива;

4. на тот факт, что часть любого платежа может быть получена по безрисковой ставке.

Стоимость опциона по формуле Блека – Шоулза:

C = SN(h1) – (r(-T) (степень)) KN (h1 – oT),

h1= (ln (S\K) +(ln r +(o 2 (степень)\2)) T)\ o T,

С – теоретическая цена опциона «колл», которая также называется премией;

N(h1) – накопленная вероятность (функция распределения) при нормальном распределении для h1;

K – цена исполнения;

S – сегодняшняя цена акции;

r=1+rf (степень) – ставка процента по безрисковым вложениям;

T – срок до окончания действия опциона;

о – среднеквадратическое отклонение доходности обыкновенных акций(актива) или изменчивость(волантильность) доходности базисного актива.

Пример расчёта цены европейского опциона «колл» по формуле Блека – Шоулза

S = 41.50 $ – сегодняшняя цена акции;

K= 40.00 $ – страйк (цена исполнения);

T= 0.4 – время до исполнения опциона;

r=1+rf(степень) = 1.05 – ставка процента +1;

o = 0.1124 – среднеквадратическое отклонение доходности акций (волантильность доходности акций)

S/K = 41.50 $/40 $ =1.0375;

o2 (степень)/2= 0.0063;

ln r = ln 1.05=0.0488;

ln S\K=ln 1.0375= 0.0368;

o T = 0.0711;

r-T(степень) = 0.9807.

Нам необходимо найти h1

h1 = [ln (S/K) +(ln(r) +(o2 (степень)/2)) Т]/ о Т =(0.0368 +(0.0488 +0.0063)*0.4)/0.0711 = 0.8277;

Тогда

h1 – o T = 0.8277 – 0.0711 = 0.7566;

Стоимость опциона равна:

C = SN(h1) – r – T(степень) KN (h1 – o T)= 41.50 $*N (0.8277) –

– 0.9807 (40.00 $) N (0.7566)= 41.50 $(0.7967) – 0.9807 (40.00 $) (0.7754) = 33.06 $ – 30.42 $ = 2.64 $

Желание инвесторов взять на себя риск не влияет на стоимость опциона.

Не оказывает влияние и ожидаемая доходность акций. Стоимость опциона возрастает с ростом цены акции (S). Она падает при снижении цены исполнения (К), которая в свою очередь зависит от процентной ставки и срока до окончания действия опциона; и стоимость возрастает при умножении количества периодов до срока исполнения на показатель изменчивости цены акции (o Т).

Опцион всегда стоит больше разницы между текущей ценой и ценой исполнения. Опцион «колл» со страйком 95 долларов на акцию в 100 долларов всегда будет стоить больше 5 – ти долларов. Эта разница существует потому, что будущее значение базисного актива может быть как больше, так и меньше 100 долларов. Если базисный актив вырастет до 105 – ти долларов, то премия за «колл» поднимется выше 10 – ти долларов. Плата сверх разницы между страйком и базисным активом – это оценка вероятности более высокой цены.

Чтобы узнать стоимость опциона «пут» с той же ценой исполнения, можно использовать соотношение:

Стоимость опциона «пут» = стоимость опциона «колл» + приведённая стоимость (цены исполнения) – цена акции

Побочным продуктом модели Блека – Шоулза является вычисление числа дельта. Данный показатель даёт представление о том, насколько сдвинется цена опциона при небольшом изменении цены базисного актива. Например, опцион с дельтой 0.5 вырастет на полцента при росте на 1 цент базисного актива. Ярко выраженный опцион «вне денег» имеет дельту, близкую к нулю. Дельта ярко выраженного опциона «в деньгах» близка к единице.

Формула для вычисления дельты европейского опциона «колл» на бездивидендную акцию следующая:

Delta = N(h1)

«Колл» дельта является позитивной, «пут» дельта – негативной. Так как цена опциона «пут» и цена базисного актива являются противоположно зависимыми, «пут» дельту можно вычислить так:

Дельта опциона «пут» = дельта опциона «колл» – 1.

Дельту часто называют нормой хеджирования. Если имеется портфель коротких опционов, то при умножении их числа на дельту получится число необходимых для создания безрисковой позиции акций. Стоимость такого портфеля будет оставаться стабильной при незначительных колебаниях цен.

В таком дельта – нейтральном портфеле рост цены акций будет компенсировать убыток, вызванный ростом стоимости проданных опционов «колл», и наоборот.

В модели Блека – Шоулза есть слабые места, связанные с логарифмически нормальным распределением при определении будущей цены акции. При этом модель дисконтирует цены с низкими вероятностями. Но более низкая будущая цена в сочетании с более низкой вероятностью может оказаться действительной будущей ценой. Тем не менее на сегодняшний день модель Блека – Шоулза признана лучшей моделью для оценки опционов и применяется наиболее широко.

3. Применение теории оценки стоимости опционов

3.1 Использование модели Блека–Шоулза

Модель Блека–Шоулза применяется прежде всего для следующих целей:

1. поиска недооценённых опционов, чтобы их продать или переоценённых, чтобы их купить;

2. хеджирования портфеля с целью понижения риска (при низкой волантильности);

3. оценка рыночных предпосылок будущей волантильности акций.

Трейдеры используют эту модель для сравнения текущих цен на опционы с расчётными. Когда расчётное значение отличается от текущего, они прибегают к арбитражу на их разнице в том случае, когда она больше, чем стоимость заключения сделки. Блек и Шоулз не рассматривали возможности арбитража в своей модели. В то же время известно, что она применяется с целью нахождения, и, следовательно, ограничения возможностей арбитража на рынке. Таким образом, можно говорить о том, что модель действует на практике.

Другим распространённым способом использования модели является вычисление позиций хеджирования для портфеля акций. Поскольку флуктуации цен на опционы происходят в соответствии с ценой акций, можно продать опционы, чтобы уравновесить возможные потери по ней. Модель

Блека-Шоулза помогает определить, сколько опционов необходимо продать, чтобы достигнуть желаемой волантильности портфеля. Ещё один способ использования модели – выявление рыночных предпосылок волантильности. Если опционы оценены рынком правильно, то формула позволяет определить верхнюю и нижнюю границы будущей цены акции. Если эти значения расходятся несущественно, то цены с большей вероятностью, будут близки к расчётному значению будущей цены. Таким образом, чем выше премия за «колл», тем больше различаются ожидания рыночной цены.

Модель Блека–Шоулза используется при принятии инвестиционных решений, но не гарантирует получение прибыли на опционных торгах.

3.2 Роль опционов в инвестиционном процессе

Рассмотрим два наиболее распространённых и важных реальных опциона, лежащих в основе инвестиционных проектов.

1. Опцион на продолжение инвестиций, если осуществляемый проект успешен.

2. Оценка стоимости свободного участка земли.

Реальные опционы, подобные этим, позволяют менеджерам увеличивать стоимость своей фирмы, расширяя её благоприятные возможности или уменьшая потери.

3.2.1 Опцион на продолжение инвестиций, если осуществляемый инвестиционный проект успешен

2007 год. Компания «ХР», учреждённая производителем компьютеров, желает выпустить на рынок новую модель своего компьютера ТНТ 1. Поможем финансовому директору оценить предполагаемое производство новой модели «ХР» компьютера ТНТ 1.

Прогнозируемые потоки денежных средств и чистая приведённая стоимость производства модели ТНТ 1 представлены в таблице 1. К сожалению, проект производства компьютера ТНТ 1 не может гарантировать компании её обычную минимальную приемлемую рентабельность в размере 20% и имеет отрицательную чистую приведённую стоимость в сумме 46 млрд. долл.

Таблица 1. Потоки денежных средств и финансовый анализ производства микрокомпьютера ТНТ 1 (в млн. руб.; из-за расходов на исследования и разработки, посленалоговый операционный поток денежных средств в 2007 году отрицателен)

Чистая приведённая стоимость при 20% рентабельности = – 46,25 млн. или 46 млн. руб. Расчёт возможной стоимости опциона на инвестирование в производство компьютера ТНТ 2.

Допущения.

1. Решение об инвестировании в производство ТНТ 2 должно быть принято через 3 года, в 2010 году.

2. Объём инвестиций в проект ТНТ 2 в два раза превышает объём инвестиций в проект ТНТ 1. Объём требуемых инвестиций составляет 900 млн. руб. (цена исполнения), что принимается как данное.

3. Прогнозируемые потоки денежных средств от проекта ТНТ 2 в два раза превышают потоки денежных средств от проекта ТНТ 1. Их приведённая стоимость составляет примерно 800 млн. руб. в 2010 году и 800/(1.2) 3 =463 млн. руб. в 2007 году.

4. Будущей стоимости потоков денежных средств от проекта ТНТ 2 свойственна высокая неопределённость. Поведение этой стоимости подобно поведению цен на акции со стандартным отклонением 35% в год.

Возможность инвестировать в проект ТНТ 2 представляет собой опцион «колл» сроком 3 года на активы стоимостью 463 млн. руб. с ценой исполнения 900 млн. руб.

Оценка стоимости опциона

Стандартное отклонение * время = 0.35* 3 = 0.61;

Стоимость активов / приведённая стоимость (цены исполнения) = =463/900/(1.1) = 0.68;

Стоимость опциона колл / стоимость активов = 0.119;

Стоимость опциона колл = 0.119 * 463 = 55.1 или приблизительно 55 млн. руб.

3.2.2 Свободный участок земли

Определим ценность свободного участка земли в обжитой части города. Известно, что самый лучший вариант использования земли – это строительство многоквартирного дома. На участке можно построить либо 6 – либо 9-ти квартирный дом. Обычный подход заключается в том, чтобы определить какого типа здание лучше всего построить на данном участке и найти чистую текущую стоимость денежных потоков (не считая стоимости земли), которые возникнут, если это здание будет построено. Таким образом, можно найти приблизительную величину стоимости земли для случая, когда строительство будет начато немедленно. Но свободный участок земли даёт право выбирать. Если строительство будет отложено на один период, владелец может выбирать между строительством 6-ти и 9-ти квартирного дома.

Такой выбор тоже может иметь свою цену, если наиболее выгодный для будущего периода вариант будет отличаться от того, что наиболее выгодно в текущий момент, так как экономические условия изменятся. Рассмотрим конкретный пример:

1. Текущая ставка процента 0.12%;

2. Текущая стоимость квартиры 100.000 $(6 квартир стоят 600.000 $);

3. Будущая стоимость многоквартирного дома:

а) при благоприятных условиях: 120.000 $ за квартиру;

б) при неблагоприятных условиях: 90.000 $ за квартиру.

4. Расходы на строительство (для текущего и следующего годов):

а) 6-ти квартирный дом: 480.000 $;

б) 9-ти квартирный дом: 810.000 $.

Предполагаем, что квартиры в доме можно будет сдать в аренду; арендная плата возместит связанные с владением домом денежные оттоки (налоги, отопление, эксплуатационные расходы и др.), и обеспечит приток денежных доходов. Эту модель можно модифицировать так, чтобы учесть случаи, когда арендная плата больше или меньше этой суммы, но благодаря нашему предположению пример станет проще, при этом ничего важного мы не упустим.

Есть две возможности: строить сейчас или строить через год. Мы хотим знать, какой вариант предпочтительнее и сколько стоит земля.

Сначала определим, чему равна стоимость земли, если начинать строительство немедленно.

Если дом 6-ти квартирный, то чистый доход равен:

600.000$ – 480.000$=120.000$.

Если дом 9-ти квартирный, то чистый доход будет равен:

900.000$ – 810.000$=90.000$. Так как доход от 6-ти квартирного дома больше, чем от 9-ти квартирного, если начинать строительство в этом году, то земля стоит 120.000$.

Теперь посмотрим, какие варианты возможны, если отложить строительство на год. Мы ещё не знаем, сколько будет стоить жильё в следующем году. Но расчёты похожие на только что приведённые, покажут следующее:

1. Если в следующем году квартира будет стоить 120.000$, то оптимальное решение – построить 9-ти квартирный дом, который принесёт 9*120.000$. – 810.000$.=270.000$.

2. Если квартира в следующем году будет стоить 90.000$, то оптимальное решение – построить 6-ти квартирный дом, который принесёт 6*90.000$ – 840.000$ = 60.000$ – ведь это больше, чем 0 при строительстве 9-ти квартирного дома.

Обычный при разработке капитального бюджета способ – дисконтировать ожидаемые денежные потоки по соответствующей ставке, чтобы определить текущую стоимость участка земли с поправкой на риск для случая, когда строительство откладывается на следующий период. Пусть вероятность повышения цен на жильё в следующем периоде равна 0.9. Тогда ожидаемая ценность дома в следующем периоде 117.000 $ (0.9*120.000 $ +0.1*90.000 $). Если цены на жильё определены правильно, это значит, что ставка дисконтирования равна 17%(117.000 $/1.17=100.000$). Ожидаемая величина доходов от строительства на участке в следующем периоде будет 0.9*270.000$ + 0.1*60.000$=249.000$. Однако мы не знаем, какую ставку дисконтирования использовать для оценки земли. Совсем не обязательно, что она будет такой же, как и для дома.

Можно избежать необходимости определения ставки дисконтирования для земли, используя подход оценки опционов. Участок земли в чём-то похож на опцион покупателя. Если инвестиции откладываются, и цена дома растёт, то опцион принесёт Cu= 270.000 $ в следующем году (стоимость 9-ти квартирного дома). Если отложить строительство, и цены на жильё упадут, то опцион принесёт Cd = 60.000$ в следующем году (стоимость 6-ти квартирного дома). Строительство не начинается, пока неизвестна цена дома в следующем году.

Можно придумать хеджированный портфель, который принесёт такие же доходы, как и участок земли, а потому такой портфель можно использовать для определения стоимости земли. В хеджированном портфеле – эквиваленте участка земли – дом будет играть ту же роль, что и акции в хеджированном портфеле – эквиваленте опциона покупателя. Пусть S – рыночная цена дома в настоящий момент. Сейчас квартиру в доме можно купить или продать за 100.000 $. Если использовать те же обозначения, что и для опционов на покупку акций, и представить все числа в тысячах долл., получим:

u=1.2; d=0.9; r= 1.12; S= 100 $; Cu = 270 $; Cd= 60$.

Чтобы составить хеджированный портфель, надо решить уравнение относительно А и В, что можно сделать, используя выражения:

A= (Cu – Cd)\S (u – d)= (270 $ – 60 $)\100 $*03 = 210 $\30 $ = 7 $

B=(uCd – dCu)\(u – d)*r = (72 $ – 243 $)\ 0.3*1.12= – 171 $\0.336 = – 508.93 $

Стоимость этого хеджированного портфеля можно найти:

C=AS +B=7*100 $ – 508.92 $ = $191.08

Найденная с помощью метода оценки опциона стоимость участка земли равна $191.080.

Заключение

На рынке ценных бумаг инвестор может купить опцион покупателя «колл», который даёт право приобрести акции через некоторое время в будущем по цене, определяемой сейчас. Иногда инвестиционные проекты включают в себя выбор – своего рода опцион, когда уже после одобрения проекта могут быть приняты важные решения, в результате которых стоимость проекта изменится.

Стоимость такого выбора можно найти с помощью моделей оценки опционов.

Биноминальная модель предполагает, что срок до исполнения опциона может быть разделён на ряд периодов, в каждом из которых возможны только два изменения цены. Преимущество разделения срока жизни опциона на множество подпериодов состоит в том, что это позволяет понять, что стоимость активов может иметь множество будущих значений. Можно рассматривать формулу Блека–Шоулза как быстрый способ решения, когда ряд таких подпериодов бесконечен, а следовательно, не ограничено и число будущих возможных цен актива.

Реальные опционы, встречающиеся в реальной практике, как правило, гораздо сложнее тех простых примеров, которые были рассмотрены в данной работе.

Опцион на осуществление последующих инвестиций. Компании, осуществляющие проекты с отрицательной чистой приведённой стоимостью, часто ссылаются на их «стратегическую» значимость. При ближайшем рассмотрении результатов проекта, помимо потоков денежных средств непосредственно от самого проекта, обнаруживается опцион «колл» на последующие проекты. Инвестиции сегодня могут создать благоприятные возможности завтра.

Теория опционов заставляет быть более внимательным к возможностям, которые могут возникнуть в будущем в результате сегодняшних действий, она даёт меньше шансов упустить из виду возможные стратегии принятия решений в будущем. Ещё одним преимуществом метода опционов является улучшенная процедура оценки. Процедуры определения стоимости опционов делятся на две группы. Чаще всего на рынке ценных бумаг используется арбитражная оценка. Для этого нужно найти реальные активы или группу активов, стоимость которых известна и с которыми можно осуществить сделки без покрытия на срок (держать короткие или длинные позиции), а затем сконструировать портфель, стоимость и денежные доходы которого соответствуют стоимости и доходам по опциону. Примером может послужить моделирование доходов по опциону покупателя на обыкновенные акции с помощью портфеля, состоящего из акций и надёжных облигаций. Метод арбитражной оценки успешно применяется в ситуациях, когда опцион – это производная ценная бумага, то есть стоимость опциона по контракту связана со стоимостью определённой ценной бумаги или нескольких ценных бумаг. Можно придумать арбитраж и для оценки недвижимости. Наиболее удачными оказались попытки использовать этот метод для оценки активов, применяемых для производства стандартных товаров массового спроса, рынок которых хорошо развит.

Оценка арбитражным методом, если его можно применить, точнее, чем оценка методом прогноза денежных потоков. Но арбитражную оценку трудно использовать для большинства промышленных инвестиций, так что если даже возможности выбора определены, их приходится оценивать с помощью расчёта текущей стоимости.

Денежные потоки, связанные с большинством реальных опционов сильно отличаются от денежных потоков по обычным инвестициям. Например, стоимость капитала, которую используют для дисконтирования при оценке опциона покупателя, из года в год меняется по мере изменения стоимости опциона. Кроме того, такие колебания увеличивают стоимость опциона, но принято считать, что они уменьшают стоимость традиционных инвестиций.

Если опцион необходимо оценить на основе анализа будущих денежных потоков, которые он сгенерирует, то получится огромное, возможно, бесконечное число стратегий. Стоимость опциона учитывает все эти стратегии.

Если у инвестиционного проекта есть черты опциона, то это нужно иметь в виду, решая приемлем ли проект. Если проект одобрен, важно будет правильно принимать оперативные решения, чтобы предоставленные возможности были использованы в нужный момент. Например, использовать возможности как только это становится прибыльным.

Список литературы

Инвестиции: Учебник/авторы: У.Ф. Шарп, Гордон Дж. Александр, Джефри Ф. Бейли; Москва, издательство ИНФРА-М, 1997 г.

Принципы корпоративных финансов: Учебник/авторы: Р. Брейли, С. Майерс; Москва, издательство Олимп-Бизнес, 1997 г.

Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика: Учебник/авторы: П.П. Виленский, В.Н. Лившиц, С.А. Смоляк; Москва, издательство Дело, 2001 г.

Организация и финансирование инвестиций: Учебник/автор: Я.С. Мелкумов; Москва, издательство ИНФРА-М, 2000 г.

5. Инвестиционная деятельность: Учебник/ под ред. Г.П. Подшиваленко, Н.В. Киселёвой; Москва, издательство КНОРУС, 2005.

6. Инвестирование: Учебное пособие/под ред. С.И. Абрамов; Центр экономики и маркетинга, Москва, 2000.

7. Инвестиции: Учебник/под ред. В.В. Ковалёва, В.В. Иванова, В.А. Лялина; Москва, ООО ТК «Велби».

8. Капиталовложения. Экономический анализ инвестиционных проектов: Учебник/авторы: Г. Бирман, С. Шмидт; Москва, издательство ЮНИТИ, 2003.

9. Биржевое обозрение, №6 (32) 2006, информационно-аналитический журнал.

10. Вопросы экономики №10. 2007, журнал; статья А. Суэтина «Определение стоимости производных финансовых инструментов»